Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Intégrales convergentes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Intégrales convergentes

Exercice 1[ 02346 ][correction]
[Intégrale de Dirichlet]
Justifier la convergence de l’intégrale suivante
Z+0∞sitntdt

On peut montrer que celle-ci est égale àπ2mais c’est une autre histoire. . .

Exercice 2[ 02383 ][correction]
[Intégrale de Dirichlet]
Etablir
Z+∞sintd =Z+0∞1−tc2ostdt
t
0t

puis
Z0+∞sitntdt=Z0+∞sitnt2dt
On peut démontrer que cette valeur commune estπ2mais c’est une autre
histoire. . .

Exercice 3[ 00694 ][correction]
[Intégrales de Fresnel]
Montrer la convergence des deux intégrales suivantes
Z+∞s(t2) dtetZ0+∞sin
co (t2) dt
0

Exercice 4[ 00695 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue. On suppose que l’intégrale suivante converge :
Z+∞f(t) dt
0

Calculer

xl→i+m∞1xZ0xtf(t) dt

Enoncés

Exercice 5[ 03631 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Rcontinue. Montrer
Z+∞

f(t) dtconver⇒(t)dtco
1geZ1+∞tfnverge

Exercice 6[ 02378 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue etα >0. Montrer
Z+0∞f(t) dtcZ+∞f(t)
onverge⇒dtconverge
01 +tα

Exercice 7Mines-Ponts PC[ 00696 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue.
On suppose que pours0∈R, l’intégraleR+0∞f(t)e−s0tdtconverge.
Montrer que l’intégraleR+0∞f(t)e−stdtconverge pour touts > s0.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02421 ][correction]
Convergence de
+it2
Z∞−∞
e dt

Exercice 9[ 03178 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux, décroissante et de
limite nulle.
Montrer la convergence de l’intégrale
Z+0∞f(t) sin(t) dt

Exercice 10Centrale PC[ 03334 ][correction]
La fonctionx7→R0xsin(et) dtadmet-elle une limite en+∞?

1

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Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02879 ][correction]
a) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞sint

dt
0t

On pose pour tout réelx
f(x) =Zx+∞sitntdt
b) Montrer quefest de classeC1surRet exprimer sa dérivée.
c) Calculer
Z+∞
f(t) dt

0

Exercice 12[ 03414 ][correction]
Trouver un équivalent en+∞de
f(λ) =Z01eiλx2
dx

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La fonction intégrée est définie et continue par morceaux sur]0+∞[.
Elle se prolonge par continuité par la valeur 1 en 0 et est donc intégrable sur]01]
Par une intégration par parties
ZAsintdt=−cost1A+Z1Acto2stdt
1t t

Or il y a convergence des deux termes en second membre quandA→+∞, donc il
y a convergence de
Z+∞sitntdt
1
et finalement l’intégrale étudiée converge.

Exercice 2 :[énoncé]
Par intégration par parties
ZAεsitntdt=1−costεA+ZεA1−t2costdt
t
Or il y a convergence des deux termes en second membre quandε→0+et
A→+∞donc il y a convergence de l’intégrale en premier membre et on a l’égalité
td 1−cost
Z+0∞sit=nZ+0∞t
t2dt

Puisque1−cost= 2 sin2(t2)
Z+∞sitntdt=Z+∞2 sin2(2t)d2
t
0 0t

Enfin par le changement de variableu=t2sous-jacent à une bijection de classe
C1
Z+0∞sitntdtZ+0∞sinu22udu
=

Exercice 3 :[énoncé]
f:t7→cos(t2)est définie et continue par morceaux sur[0+∞[.

Formellement
∞
2tcos(t2) dt=+
Z0+∞cos(t2) dt=Z+02t2sni(tt2)0∞+Z0+∞nis2t2t2dt

Puisque le crochet converge et quet7→2snit2t2est aisément intégrable sur]0+∞[,
l’intégration par parties est justifiée par deux convergences etR+0∞cos(t2) dt
converge.
Idem pourR+0∞sin(t2) dten proposant une primitive de2tsin(t2)en1−cost2.

