Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Noyau de Poisson

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Noyau de Poisson Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 02887 ] [correction] Soient r∈ ]0,1[ et E l’espace des fonctions continues 2π-périodiques deR dansC. a) Montrer qu’il existe une fonction P ∈E telle que : pour tout f∈E et x∈R,rExercice 1 [ 03093 ] [correction] Z[Noyau de Poisson] πX 1|n| inxSoient r∈ [0,1[ et θ∈R. r c (f)e = f(t)P (x−t)dtn r 2π −πa) Calculer n∈Z +∞X inθ |n|e r b) Calculer Z π n=−∞ P (t)dtr −πb) Déterminer la série de Fourier trigonométrique de la fonction c) Calculer1 X f :t7→ |n| inxr 2 lim r c (f)en1−2rcost+r −r→1 n∈Z Exercice 2 [ 00963 ] [correction] a) Soit x∈ ]0,π[. Former le développement en série entière en 0 de Exercice 5 [ 03328 ] [correction] Pour r∈ ]0,1[, on définit la fonction k :R→R par 21−t t7→ 2 +∞1−2tcosx+t X pk(x) = 1+2 r cos(px) b) En déduire le développement en série de Fourier de p=1 cosα x7→ a) Montrer que la fonction k est définie et continue surR. 1−sinαcosx On note E l’espace des fonctions continues 2π-périodique. Pour f∈E, on pose pour α∈ ]−π/2,π/2[. Z 2π1 F(x) = k(x−t)f(t)dt 2π 0 Exercice 3 [ 03102 ] [correction] b) Exprimer F(x) à l’aide des coefficients de Fourier de f. Soit f :R→C une fonction 2π-périodique et continue de coefficients de Fourier En déduire que F est élément de E et exprimer ses coefficients de Fourier en exponentiels c , n∈Z.n fonction de ceux de f. a) Soit r∈ ]0,1[.