Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Equation vectorielle linéaire d'ordre 1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Equation vectorielle linéaire d’ordre 1 Exercice 1 [ 00384 ] [correction] Soient a,b∈L(E) vériﬁant a◦b =b◦a.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Equation vectorielle linéaire d’ordre

Exercice 1[ 00384 ][correction]
Soienta b∈ L(E)vériﬁanta◦b=b◦a.
En considérant pourx0∈E, l’applicationt7→(exp(ta)◦exp(tb))x0, établir

exp(a+b) = exp(a)◦exp(b)

Enoncés

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02900 ][correction]
On munitRnde sa structure euclidienne canonique et on identiﬁeL(Rn)avec
Mn(R). SoitA∈ Mn(R). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)A ;est antisymétrique
(ii) chaque solution du système diﬀérentielY0=AYest de norme constante.

Exercice 3[ 01320 ][correction]
SoitA∈ M2n(R)une matrice vériﬁant

A2+I2n=O2n

Exprimer la solution de l’équation matricielle

X0(t) =AX(t)

Exercice 4[ 03670 ][correction]
SoitA∈ Mn(C)matrice dont aucune valeur propre n’est élément deune 2iπZ.
a) Montrer queeA−Inest inversible.
SoitB:R→ Mn1(C)une fonction continue et 1-périodique.
b) Montrer que l’équation

(E) :X0=AX+B(t)

d’inconnueX:R→ Mn1(C)possède une unique solution 1-périodique.

Diﬀusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
ϕ:t7→exp(ta)◦exp(tb)x0est dérivable et vériﬁeϕ0(t) = (a+b)ϕ(t). En eﬀet
(exp(ta)◦exp(tb))0=a◦exp(ta)◦exp(tb) + exp(ta)◦b◦exp(tb)

orb◦exp(ta) = exp(ta)◦bcaraetbcommutent donc

(exp(ta)◦exp(tb))0= (a+b)◦exp(ta)◦exp(tb)

De plusϕ(0) =x0doncϕ(t) = exp(t(a+b))x0. Puisque ceci vaut pour toutx0:

exp(t(a+b)) = exp(ta)◦exp(tb)

et pourt= 1la relation demandée.

Exercice 2 :[énoncé]
SoitYune solution du système diﬀérentielY0=AY.
On a
(tY Y)0=tY0Y+tY Y0tY(tA+A)Y
=
Ainsi siAest antisymétrique,(tY Y)0= 0etYest de norme constante.
Inversement, si chaque solution du système diﬀérentiel est de norme constante
alors pour toutY0∈Rn,tY0(tA+A)Y0= 0. Par suite 0 est la seule valeur propre
de l’endomorphisme symétriquetA+Aet puisque celui-ci est diagonalisable, on
obtienttA+A= 0et enﬁnAantisymétrique.

Exercice 3 :[énoncé]
L’équation étudiée est une équation diﬀérentielle linéaire d’ordre 1 à coeﬃcient
constant. Sa solution générale peut tre exprimée par une exponentielle

X(t) = exp(tA)X(0)

avec
+∞tk
exp(tA) =Xk!Ak
k=0
OrA2=−I2ndonc, en séparant les termes d’indices pairs de ceux d’indices
impairs de cette série absolument convergente

+∞(−1)p+∞
exp(tA) =p=X0(2p)!t2pI2n+pX=0((2p−1+1)p)!t2p+1A= cos(t)I2n+ sin(t)A

Ainsi la solution générale de l’équation étudiée est

X(t) = cos(t)X(0) + sin(t)AX(0)

Exercice 4 :[énoncé]
a) La matrice complexeAest assurément trigonalisable et on peut donc écrire
A=P T P−1avec
P∈GLn(C)etT=λ01)?λnoùλk∈SpA
.
.
.
(

On a alors

P−1(eA−In)P= eT−In=eλ1(0−1)...?
eλn−1

avec
∀16k6neλk−16= 0carλk∈2iπZ
On peut donc conclureeA−In∈GLn(C).
b) La solution générale de l’équation(E)est de la forme
X(t) = etAX0+X˜(t)



˜
avecXsolution particulière etX0∈ Mn1(C)colonne quelconque.
Analyse :
SoitXune solution 1-périodique. On aX(1) =X(0)et donc après résolution

X0= (eA−I)1˜ ˜
n−(X(0)−X(1))

ce qui détermine entièrement la solutionX.
Synthèse :
Considérons la fonction déﬁnie comme au terme de l’analyse ci-dessus. Elle est
solution de l’équation(E)et vériﬁeX(1) =X(0).
Considérons alors la fonction donnée parY(t) =X(t+ 1).
On vériﬁe queYest encore solution de(E)(car la fonctionBest périodique) et
puisqueY(0) =X(1) =X(0), les fonctionsXetYsont égales car solutions d’un
mme problème de Cauchy.
Finalement, la fonctionXest périodique.

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