Sujet : Analyse, Equations différentielles non linéaires, Equations autonomes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Equations autonomes

Exercice 1[ 00445 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

Exercice 2[ 00446 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

Exercice 3[ 00447 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

Exercice 4[ 00448 ][correction]
Résoudre sur tout intervalle

Exercice 5[ 00449 ][correction]
Résoudre sur tout intervalle

y0= 1 +y2

y0=y2

y0=y(y−1)

y0+ ey= 0

y0siny=−1

Exercice 6[ 00450 ][correction]
Résoudre surRl’équation différentielle

y0=|y|

Exercice 7Centrale MP[ 03055 ][correction]
On considère l’équation différentielle

E:y0=y2+y+ 1

Enoncés

a) Existe-t-il des solutions deEsurR?
b) RésoudreE, trouver ses solutions maximales et montrer qu’elles sont définies
sur un intervalle borné dont on déterminera la longueur.

Exercice 8[ 00451 ][correction]
Soientf:R→Rune fonction continue strictement positive etx0∈R.
a) SoitFla primitive de1fs’annulant enx0.
Montrer queFréalise une bijection deRsur un certain intervalle ouvertI.
b) Etablir queF−1est solution surIde l’équation différentiellex0=f(x)
vérifiant la condition initialex(0) =x0.
c) Justifier que cette solution est maximale.

Exercice 9[ 00452 ][correction]
Déterminer les solutions au problème de Cauchy
(y00= 2y+ 2y3
y(0) = 0 y0(0) = 1

Exercice 10[ 00453 ][correction]
On souhaite résoudre le problème de Cauchy formé par l’équation différentielle

y00+|y|= 0

et les conditions initialesy(0) =aety0(0) = 0(aveca∈R).
On admet que ce problème de Cauchy admet une solution unique définie surR.
a) Montrer que pour tout réelx,

y(x)6a

b) Déterminerylorsquea∈R−.
On suppose désormaisa >0.
c) Montrer queys’annule en exactement deux pointsb−<0etb+>0dont on
précisera les valeurs.
d) Achever la résolution du problème de Cauchy.

Exercice 11Centrale MP[ 03452 ][correction]
a) Avec Maple, trouver la solution maximale du problème

x0(t) =ax(t)2,x(0) = 1

poura∈R.
Vérifier et justifier le résultat obtenu, donner l’intervalle de définition.
PourA∈ Mn(R)
(E):X0(t) =X(t)AX(t),X(0) =In

1

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pour d’inconnuet7→X(t)∈ Mn(R).
b) On suppose qu’il existek∈Ntel queAk=Oet que pour touttdans
l’intervalle de définition d’une solutionX,X(t)commute avecA.
CalculerX. Que vautX(t)−1?
c) On suppose que pour touttdans l’intervalle de définition d’une solutionX,
X(t)est inversible. L’applicationt7→X(t)−1 ?est-elle dérivable Quels sont ses
coefficients ? ExprimerX(t)

Exercice 12[ 03500 ][correction]
Déterminer les solutions surRde l’équation
y0=p|y|

Exercice 13[ 03507 ][correction]
Déterminer les fonctionsyde classeC2vérifiant
y00= sin(y),y(0) =π2ety0(0) =√2

Exercice 14[ 03757 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

y0= siny

Enoncés

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
0
Siyest solution surIalors1+yy2= 1donc

Corrections

∃C∈R∀x∈Iarctany(x) =x+C
Orarctany(x)∈−2ππ2doncx+C∈−π22πpuisI⊂−π2−C2π−Cet

∀x∈I y(x) = tan(x+C)

Réciproque est immédiate.

Exercice 2 :[énoncé]
L’équation est de la formey0=f(x y)avecffonction de classeC1surR2. On
peut donc exploiter le théorème de Cauchy-Lipschitz.
y= 0est solution surRde cette équation différentielle. Il n’existe donc pas
d’autre solution s’annulant.
0
Soityune solution surIne s’annulant pas. On ayy2= 1donc il existeC∈Rtel
que−1=x+Cet alors
y

1
−
∀x∈I,x+C6= 0ety(x) =x+C

La réciproque est immédiate.

