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Moyenne arithmético-géométrique
Préliminaire :
Soit:ℝ+∗→ℝune fonction croissante telle que֏() soit décroissante.
Montrer queest continue surℝ+∗.
(indice : on rappelle qu’une fonction réelle monotone définie sur un intervalle admet en tout point intérieur à cet
intervalle une limite à droite et une limite à gauche que l’on peut comparer à la valeur de la fonction en ce point.)
Partie I
Soitetdeux réels positifs ou nuls.
On définit deux suites de réels positifs () et ( :) par
1.
1.a
1.b
2.
2.a
2.b
2.c
00=et, pour tout∈ℕ:+1=
+.
=+=
12
Déterminer ces deux suites ainsi que leurs limites dans les cas suivants
=.
=0 et∈ℝ+quelconque.
On revient au cas général et on se propose d’établir que () et ( vers une même limite.) convergent
Montrer que, pour tout≥1 ,≤,≤+1et+1≤.
Etablir que, pour tout≥ 01 ,≤−≤12−−11.
Conclure.
La limite commune à ces deux suites est appelée moyenne arithmético-géométrique deet.
Celle-ci sera désormais notée(,) .
2.d Donner(,) et(0,) pour∈ℝ+et∈ℝ+.
Dans la suite de ce problème, nous pourrons noter(,) et(,) les suites précédentes.
3. On se propose d’établir quelques propriétés utiles de la fonction (,)֏(,) .
3.a Montrer que∀,∈ℝ+,(,)=(,) .
3.b Montrer que∀,∈ℝ+,∀λ∈ℝ+,(λ,λ)=λ(,) .
3.c Montrer que∀,∈ℝ+,(,)=(,+2) .
3.d
Montrer que∀,∈ℝ+,≤(,)≤+2.
Partie II
On considère ici la fonction 0,définie sur+∞par()=(1,) .
1.
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
3.c
3.d
4.
4.a
4.b
5.
6.
Donner(0) et(1) .
On désire établir la croissance de la fonction.
Pour cela on considère 0≤≤deux réels.
Montrer que, pour tout∈ℕ,(1,)≤(1,) et(1,)≤(1,) .
Conclure.
On étudie ici la continuité desurℝ+.
Montrer que∀>0,()=.1.
En exploitant le préliminaire, montrer queest continue surℝ+∗.
Montrer que∀>0,()=1+212+.
En déduire queest continue en 0.
On étudie ici le comportement deen+∞.
Montrer que∀∈ℝ+,≤()≤1+2.
Etudier la limite deen+∞.
Préciser la branche infinie deen+∞.
Représenter sur un même graphe les allures des fonctions֏(),֏
t+1
e֏.
2
En exploitant l’encadrement du II.4.a, étudier la dérivabilité deen 0 et en 1.