Sujet : Analyse, Convergence de produit numérique

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Convergence de produit numérique

Soit ( ( suite de réels non nuls, on lui associe la suite) une) définie par


,12….
∀ ∈ℕ∗=∏=
=1
On dit que le produit ( ( si et seulement si la suite) converge une limite finie non nulle.) admet
Sinon on dit que le produit () diverge.

1.
1.a

1.b

2.a

2.b

1.a

1.b

Partie I

En considérant le quotient+1 (, montrer que, pour que le produit) converge, il est nécessaire que la

suite ( vers 1.) converge
Soit=∏=1+1.
1
Montrer que :∀≥1,=+1 .
Quelle est la nature du produit () ?
∏.
Soit un réeldifférent deπ(∈ℤ) et cos
==12
Pour tout entier naturelnon nul, calculer2nis.
En déduire que le produit () converge et donner la limite de la suite () .

Partie II

Soit () un produit associé à une suite () qui converge vers 1.
Montrer qu’il existe un entier0tel que∀≥0,>0 .

On pose=∑ln() .
=0
Montrer que la convergence de la suite () équivaut à la convergence du produit () .
Lorsque () converge versℓdonner la limite de la suite ( fonction de) enℓ.
Soit=∏=,=∑1lnet=∑1.
1==1
Montrer que la suite ( croissante et que) est∀∈ℕ∗,2−≥. 12
En déduire que→ +∞.
En déduire la nature de la suite () et du produit () .

Partie III


Soit=∏(1+) où () est une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0.
=1

On pose=′∑.
=1
Montrer que∀∈ℝ+, ln(1+)≤.
Montrer que la suite (′ croissante.) est

1.c

2.a

2.b

2.c

Montrer que si la suite (′ ( alors le produit) converge,) converge.


Soit=∏(1+
=1

2) avec∈ℝ+∗.

Que dire de la nature du produit () lorsque≥1 ?

On suppose∈0,1 .
Montrer que le produit () converge.

Pour tout entier naturelnon nul, calculer (1−

2)et en déduire la limite de la suite

() .