Sujet : Analyse, Moyenne de Césaro
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Moyenne de Césaro
On appelle suite des moyennes de Césaro associée à une suite réelle ( ( suite) laσ) définie par :
=01⋯
∀∈ℕ,σ+++1+.
L’objectif du problème est d’étudier la convergence de (σ) en fonction de propriétés portées par () .
Partie I - Cas d’une suite monotone et convergente
On suppose dans cette partie que ( une suite croissante de limite) estℓ∈ℝ.
On introduit sa suite des moyennes de Césaro (σ comme en introduction.) définie
1.a Montrer que la suite (σ croissante.) est
1.b Montrer que∀∈ℕ,σ≤ℓ. Que peut-on en déduire ?
2.a Etablir∀∈ℕ,σ2+1≥21σ+21+.
2.b En déduire que (σ vers) convergeℓ.
3. Que dire de la suite des moyennes de Césaro d’une suite décroissante de limiteℓ∈ℝ?
Partie II - Cas d’une suite convergente
Soit ( suite réelle convergent vers) uneℓ∈ℝ. Pour toutε>0 .
1.a Justifier qu’il existe0∈ℕtel que pour tout∈ℕ,>0entraîne :−ℓ≤ε2 .
1.b Etablir que pour tout entier>0on a :
0−ℓ+⋯+0−ℓ01−ℓ+⋯+−ℓ
σ−ℓ≤+1+++. 1
1.c
2.
3.
3.a
3.b
3.c
>tel0−ℓ+⋯+−ℓ2 .
ue pour tout∈ℕ,>1entraîne :0≤ε
Montrer qu’il existe1 0q+1
Conclure que (σ) converge versℓ.
On suppose ici que la suite (σ vers le réel) convergeℓ. On se propose d’étudier une réciproque du
résultat précédent.
Montrer que la suite () n’est généralement pas convergente. On pourra exhiber un contre-exemple.
Montrer que la suite ( (nécessairement bornée. On pourra considérer la suite pas ) n’est par) définie
si3
= =.
0 sinon
On suppose en outre que la suite () est monotone ; on pourra considérer, par exemple, qu’elle est
croissante. Montrer alors par l’absurde que la suite () est majorée parℓ. Conclure.
Partie III - Cas des suites périodiques
Soit∈ℕ∗et () une suite réellepériodique i.e. telle que
∀∈ℕ,+=.
On introduit sa suite des moyennes de Césaro (σ) définie comme en introduction.
On pose aussi
1.
2.
2.a
2.b
2.c
=(10+1+⋯+−1) .
Montrer que, pour tout∈ℕ,=++1+⋯++−1.
On considère la suite ( terme général :) de=(+1)σ−(
Montrer que () estpériodique.
En déduire que () est bornée.
Etablir que (σ et préciser sa limite.) converge
+1).
