Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Résolution avec raccord

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Résolution avec raccord

Exercice 1[ 00419 ][correction]
Résoudre surRl’équation
(E) :x2y0−y= 0

Exercice 2[ 00420 ][correction]
Résoudre surRles équations suivantes :

a)xy0y xb)xy0+y−1 = 0
−=
c)xy0−2y=x4d)x(1 +x2)y0−(x2−1)y+ 2x= 0

Exercice 3[ 00421 ][correction]
Résoudre surRl’équation suivante

(ex−1)y0+exy= 1

Exercice 4[ 00422 ][correction]
Résoudre surRles équations suivantes :

a)y0sinx−ycosx+ 1 = 0

b)(sinx)3y0= 2(cosx)y

Exercice 5[ 00423 ][correction]
Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants :
a)(tanx)y0−y= 0ety(0) = 0
b)(tanx)y0−y= 0ety(0) = 1.

Exercice 6[ 00424 ][correction]
Résoudre sur tout intervalle deRl’équation différentielle

x(x2−1)y0+ 2y=x2

Exercice 7[ 00425 ][correction]
Soitα∈R. Résoudre surRl’équation différentielle

xy0−αy= 0

en discutant selon les valeurs deα.

Enoncés

Exercice 8[ 00426 ][correction]
On considère l’équation différentielle

xy00−y0−x3y= 0

a) Montrer que siyest solution surIalorsx7→y(−x)est solution surI0
symétrique deIpar rapport à0.
b) Résoudre surR+?l’équation via le changement de variablet=x2.
c) Déterminer les solutions surR.

Exercice 9[ 00427 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(t+ 1)2y00−2(t+ 1)y0+ 2y= 0

en commençant par rechercher les solutions polynomiales.

Exercice 10[ 00428 ][correction]
Résoudre surRl’équation

E: (t+ 1)y00−(t+ 2)y0+y= 0

Exercice 11[ 00429 ][correction]
Résoudre surRl’équation

Exercice 12Centrale MP
Soient

E:y0+y= max(x0)

[ 03061 ][correction]

(E) :x(x−4)y0+ (x−2)y=−2et(H) :x(x−4)y0+ (x−2)y= 0

a) RésoudreH ?, quelles sont les solutions maximales
b) RésoudreEsurI1= ]−∞0[,I2= ]04[etI3= ]4+∞[.
c) En déduire les solutions maximales deE.

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02889 ][correction]
Résoudre
xlnx y0−(3 lnx+ 1)y= 0

1

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Exercice 14Centrale PC[ 00105 ][correction]
Soitf∈ C1(R+R)etgune solution surR+?de l’équation différentielle

xy0−y=f(x)

a) Démontrer quegse prolonge par continuité en 0. Déterminer une condition
nécessaire surf0(0)pour que la fonction ainsi prolongée soit dérivable en 0.
Démontrer que cette condition n’est pas suffisante.
b)fest supposée de classeC2et la condition précédente est vérifiée.
Démontrer quegest de classeC2.

Exercice 15Centrale PC[ 00506 ][correction]
Soit(E)l’équation différentielle

(lnx)y0+xy= 1

a) Résoudre(E)sur]01[et sur]1+∞[.
b) Soitgla fonction définie sur]−1+∞[ {0}par

g(x) = ln(1 +x)
x

Montrer quegse prolonge sur]−1+∞[en une fonction de classeC∞.
c) Démontrer que(E)admet une solution de classeC∞sur]0+∞[.

Exercice 16[ 03468 ][correction]
Résoudre surRl’équation suivante

sh(x)y0−ch(x)y= 1

Exercice 17[ 03501 ][correction]
On étudie l’équation différentielle

(E) : 4xy00+ 2y0−y= 0

a) Déterminer les fonctions développables en série entière solutions
b) Résoudre(E)surR+?et surR−?en posant respectivementx=t2
c) Déterminer les solutions de(E)surR.

Enoncés

etx=−t2.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
+?−?

