Sujet : Analyse, Equations différentielles non linéaires, Etude qualitative

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Etude qualitative

Exercice 1[ 00430 ][correction]
Soit
E:y0=x2+y2

Enoncés

a) Justifier l’existence d’une unique solution maximaleydeEvérifianty(0) = 0.
b) Montrer queyest une fonction impaire.
c) Etudier la monotonie et la concavité dey.
d) Montrer queyest définie sur un intervalle borné deR.
e) Dresser le tableau de variation dey.

Exercice 2[ 00431 ][correction]
a) Montrer que le problème de Cauchy
y01+1
=
xy
y(0) = 0

possède une solution maximale unique.
b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante.
c) Etablir enfin qu’elle est définie surR.
d) Déterminer la limite en+∞de cette solution.
e) On noteϕla bijection réciproque de cette solution. Exprimerϕà l’aide d’une
intégrale en formant une équation différentielle vérifiée par cette fonction.

Exercice 3[ 00432 ][correction]
On considère le problème différentiel :
(y0= cos(xy)
y(0) =y0

a) Justifier l’existence d’une unique solution maximaley.
b) En observant
y(x) =y0+Z0xcos(ty(t))d
t
montrer queyest définie surR.

Exercice 4[ 00434 ][correction]
Justifier qu’il existe une solution maximale à l’équation différentielle

y0=x+y2

1

vérifianty(0) = 0et que celle-ci est développable en série entière au voisinage de 0.

Exercice 5[ 00435 ][correction]
On considère l’équation

E:y0=x+y2

a) Quel est le lieu des points où les solutions de(E)présentent une tangente
horizontale ?
b) Décrire le lieu des points d’inflexion ?

Exercice 6[ 00437 ][correction]
On considère l’équation différentielle

E:xy0=x+y2sur]0+∞[

+?
a) Montrer que les solutions sont définies sur des intervalles bornés deR.
b) Etudier le comportement d’une solution maximale aux bornes de son intervalle
de définition.

Exercice 7Centrale MP[ 02456 ][correction]
On notefla solution maximale de

dy= e−xy
dx

telle quef(0) = 0.
a) Montrer quefest impaire.
b) Montrer quefest définie surR.
c) Montrer quefpossède une limite finieaen+∞.
d) Montrer quea >1.
e) Montrer qu’en+∞:

f(x) 1ae−ax+oe−ax
=a−

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Exercice 8Centrale MP[ 02457 ][correction]
Soitλ∈]−11[. On s’intéresse à l’équation différentielle avec retard :

(E) :f0(x) =f(x) +f(λx)

Enoncés

L’inconnue est une fonction dérivable deRdansR.
a) Soitfune solution de(E); montrer quefest de classeC∞puis développable
en série entière surR.
b) Expliciter les solutions de(E).
n
c) Montrer queQ(1 +λk)tend vers une limite finie, non nulle, notéeK(λ)
k=0
quandntend vers∞.
d) Montrer que,fétant une solution non nulle de(E),

f(x)x→∼+∞K(λ)f(0)ex

Exercice 9Centrale MP[ 02458 ][correction]
Soita∈R. Pourα∈R, on notePαle problème

x0= cos(x2+ sin(2πt))−aetx(0) =α

a) Soitα∈R. Montrer l’existence d’une solution maximalexαdePα.
b) Que dire des intervalles de définition des solutions maximales ?
c) Pour|a|>1, donner les variations et les limites aux bornes des solutions.
On suppose|a|<1.
d) Montrer que, pour toutA >0, il existeM(A)>0tel que pour tout
α∈[−A A]et toutt∈[01],|xα(t)|6M(A).
e) Montrer que, pour tout(α β)∈[−A A]2et toutt∈[01]:
t
|+ 2M)Z0
|xα(t)−xβ(t)|6|α−β(A|xα(u)−xβ(u)|du

f) En déduire :

∀t∈[01],|xα(t)−xβ(t)|6|α−β|e2M(A)t

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02899 ][correction]
Soit une fonctionϕde classeC1surR2et bornée.
Soityune solution maximale de l’équation différentielle

Montrer queyest définie surR.

y0=ϕ(x y)

Exercice 11X MP[ 02979 ][correction]
On considère l’équation
y0=x+y2

Soityune solution maximale définie sur un intervalleI.
a) Montrer queIest majoré. On poseb= supI.
b) Montrer queyest croissante au voisinage deb. Quelle est la limite deyenb?
c) Trouver un équivalent deyau voisinage deb.

