Sujet : Analyse, Etude d'une suite définie implicitement

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Suites numériques. Suites récurrentes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Etude d’une suite définie implicitement

Soit∈ℕ∗.
L’objectif du problème est d’étudier les solutions des équations () : ln+=d’inconnue∈ℝ+∗.

1.

2.

3.a

3.b

4.a

4.b

Partie I - Etude de la suite des solutions

Montrer que l’équation (tnei ua mges tneel c-cleapi rtpa1, po)euqinu enu edèssue qetn ioutol s
Dans la suite du problème, cette solution sera notée.

Montrer que la suite ()≥1est croissante.

lnéduire
→∞ en d0 et∞
Montrer que∼.

Déterminer la limite de+1−.
Donner un équivalent simple à ln.
.
En déduire=−ln+(ln)
On pose=−+ln.
Donner un équivalent simple à.
En déduire=−ln+ln+ln.

Partie II - Approximation numérique de

Dans cette partie, l’entierest fixé.
1. Montrer que∀≥1, ln≤−1 .
2. Soit:ℝ+∗→ℝdéfinie par()=−ln.
2.a Montrer queest décroissante et queest le seul point fixe de (1)
2.b Soit∈1,et ( suite définie par :) la

∀0∈=ℕ,+1()ln
= = −
Montrer que la suite ( bien définie et que) est∀∈ℕ,∈1,.
2.c Justifier la monotonie des suites (2) et (2+1) puis leur convergence.
2.d On poseα=li∞m2etβ=li∞m2+1.
Justifier queα,β∈1,puis que(α)=βet(β)=α.
2.e En observant que la fonction֏−ln 1,est strictement croissante sur, établir queα=β.
2.f En déduire que→.
3. On reprend les notations précédentes en se plaçant dans le cas=2 et en prenant=1 .
3.a Représenter sur un graphique d’unité 4 cm la construction des termespour∈ {0,1, 2,…, 6}.
3.b Déterminer la valeur décimale par défaut de2à la précision 10−2.
On précisera la démarche qui a permis d’obtenir celle-ci

(1)On appelle point fixe d’une fonction

tout

tel que



=

.

.