SurRouR,
y0=x12y
E⇔
Solution générale :y(x) =Ce−1x.
Soityune solution surR.
yest solution surR+?etR−?donc il existeC+ C−∈Rtelles que

Continuité en 0

∀x >0 y(x) =C+e−1xet∀x <0 y(x) =C−e−1x

y(x)−x−→−0−+→y(xx→0−(0±s∞nionsiC−6= 0
0et)−−−−→

Nécessairementy(0) = 0etC−= 0.
Dérivabilité en 0

C+
−
y0(x) =2e1x−x−→−0−+→0ety0(x)−x−→−0−→0doncy0(0) = 0
x−

Equation différentielle en 0 :02y0(0)−y(0) = 0: ok.
Finalement
∃C∈R,y(x) =Ce−1xsix >0
0sinon

Inversement une telle fonction est solution.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Solution générale surR+?ouR−?:

y(x) =xln|x|+CxavecC∈R

Pas de recollement possible en 0.
b) Solution générale surR+?ouR−?:

y(x) = 1 +CavecC∈R
x

Après recollement en 0, solution générale surR:y(x) = 1.

Corrections

c) Solution générale surR+?ouR−?:

y(x)1=2x4+Cx2avecC∈R
Après recollement en 0, solution générale surR:
y(x) =C+x214+x4six>0avecC+
1 C−∈R
C−x24+x4six <0
d) Solution générale surR+?ouR−?:

y(x+)1=C x2+ 1avecC∈R
x x

Via
x2−1 2x2−(1 +x2) 2x1
= =−
x(1 +x2)x(1 +x2) 1 +x2x
Après recollement en 0, solution générale surR:y(x) =−x.

Exercice 3 :[énoncé]
Solution générale surR+?ouR−?

y(x) =Cx+−x1
e

Après recollement en0, solution générale surR
y(x) =exx−1prolongée par continuité avecy(0) = 1

Exercice 4 :[énoncé]
a) Solution générale surIk= ]kπ(k+ 1)π[ k∈R:

y(x) = cosx+CsinxavecC∈R

Après recollement en chaquekπ, solution générale surR:

y(x) = cosx+CsinxavecC∈R

b)) Solution générale surIk= ]kπ(k+ 1)π[ k∈R:

y(x) =Ce1sin2xavecC∈R

3

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Après recollement en chaquekπ, solution générale surR:
y(x) =(Cke1sin2kxsix∈Ikavec(Ck)∈RZ
0six=π

Exercice 5 :[énoncé]
a) SoitI= ]−π2 π2[le plus grand intervalle contenant où l’équation
différentielle a un sens.
PosonsI+= ]0 π2[etI−= ]−π20[.
Solution générale surI+:y(x) =C+sinx.
Solution générale surI−y(x) =C−sinx.
:
Cherchons les solutions définies surI.
Analyse : Soityune solution surI, s’il en existe.
yest a fortiori solution surI+etI−donc :
∃C+ C−∈Rtel quey(x) =C+sinxsurI+ety(x) =C−sinxsurI−.
Commeydoit tre continue en 0,lim im
x→0+y(x) =xl→0−y(x) =y(0) = 0. Pas
d’informations surC+niC−.
Commeydoit tre dérivable en 0,
=C+0
xl→i0m+y(x)x−y(0)=y(0) =xl→im0−y(x)−yx(0)=C−.
DoncC+=C−. Finalementy(x) =C+sinxsurIentier.
Synthèse :y(x) =Csin(x)avecC∈Rest bien solution surI.
On auray(0) = 0⇔Csin(0) = 0ce qui est toujours vraie.
Il y a ici une infinité de solutions au problème de Cauchy.
b) On auray(0) = 1⇔Csin(0) = 1ce qui est impossible.
Il n’y a ici aucune solution au problème de Cauchy.

Exercice 6 :[énoncé]
SoitI= ]−∞−1[]−10[]01[ou]1+∞[.
=2.
SurI, l’équation différentielle devient :y0+x(x22−1)yx x−1
La solution générale surIestx2(lxn2|x−|1+C)avecC∈R.
Après recollement en 1, 0 et -1 on conclut, pour tout intervalleI:
Si10−1∈ y I(x) =x2(lxn2|x|1+C)avecC∈R
−
x2ln|xx2|+C+x2six >0
−1
Si1−1∈ Iet0∈I,y(x) =0six= 0avecC+ C−∈R.
x2ln|x−|1+C−x2six <0
x2
Si1∈Iou−1∈I,y(x) =x2x2ln|−1x|.

Corrections

4

Exercice 7 :[énoncé]