Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Etude de suite de solutions d'une équation
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Etude de suite de solutions d’une équation
Exercice 1[ 01477 ][correction]
Soitf: ]0+∞[→Rla fonction définie par
f(x) = lnx+x
Enoncés
a) Montrer que pour tout entiern∈N, il existe un uniquexntel quef(xn) =n.
b) Former le développement asymptotique de la suite(xn)à la précision(lnn)n.
Exercice 2[ 00310 ][correction]
Pourn∈N, on considère l’équation
x+3√x=n
d’inconnuex∈R.
a) Montrer que cette équation possède une unique solutionxn.
b) Déterminer la limite dexnpuis un équivalent simple de(xn).
c) Donner un développement asymptotique à trois termes de(xn).
Exercice 3[ 00311 ][correction]
a) Pour toutn∈N, justifier que l’équation
x+ex=n
possède une unique solutionxn∈R.
b) Déterminer la limite de(xn)puis un équivalent dexn.
c) Former un développement asymptotique à trois termes dexnquandn→+∞.
Exercice 4[ 01478 ][correction]
Montrer que l’équationtanx=√xpossède une unique solutionxndans chaque
intervalleIn= ]−π2 π2[ +nπ(avecn∈N?).
Réaliser un développement asymptotique à trois termes dexn.
Exercice 5Centrale MP[ 02478 ][correction]
a) SubdiviserR+en intervalles contigus disjoints, chacun d’entre eux contenant
une unique racine de l’équation(E) : tanxthx= 1.
b) On range toutes les racines positives de(E)dans une suite strictement
croissante(xn)n>0.
Evaluer numériquement les quatre premiers termes.
c) Donner un développement asymptotique dexn.
1
Exercice 6Centrale MP[ 00316 ][correction]
Montrer que l’équationxn+x2−1 = 0admet une unique racine réelle strictement
positive pourn>1. On la notexn. Déterminer la limite`de la suite(xn)puis un
équivalent dexn−`.
Exercice 7Centrale MP[ 00317 ][correction]
Pour tout entiern>2, on considère l’équation(En) :xn=x+ 1dont l’inconnue
estx>0.
a) Montrer l’existence et l’unicité dexnsolution de(En).
b) Montrer que(xn)tend vers 1.
c) Montrer que(xn)admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois
premiers termes de ce développement limité.
Exercice 8X MP - Centrale MP[ 00318 ][correction]
Pourn>2, on considère le polynôme
Pn=Xn−nX+ 1
a) Montrer quePnadmet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notéexn.
b) Déterminer la limite dexnlorsquen→+∞.
c) Donner un équivalent de(xn)puis le deuxième terme du développement
asymptotiquexn.
Exercice 9[ 00312 ][correction]
a) Soitn∈N. Montrer que l’équationxn+ lnx= 0possède une unique solution
xn>0.
b) Déterminer la limite dexn.
c) On poseun= 1−xn. Justifier quenun∼ −lnunpuis déterminer un équivalent
deun.
Exercice 10[ 00314 ][correction]
Montrer que pour toutn>1, l’équation
xn!n n−X1xk
=
k!
k=0
possède une unique racinexndans]0+∞[. Déterminerlimxn.
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Exercice 11[ 00315 ][correction]
Montrer que la relationnunn+1−(n+ 1)unn= 1définit une suite positive(un)
unique.
Etudier sa convergence et préciser sa limite.
Exercice 12[ 03154 ][correction]
Pourn∈N?on introduit le polynôme
Pn(X) =X(X−1) (X−n)
Enoncés
a) Montrer que le polynômePn0possède une unique racine dans l’intervalle]01[;
celle-ci sera notéxn.
b) Etudier la monotonie de la suite(xn)n>1.
c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle
F=P0n
Pn
d) En déduire un équivalent de la suite(xn)n>1.
Exercice 13CCP PC[ 02599 ][correction]
Soientn∈N?et l’équation
(En) :xn+x−1 = 0
a) Montrer qu’il existe une unique solution positive de(En)notéexnet que
limxn= 1.
n→+∞
b) On poseyn= 1−xn. Montrer que, pournassez grand,
lnn6yn2 lnn
6
2n n
(on poserafn(y) =nln(1−y)−ln(y)).
c) Montrer queln(yn)∼ −lnnpuis que
xn= 1−lnnn+olnnn
2
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) La fonctionf:x7→x+ lnxréalise une bijection de]0+∞[surRd’où
l’existence de(xn).
