Sujet : Analyse, Espaces normés, Dérivation d'une fonction vectorielle

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Dérivation d’une fonction vectorielle Exercice 5 [ 00568 ] [correction] ∞Soit f :R→E de classeC . Etablir que pour tout t = 0, Exercice 1 [ 00564 ] [correction] n (n) (−1)n−1 (n)t f(1/t) = f (1/t)Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f :R→E dérivable en 0. On n+1t suppose ∀x∈R, f(2x) = 2f(x) Exercice 6 [ 00569 ] [correction]Montrer que f est linéaire Soit f : [0, 1]→E dérivable à droite en 0 et vérifiant f(0) = 0. Déterminer la limite quand n→ +∞ de Exercice 2 [ 00565 ] [correction] nX 1 2Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f :C ([a,b[,E). S = f k/nn 1 0Montrer que f admet un prolongement de classeC à [a,b] si, et seulement si, f k=1 admet une limite en b. Exercice 7 [ 03482 ] [correction] 3On munitR de sa structure euclidienne orientée usuelle. Soient~e ,~e ,~e troisExercice 3 [ 00566 ] [correction] 1 2 3 3 1fonctions de I versR de classeC telle quePour tout réel x, on pose : 3 x 1 0 ∀t∈I,B(t) = (~e (t),~e (t),~e (t)) est une base orthonormée directe deR1 2 3 2 x /2! x 1 a) Montrer que pour tout t∈I, la matrice représentative dansB(t) de la famille .3 2 . .D (x) = x /3! x /2! x 0 0 0n (~e (t),~e (t),~e (t)) est antisymétrique. 1 2 3 . . . 3~. . . b) En déduire qu’il existe une fonction Ω :I→R continue vérifiant. .. 1 n 2 x /n! ··· ··· x /2! x 0 ~∀i∈{1, 2, 3},~e (t) = Ω(t)∧~e (t)ii 0a) Montrer que D est une fonction dérivable et calculer D (x).