Exercice 12[ 03344 ][correction]
On étudie l’équation différentielle

(E) :y0=x3+y3

Soityune solution maximale de l’équation différentielle(E)définie en 0 et
vérifianty(0)>0.
a) Justifier queyest définie sur un intervalle ouvert]α β[.
b) Montrer queyest croissante sur[0 β[.
c) Etablir queβest réel.
d) Déterminer la limite deyenβ−.

Exercice 13[ 03503 ][correction]
Soitfla solution maximale sur]α β[du problème de Cauchy

Montrer queβ= +∞.

y0=x+y1avecy(0) =a >0

Exercice 14Centrale MP[ 03739 ][correction]
On considère l’équation différentielle

(E) :x0(t) = cos (2π(x(t)−t))

a) Rappeler l’énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz qui s’applique ici.
b) Soitxune solution de(E). Montrer quexest lipschitzienne.
c) Soitxune solution maximale de(E)etI= ]a b[son intervalle de définition.
Montrer queI=R.
d) Sixest solution maximale de(E)etk∈Z, vérifier quet7→x(t+k)etk+x
sont solutions.
Trouver des solutions simples de(E).

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Enoncés

e) On fixe une solution maximale de(E).
Montrer quet∈R7→x(t)−tconverge en±∞et exprimer les limites en fonction
dex(0).
f) On considère maintenant une solution maximalexde

(E2) :x0(t)=+11x(t)2+ cos (2π(x(t)−t))

Montrer quexest définie surRet quet∈R+7→x(t)−test bornée.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) La fonctionf: (x y)7→x2+y2est de classeC1sur l’ouvertU=R2. Le
théorème de Cauchy-Lipschitz assure l’existence d’une solution maximale unique
au problème de Cauchy posé, solution définie sur un intervalle ouvertIcontenant
0.
dsolve(D(y)(x)=xˆ2+y(x)ˆ2, y(0)=0, y(x));
plot(rhs(%), x=-1.5..1.5);

La solution dey0=x2+y2vérifianty(0) = 0
b) Soitz:x7→ −y(−x)définie surI0symétrique deIpar rapport à0.
zest dérivable et est encore solution du problème de Cauchy précédent.
DoncI0⊂Iet∀x∈I0 z(x) =y(x).
Or puisqueI0est le symétrique deI, on observeI0=Ipuisz=y.
c)y0(x)>0doncyest croissante, négative surR−et positive surR+.
yest deux fois dérivable ety00(x) = 2x+ 2y0(x)y(x) = 2x+ 2(x2+y2(x))y(x).
y00est négative surR−et positive surR+d’où la concavité dey.
d) Par l’absurde, siyn’est pas définie sur un intervalle borné deR, c’est qu’elle
est définie surR(car elle est impaire). Mais alors∀x>1 y0(x)>1 +y2(x)donc
en intégrant, il existeC∈Rtel que pour toutx>1,arctany(x)>x+C. Ceci
est absurde.

e)yest définie, impaire, croissante surI= ]−a a[aveca∈R.
Reste à étudierlimyCette limite existe compte tenu de la monotonie de
x→a−(x).
y(x)et soit réelle, soit+∞.
y
Sixl→iam−(x) =`∈Ralors posonsy(a) =`.yest alors continue sur]−a a].
De plusy0(x)→a2+`2∈Rdonc ce prolongement estC1sur]−a a]et vérifie
l’équation différentielle ena.
Ceci est absurde caryest solution maximale.
Par suitelimy(x) = +∞.
x→a−

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Exercice 2 :[énoncé]
a)f(x y) =+11xyest une fonction de classeC1sur l’ouvertR2 {(x y)xy=−1}.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l’existen