La lecture à portée de main
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDescription
Sujets
Informations
Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 51 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Fonctions trigonométriques
Enoncés
Exercice 1[ 01839 ][correction]
Etablir que pour toutx∈R+, on asinx6xet pour toutx∈R,cosx>1−x22.
Exercice 2[ 01840 ][correction]
Développer :
a)cos 3ab)tan(a+b+c)
Exercice 3[ 01841 ][correction]
Calculercosπ8en observant2×8π=4π.
Exercice 4[ 01842 ][correction]
Simplifier
En déduire la valeur de
Exercice 5[ 01843 ][correction]
Linéariser :
cosp−cosq
sinp+ sinq
π
tan
24
a)cos2xb)cosxsin2x
d)cosacosbe)cosacosbcosc
c)cos2xsin2x
Exercice 6[ 01844 ][correction]
Ecrire sous la formeAcos(x−ϕ)les expressions suivantes :
a)cosx+ sinxb)cosx−√3 sinx
Exercice 7[ 01845 ][correction]
Poura b∈Rtels queb6 [2= 0π], calculer simultanément
n n
Xcos(a+kb)etXsin(a+kb)
k=0k=0
Exercice 8[ 01846 ][correction]
Soitx6= 0 [2π].
a) Montrer
sinx+ sin 2x+∙ ∙ ∙+ sinnx= sin(n1+2)xsinn2x
sinx2
en procédant par récurrence surn∈N.
b) En exploitant les nombres complexes.
Exercice 9[ 01847 ][correction]
Résoudre les équations suivantes d’inconnuesx∈R.
a)cos(2x−π3) = sin(x+ 3π4)b)cos4x+ sin4x= 1
c)sinx+ sin 3x= 0d)sinx+ sin 2x+ sin 3x= 0
e)3 cosx√−3 sinx=√6f)2 sinxcosx+√3 cos 2x= 0
Exercice 10[ 01848 ][correction]
Résoudre l’équation
tanxtan 2x= 1
Exercice 11Mines-Ponts MP
4
CalculerPcos2k9π.
k=1
[ 02645 ][correction]
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Posonsf(x) =x−sinxdéfinie surR+.
fest dérivable,f0>0etf(0) = 0doncfest positive.
Posonsg(x) = cosx−1 +x22définie surR.
gest deux fois dérivable,g00>0,g0(0) =g(0) = 0permet de dresser les tableaux
de variation et de signe deg0puis deg. On conclutgpositive.
Exercice 2 :[énoncé]
a)cos 3a= cos(2a+a)puis
cos 3a= 4 cos3a−3 cosa
b)tan(a+b+c) = tan((a+b) +c)puis
tan(a+b+c1a)t=−tnaan+atanatnbb+−tnatanbc−tantacna−nnattacbnattanca
Exercice 3 :[énoncé]
On saitcos 2a cos= 22a−1donc
puis
et enfin
2 cos2π−1 =√2
8 2
cos2=√2 + 2
π
8 4
πp√2 + 2
cos =
8 2
Exercice 4 :[énoncé]
Par factorisation
p−qp−q
cosp−cosq=−sin2=−tan
sinp+ sinqcosp2−q2
Pourp=4πetq=6πon obtient
π√23−√22√3√−2
tan 4 = =
2√22+21√2 + 1
Exercice 5 :[énoncé]
a)cos2x=1cos 2x+1
b)cosxsin22x=14cosx2.−14cos 3x.
c)cos2xsin2 1
x=1 4sin22x=18(1−cos 4x)
=
d)cosacosb2(cos(a+b) + cos(a−b))
e)cosacosbcosc=
41(cos(a+b+c) + cos(a+b−c) + cos(a−b+c) + cos(a−b−c)).
Exercice 6 :[énoncé]
a)cosx+ sinx=√2 cos(x−π4).
b)cosx√−3 sinx cos(= 2x+π3).
Exercice 7 :[énoncé]
En passant aux nombres complexes
n n n
Xcos(a+kb) +iXsin(a+kb) =Xei(a+kb)
k=0k=0k=0
Par sommation géométrique puis factorisation de l’exponentielle équilibrée
Par suite
et
nXei(a+kb)=eiaei(ein+b1)−b1−1 = ei(a+nb2)sin(n)21+b
k=0sinb2
n1bb
X(n2)++n2 )
k=0cos(a+kbsinis=)n2bcos(a
n(n
Xsin(a+kb) = sin)1+2bn(a+n2b)
k=0sinb2si
2
Exercice 8 :[énoncé]
a) L’hérédité de la récurrence s’obtient via :
sin (n+1)2xsinn2x+ sin(n+ 1)xs2nix= sin (n2)1+xsinn2x+ 2 cos (n+)12xsinx2
= sin (n+ 1)xsin (n+ 2)x
2 2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
en exploitant
p−q p+q
si−s cos
npinq 2= 2 sin 2
avec
p= (n)22+xetq=n2x
b) Par les nombres complexes
x
sinx+ sin 2x+∙ ∙ ∙+ sinnx=Im(k=Xn1eikx) =Imeix1−−eie(xin+1)
donc
n+ 1)xsinn2x
sinx+ sin 2x+∙ ∙ ∙+ sinnxImei(n1+2)xinsinsxn22x= sin ( 2 sin2x
Exercice 9 :[énoncé]
a) L’équation étudiée équivaut à
cos(2x−π3) = cos(x+π4)
On obtient pour solutions
x217=π[2π]etx=3π623π
b) L’équation étudiée équivaut à
soit encore
cos4x+ sin4x= (cos2x+ sin2x)2
On obtient pour solutions
c) L’équation étudiée équivaut à
On obtient pour solutions
2 cos2xsin2x= 0
x= 0 [π2]
2 sin 2xcosx= 0
x [= 0π2]
Corrections
d) L’équation étudiée équivaut à
On obtient pour solutions
2 sin(2x)cosx+ 1= 0
2
x [= 0π2] x2=3π[2π]etx=−23π
e) L’équation étudiée équivaut à
3
2√3√cosx−ni1s2x=√6
2
soit encore
cosx+π= cπ
6 os 4
On obtient pour solutions
x=1π[2π]etx=−51π2 [2π]
2
f) L’équation étudiée équivaut à
22nis12x+√32soc2x= 0
soit encore
On obtient pour solutions
sin2x+3π= 0
x3=π[π]etx=−6π[π]
[2π]
Exercice 10 :[énoncé]
Pourx6=2π[π]etx6=4ππ2,
tanxtan 2x= 1⇔sinxsin 2x−cosxcos 2x= 0⇔cos 3x= 0⇔x=6π
π3.
Exercice 11 :[énoncé]
En linéarisant et en faisant quelques transformations angulaires de simplification
4
Pcos 42 9.
kπ7
=
k=1
3
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD