Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Etude de fonctions définies par une intégrale

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Etude de fonctions définies par une

intégrale

Exercice 1[ 00531 ][correction]
Soit
+
f:x7→Z0∞1 +xd3t+t3
a) Montrer quefest définie surR+.
b) A l’aide du changement de variableu= 1t, calculerf(0).
c) Montrer quefest continue et décroissante.
d) Déterminerlimf.
+∞

Exercice 2[ 00532 ][correction]
Soit
+
g(x) =Z0∞e1−t+x2td3t
a) Calculerg(0)en réalisant le changement de variablet= 1u.
b) Etudier les variations degsur son domaine de définition.
c) Etudier la limite degen+∞.

Exercice 3[ 00533 ][correction]
Soit
costdt
f:x7→Z0π2t+x
a) Montrer quefest définie, continue surR+?. Etudier les variations def.
b) Déterminer les limites defen0+et+∞.
c) Déterminer un équivalent defen0+et+∞.

Exercice 4[ 00534 ][correction]
a) Justifier que l’intégrale suivante est définie pour toutx >0
f(x) =Z1tx−1
dt
01 +t

b) Justifier la continuité defsur son domaine de définition.
c) Calculerf(x) +f(x+ 1)pourx >0.
d) Donner un équivalent def(x)quandx→0+et la limite defen+∞.

Enoncés

Exercice 5[ 00535 ][correction]
Soitf:R→Rdéfinie par
−x(1+t2)
f(x) =Z01e1 +t2dt
a) Montrer quefest dérivable surRet exprimerf0(x).
b) Calculerf(0)etlimf.
+∞
c) On notegl’application définie parg(x) =f(x2). Montrer
x
g(x) +Z−t2dt2=π4
e
0
d) Conclure
Z+∞2√π

e−tdt=
02

Exercice 6[ 00536 ][correction]
Soitfla fonction donnée par
Z0π2sinx(t)dt
f(x) =
a) Montrer quefest définie et positive sur]−1+∞[.
b) Montrer quefest de classeC1et préciser sa monotonie.
c) Former une relation entref(x+ 2)etf(x)pour toutx >−1.
d) On pose pourx >0,
ϕ(x) =xf(x)f(x−1)
Montrer que
∀x >0 ϕ(x+ 1) =ϕ(x)
Calculerϕ(n)pourn∈N?.
e) Déterminer un équivalent àfen−1+.

Exercice 7[ 00537 ][correction]
Soit
f:x7→Z+0∞1e−+xtt22dt
a) Montrer quefest définie et continue surR+.
b) Montrer quefest dérivable surR+?et solution de l’équation différentielle
y y0√π
−=
2√x

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Exercice 8[ 00538 ][correction]
Soit
F:x7→Z0+∞1e+−xtt2dt
Montrer queFest solution surR+?de limite nulle en+∞de l’équation
différentielle
y001
+y=
x

Exercice 9Centrale MP[ 00541 ][correction]
On considère les fonctionsfetgdéfinies surR+par :
e
f(x)Z+∞1−+xtt2dtetg(x) =Z+0∞x+nisttdt
=
0

a) Montrer quefetgsont de classeC2surR+?et qu’elles vérifient l’équation
différentielle
y00+ 1
y=
x
b) Montrer quefetgsont continues en 0
c) En déduire que
Z+∞sintdπ
t=
0t2

Exercice 10[ 00542 ][correction]
a) Justifier la convergence de l’intégrale
I=Z0+∞sitntdt

b) Pour toutx>0, on pose
x)+∞e
=Z0−xttsintdt
F(

Déterminer la limite deFen+∞.
c) Justifier queFest dérivable sur]0+∞[et calculerF0
d) En admettant la continuité deFen 0 déterminer la valeur deI.

