Sujet : Analyse, Equations différentielles non linéaires, Etude qualitative

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude qualitative Exercice 4 [ 00434 ] [correction] Justifier qu’il existe une solution maximale à l’équation différentielle Exercice 1 [ 00430 ] [correction] 0 2 y =x +y Soit 0 2 2E :y =x +y vérifianty(0) = 0 et que celle-ci est développable en série entière au voisinage de 0. a) Justifier l’existence d’une unique solution maximale y de E vérifiant y(0) = 0. b) Montrer que y est une fonction impaire. Exercice 5 [ 00435 ] [correction]c) Etudier la monotonie et la concavité de y. On considère l’équationd) Montrer que y est définie sur un intervalle borné deR. 0 2 E :y =x +ye) Dresser le tableau de variation de y. a) Quel est le lieu des points où les solutions de (E) présentent une tangente horizontale? Exercice 2 [ 00431 ] [correction] b) Décrire le lieu des points d’inflexion? a) Montrer que le problème de Cauchy  10 Exercice 6 [ 00437 ] [correction]y = 1 +xy On considère l’équation différentielle y(0) = 0 0 2E :xy =x +y sur ]0, +∞[ possède une solution maximale unique. +?b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante. a) Montrer que les solutions sont définies sur des intervalles bornés de R . c) Etablir enfin qu’elle est définie surR. b) Etudier le comportement d’une solution maximale aux bornes de son intervalle d) Déterminer la limite en +∞ de cette solution. de définition. e) On note ϕ la bijection réciproque de cette solution.