Exercice 4 :[énoncé]
SoitFla primitive defs’annulant en 0.F(x)x−→−+−−∞→`=R0+∞f(t) dt
1x
xZ0tf(t−1xZ0xF(t) dt
) dt=F(x)

et
x1Z0xF(t) dt−`61xZ0x|dt
|F(t)−`
Soitε >0. Il existeA∈R+tel que

∀t>A|F(t)−`|6ε

Par continuité sur[0 A],|F(t)−`|est majorée par un certainM >0.
Pourx>max(A AM ε)on a
x1Z0x|F(t)−`|dt= 1xZA|F(t)−`|dt+ 1xZxA|F(t)−`|dt62ε
0

Par conséquent

1Z0xF(t) dt−−−−→`
xx→+∞

puis
xl→i+m∞1xZxtf(t) dt= 0
0
Notons que sans l’hypothèse d’intégrabilité def, on ne peut pas exploiter le
théorème de convergence dominée.

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
Supposons la convergence de l’intégrale defsur[1+∞[.
Puisquefest continue, on peut introduire une primitiveFdefet celle-ci admet
donc une limite finie en+∞. Par intégration par parties
Z1Af(ttd)t=tF(t)1A+Z1AtF(2td)t
A−−−−→0e
OrF( )AA→+∞tt7→F(t)t2est intégrable sur[1+∞[carFest bornée
au voisinage de+∞.
On en déduit donc par opérations la convergence de l’intégrale det7→f(t)tsur
[1+∞[.

Exercice 6 :[énoncé]
SoitFune primitive de la fonction continuefsur[0+∞[. Formellement
t)+
Z0+∞tαf(+t)1dt=tαF1+(0∞+αZ0+∞(Ftα(t)+tα1−)12dt
Supposons la convergence deR0+∞f(t) dt. La primitiveFest alors convergente en
+∞et donc dans l’intégration par parties précédente, le crochet est convergent en
+∞.
De plus, la fonctionFest bornée car continue sur[0+∞[et convergente en+∞.
Par suite, quandt→+∞,
(Ftα(t)+tα1−)1Otα1+1
=
2

et puisqueα >0a la convergence de la deuxième intégrale dans la formule, on
d’intégration par parties précédente.
Par le théorème d’intégration par parties, on peut affirmer queR+0∞1f+(tt)αdt
converge.

Exercice 7 :[énoncé]
Quitte à considérer la fonctiont7→f(t)e−s0t, on peut supposers0= 0.
IntroduisonsFprimitive defsur[0+∞[.Fconverge en+∞et doncFest
bornée.
Par une intégration par parties,
A
Z0Af(t)e−stdt=F(t)e−st0A+sZ0F(t)e−stdt

PuisqueFest bornée,F(A)e−AAs−→−−+−∞→0ett7→F(t)e−stest intégrable sur
[0+∞[.
Par suite l’intégraleR0+∞f(t)e−stdtconverge.

Exercice 8 :[énoncé]
Par un argument de parité, il suffit d’établir la convergence de
2
Z0+∞eit2dt=Z+∞2teitdt
02t

Formellement
Z+0∞eit2dt=Z−+∞∞22tteit2dt="eit22it−1#0+∞2+1iZ0+∞eit2t2−1dt

où la primitive de2teit2a été choisie de sorte de s’annuler en 0.
Puisque les deux termes en second membre sont convergents, le théorème
d’intégration par parties s’applique et assure la convergence de
Z+0∞eit2dt

Exercice 9 :[énoncé]
Commençons par étudier la convergence de la suite(Sn)de terme général
Sn=Z0nπf(t) sin(t) dt

Par la relation de Chasles, on peut découper l’intégrale
Sn=X
n−10Zk(πk+1)πf(t) sin(t) dt
k=

Par translation de la variable
Zk(πk+1)πf(t) sin(t) dt=Z0πf(t+kπ) sin(t+kπ) dt= (−1)kvk
avec
Zπ

vk=f(t+kπ) sin(t) dt
0

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Puisquefest positive, la suite(vk)est à termes positifs.