Enoncés

Exercice 11[ 00543 ][correction]
Pourx∈R+ett>0, on posef(x t) = e−xtsinctoù sinc (lire sinus cardinal) est
la fonctiont7→sitntprolongée par continuité en 0.
Pourn∈N, on pose
n(x) =Z(n+1)π
u f(x t)dt
nπ
a) Montrer queun(x) = (−1)nR0πgn(x u)duavecgn(x u)qu’on explicitera.
b) Montrer que la série de fonctions de terme généralunconverge uniformément
surR+.
+∞
c) On poseU(x) =Pun(x). Justifier queUest continue et expliciterUsous la
n=0
forme d’une intégrale convergente.
d) Montrer queUest de classeC1sur]0+∞[et calculerU0(x).
e) ExpliciterU(x)pourx >0puis la valeur de
+∞
(0) =Z0sitntdt
U

Exercice 12Centrale MP[ 02491 ][correction]
On considère la fonction suivanteIdéfinie par :
Zπ2
∀x∈ D I(x (sin) =t)xdt
0

a) Déterminer le domaine de définitionD.
b) Montrer queIest de classeC∞surD.
c) CalculerI(0) I(1) I(2) I(3) I(4).
d) Trouver une relation simple entreI(x+ 2)etI(x).
e) Soitn∈N?. Que vautI(n)I(n−1)?
f) Déterminer des équivalents simples deIaux extrémités deD.

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02878 ][correction]
a) Pour quelsxdeRl’intégrale :
Z0π2(sint)xdt

existe-t-elle ? Dans ce cas, soitf(x)sa valeur.
b) Montrer quefest de classeC1sur son intervalle de définition.
c) Que dire de
x7→(x+ 1)f(x)f(x+ 1)?

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Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02871 ][correction]
Pourx∈R, on pose
∞sin(xtd)t
f(x) =Z0+et−1
a) Définition def.
b) Continuité et dérivabilité def.
c) Ecriref(1)comme somme de série.

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02875 ][correction]
SoitΩ ={z∈CRez >−1}. Siz∈Ω, soit
t
f(z) =Z011 +ztdt

a) Montrer quefest définie et continue surΩ.
b) Donner un équivalent def(x)quandxtend vers−1.
c) Donner un équivalent def(z)quand Rez→+∞.

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02880 ][correction]
Montrer que, pour toutxréel positif,
Z+0∞+1arctan(tx2t)dt=Z0xt2ln−t1 dt

Enoncés

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02882 ][correction]
On pose, pourx >0,
f(x) =x1Z+∞1−e−t2txdt
01 +
Montrer quefest de classeC2sur]0+∞[et trouver des équivalents simples def
en 0 et en+∞.

Exercice 18Centrale MP[ 03211 ][correction]
On considère
ϕ:x7→Z0+∞e1i+txt2dt
a) Montrer la définie et la continuité deϕsurR.

b) Montrer queϕest de classeC1surR?et montrer que
ϕ0(x) =iZ+0∞1t+eittx2dt

c) Montrer que pourx >0,
+∞
ϕ0(x) =iZ0x2ue+iuu2du

et déterminer un équivalent deϕ0(x)quandx→0+.
d) La fonctionϕest-elle dérivable en0?

Exercice 19[ 03313 ][correction]
Soit
1cos(xsinθ) dθ
f:x7→πZ0π
a) Montrer quefest définie et de classeC2surR.
b) Déterminer une équation différentielle linéaire d’ordre 2 dontfest solution.
c) Montrer quefest développable en série entière surR.
d) Exploiter l’équation différentielle précédente pour former ce développement.

Exercice 20[ 03324 ][correction]
Pourx >0, on pose
f(x) =Zxdt
−x√1 +t2√x2−t2
a) Montrer quefest définie et continue.
b) Déterminer les limites defen0+et+∞.

Exercice 21[ 03621 ][correction]
a) Déterminer le domaine de définition de
f(x) =Zxcos2td
t
1t

b) Donner un équivalent defen0et en+∞.

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Exercice 22[ 03658 ][correction]
On pose
e−tdt
F(x) =Z0+∞1 +tx
a) Montrer queF(x)est bien définie pour toutx>0.
b) Montrer queFest de classeC∞sur[0+∞[.
c) CalculerF(n)(0)pour toutn∈N.

Exercice 23[ 03760 ][correction]
a) Déterminer l’ensemble de définition de
f(x) =Z1pt(1−td)(t1−x2t)
0

b) Donner la limite defenx= 1
.

Exercice 24Centrale MP[ 03736 ][correction]
On pose
+∞dx
f(α) =Z0xα(1 +x)
a) Etudier l’ensemble de définition def.
b) Donner un équivalent defen 0.
c) Montrer que le graphe defadmet une symétrie d’axex= 12.
d) Montrer quefest continue sur son ensemble de définition.
e) Calculer la borne inférieure def.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 25CCP MP[ 02556 ][correction]
Pourx >0, on pose
1lntdt
F(x) =Z0t+x
Mont