Exercice 3 :[énoncé]
y7→y(y−1)est de classeC1, on peut donc appliquer le théorème de
Cauchy-Lipschitz
Les fonctions constantes égales à 0 et 1 sont solutions surRde l’équation. En
vertu du théorème de Cauchy-Lipschitz, il n’y a pas d’autres solutions prenant les
valeurs 0 et 1 que les solutions constantes.
Soityune solution surInon constante. On a

y0(
∀x∈Iy(x)(y(xx))− 11) =
OrRt(td−t1)= ln1−1t+Ctedonc

∃C∈R∀x∈Ilny(x)−=1x+C
y(x)

puis
−1
y(yx()x e) =x+C
 
La fonctionx7→y(yx()x)−1étant de signe constant, on parvient à
λ=±eCpuis
1
=
y(x1)−λex

avec1−λex6= 0surI.
Inversement : ok.

y(xy))(−1=λexavec
x

Exercice 4 :[énoncé]
Soityune solution sur un intervalleIdey0+ ey= 0.
SurI, on a−y0(x)e−y(x)= 1donc∃C∈R∀x∈Ie−y(x)=x+C.
Par suite∀x∈I x+C >0ety(x) =−ln(x+C).
Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions.

Exercice 5 :[énoncé]
Soityune solution surIdey0siny=−1.
SurI, on a−y0(x) siny(x) = 1donc∃C∈R∀x∈Icos(y(x)) =x+C.
Siy(x [) = 0π]alors l’équationy0siny=−1ne peut tre satisfaite en cetx.
Donc∀x∈I,y(x)6= 0 [π].
Par continuité∃k∈Z∀x∈I y(x)∈]kπ(k+ 1)π[etcos(y(x)) =x+Cdonc
C) +kπsikest pair
y(x)(a−occra(scrocxs(x++C) + (k+ 1)πsikest impair
.
=
Inversement de telles fonctions sont bien solutions.

Exercice 6 :[énoncé]
Soityune solution. C’est une fonction croissante.
Si elle est positive alors

Si elle est négative alors

∃C >0∀x∈R y(x) =Cex

∃C >0∀x∈R y(x) =−Ce−x

Si elle s’annule ena∈Ralors sur]−∞ a],y0=−yet sur[a+∞[,y0=y
.
Le recollement des deux solutions obtenues donney= 0.
Inversement : ok

3

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Exercice 7 :[énoncé]
a) Soityune solution deEdéfinie sur un intervalleI.
Pour touta b∈I,
=Zbdt=Zby0(t)
b−ad
a ay2(t) +y(t) + 1t

Corrections

Puisque la fonctionyest de classeC1, on peut réaliser le changement de variable
u=y(t)et alors

y
b−a=Zy(a(b))u2d+uu+ 16ZRu2d+uu+ 1<+∞

Les solutions deEsont donc définies sur des intervalles bornés ; il n’y a pas de
solutions deEsurR.
b) Soityune solution deEdéfinie sur un intervalleInon singulier.
Pour toutt∈I, on a
y0(t)1=)
y2(t) +y(t+ 1

Or
Zy2(t)y+0(ty)(t) + 1 dt=√2a3ncrat2y(t√) + 1
3
donc il existe une constante réelleCtelle que pour toutt∈I,
2
arctany(t√)+31=√(32t+C)

Puisque la fonctionarctanest à valeurs dans]−π2 π2[, on a pour toutt∈I,
√3
2 (t+C)∈iπ22πh
−

et donc

Enfin, pour toutt∈I,

Résumons :

I⊂− √π3√π3−C

y(t) =−2+1√an2t3√(32t+C)

4

Siyest une solution deEsur un intervalle non singulierI, il existe une constante
Créelle telle que
I⊂− √π3√π3−Cet∀t∈I,y(t) =−21+√ta32n√32(t+C)
Inversement, en reprenant les calculs en sens inverse, on peut affirmer que de
telles fonctions sont solutions.
Les solutions maximales sont alors les fonctions
√3
yC:− √π3√π3−C→RavecyC(t) =−+12√tan322 (t+C)
Elles sont défi