Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Intégrabilité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Intégrabilité Exercice 5 [ 00661 ] [correction] sintMontrer que les fonctions t7→ sint et t7→ ne sont pas intégrables sur [0,+∞[.t Exercice 1 [ 00657 ] [correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : Exercice 6 [ 00663 ] [correction]Z Z Z1 +∞ +∞ + +dt lnt Soit f :R →R une fonction continue, décroissante et intégrable surR .−ta) √ b) ln(t)e dt c) dt 2t +1 a) Montrer que f tend vers zéro en +∞.(1−t) t0 0 0 Z Z Z+∞ +∞ +∞2ln(1+t) ln(1+t ) 1 b) Montrer que xf(x) tend vers zéro quand x→ +∞ d) dt e) dt f) sin dt 3/2 2 2 c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction ft 1+t t0 −∞ 0 +continue et intégrable surR telle que f ne tend pas vers zéro en +∞. Exercice 2 [ 00658 ] [correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réels a et b Exercice 7 [ 03231 ] [correction] pour que les intégrales suivantes existent : Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux. Z Z Z On suppose que f est intégrable. Montrer+∞ +∞ a +∞ a −tdt t t e a) b) dt c) dt Za b b b x+1t (t−1) 1+t 1+t1 0 0 f(t)dt−−−−→ 0 x→+∞x Exercice 3 [ 00659 ] [correction] [Intégrales de Bertrand] Exercice 8 [ 03232 ] [correction]Pour α,β∈R on étudie la nature de l’intégrale Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux et décroissante.Z +∞ dt On suppose que f est intégrable. Montrer α βt (lnt)e xf(x)−−−−→ 0 x→+∞a) On suppose α> 1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.