Commen→+∞,xn=f−1(n)→+∞. Par suitelnxn=o(xn)et
n=xn+ lnxn∼xn.
Doncxn=n+o(n).
Soityn=xn−n. On a :
Donc
yn=−lnxn=−ln(n+o(n)) =−lnn+ ln(1 +o(1)) =−lnn+o(1)
xn=n−lnn+o(1)
Corrections
Soitzn=yn+ lnn. On a :
zn=−ln(n−ln(n) +o(1)) + lnn=−ln1−lnnn+o( 1n)= lnnn+olnnn
n
Doncxn=n−lnn+ lnnn+olnn
Exercice 2 :[énoncé]
a) La fonctionf:R→Rdéfinie parf(x) =x+√3xréalise une bijection deRvers
R.
b) Puisquexn=f−1(n)etf−+1→+∞, on axn→+∞.
∞
On en déduit3√xn=o(xn)puis
xn∼n
c) On peut écrirexn=n+ynavecyn=o(n).
Puisque
yn+√3n+yn= 0
on a
yn√−∼3n
On peut écrireyn=−√3n+znaveczn=o(√3n).
Puisque
−√3n+zn+3√n1(3+1−n3√n+o3√nn) = 0
on azn∼3√13n.
Finalement
1
xn=n−√3n3+3√+o
n
Exercice 3 :[énoncé]
a) Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =x+ex.
x−∞
f(x)−∞ %
√31n
+∞
+∞
b)f(xn) =n6n+ 1 =f(xn+1)doncxn6xn+1carf−1est croissante.
Si(xn)est majorée parMalorsf(xn) =n6f(M)ce qui est absurde.
La suite(xn)étant croissante et non majorée, elle diverge vers+∞.
xn=o(exn)donc exn∼n→+∞ 6= 1puisxn∼lnn.
c) Posonsyn=xn−lnn=o(lnn).
On ayn+ lnn+neyn=ndonc
eyn= 1−yn+ lnn→1
n n
d’oùyn→0et
eyn= 1 +yn+o(yn)
On a alorsyn+ lnn+n(1 +yn+o(yn)) =nd’oùnyn+o(nyn) =−lnnet
lnn
yn∼ −
n
Par suite
xn= lnn−lnnnlnnn
+o
On écrityn=−lnn+znet
donc
puis
Finalement
n
eynlnn+zn+ 1 +o2
n2lnnn2lnnn
= 1−
−lnnn+zn+nzn12+n(lnn)2+o(lnnn)2= 0
zn∼ −2(lnnn2)2
xn= lnn−lnnn−(2lnnn2)2+olnnn2!
3
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Corrections
Exercice 4 :[énoncé]
SurIn, la fonctionf:x7→tanx− √xest continue, croît strictement de−∞vers
+∞.
Cela assure l’existence et l’unité dexn.
On a
π π
−2 +nπ < xn<2 +nπ
doncxn∼nπ.
Posonsyn=xn−nπ. On atanyn=√xnetyn∈−2ππ2donc
π
yn= arctan√xn→2
Posons
taxn= arctan√
zn=π2−yn=π2−arc n√1n= arctanpnπ+1π2+
xo(1)
On a
1 1 1 1 1 1
p2π+o)=(1√nπq1 +21n+=−+o
nπ+on1√nπ4√πn3
et
donc
Finalement
arctanx=x−13x3+o(x3)
zn=√1nπ−14√π1n3−31√π13n3+on312
xn=nπ+π2− √1nπ+ 3π+342πn312+on312
n312
Exercice 5 :[énoncé]
a) La fonctionx7→tanxthxréalise une bijection continue strictement croissante
deI0= [0 π2[versR+et deIn= ]−π2 +nπ π2 +nπ[versRpour
n>1x7→tanxthx. Dans chaqueInfigure une solution uniquexnà l’équation
(E).
b) On résout l’équation dans les intervalles[nπ nπ+π2[pour des valeurs
successives den.
seq(fsolve(tan(x)*tanh(x)=1, x=n*Pi..Pi/2+n*Pi), n=0..3);
c)Puisquexn∈In, on a déjàxn∼nπ.
Posonsyn=xn−nπ. On ayn∈]−π2 π2[ettanynthxn= 1donc
yn= arctanth1xn.
