Sujet : Analyse, Séries entières, Applications des développements en séries entières

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Enoncés

Applications des développements en séries entières

Exercice 1[ 01002 ][correction]
a) Montrer que la fonctionx7→sixnxse prolonge en une fonction de classeC∞sur
R.
b) Montrer qu’il en est de mme de la fonctionx7→esxin−x1

Exercice 2[ 03308 ][correction]
Pourx6= 0on pose
t
f(x) =Zx2xdcost
t
a) Montrer quefpeut tre prolongée par continuité en 0.
b) Montrer que ce prolongement est développable en série entière surR.

Exercice 3[ 01003 ][correction]
Montrer que∀a >0,
+∞(−1)n
Z011 +dtta=Xna+ 1
n=0
En déduire les sommes
+∞(−1)n+∞( 1)n
n+ 1etX2n−1
n=X0n=0+

Exercice 4[ 01004 ][correction]
Montrer
Z01ln(1x+x)dx=n+X=∞1(−1n)2n−1

Exercice 5[ 01005 ][correction]
Etablir l’identité
Z01ctn+X=∞0(2(n−+1)1n)
arxanxdx=2

Exercice 6
Montrer

[ 01006 ][correction]

−
n+X∞(2n()1+1)(2nn+ 2) =Z10arctanxdx
=0

En déduire la valeur de cette somme.

Exercice 7[ 01007 ][correction]
a) Développer en série entière en 0 la fonctionarcsinet préciser le domaine de
convergence.
b) En étudiant
Z0π2arcsin(sin(t)) dt
déterminer
+∞+∞
X X

1
0(2k+ 1)2
k=

Exercice 8[ 01008 ][correction]
Observer que pour toutx∈]−11[,

1
puisk2
k=1

2lxsin2t()√1 +x−1)
Z0πsinn(1+2tdt=π

Exercice 9[ 01009 ][correction]
a) On noteγla constante d’Euler. Etablir l’égalité

b) En déduire que

γ=n+X=∞1n1−ln1 +n1

γ=+X∞(−k1)kζ(k)
k=2

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Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02422 ][correction]
a) Déterminer la décomposition en éléments simples de

1
(X+ 1)m(X−1)n

avecm ndeux entiers non nuls.
b) Déterminer deux polynômesUetVtels que

(X+ 1)mU(X) + (X−1)nV(X) = 1

Exercice 11Centrale MP[ 03074 ][correction]
Soit une série entièrePanznde rayon de convergenceR >0.
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
anzn
Xn!
On pose donc, pourtdansR,

+∞
f(t) =Xann!tn
n=0

Enoncés

b) Montrer qu’il exister >0tel que pour toutx > r,t7→f(t)e−xtsoit intégrable
sur[0+∞[et exprimer cette intégrale sous forme de série entière en1x.

Exercice 12[ 00131 ][correction]
Soitf: [01]→Rune fonction continue.
a) Déterminer la limite de la suite de terme général
un=Z10ntnf(t) dt

b) Déterminer la limite de
=Z1nln (
vn1 +tn)f(t) dt
0

Exercice 13Mines-Ponts MP PC[ 02865 ][correction]
Etudier la limite de la suite de terme général
nZ1ln(1
In= +tn) dt
0

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02808 ][correction]
Calculer
+∞
nX=0(3n+2)1×3n

Exercice 15[ 03761 ][correction]
Pourx∈]−11[, on pose
f(x)Zπ2dθ
=
0p1−x2sin2θ

a) Justifier
(2n)!
∀x∈]−11[ f(x) =n+=X∞02π(2nn!)22x2n
b) En déduire un équivalent def(x)quandx→1−.

Exercice 16CCP MP[ 02605 ][correction]
Soitα∈]−11[.
a) Montrer, pour toutx∈R, la convergence de la suite de terme général

n
Pn(x) =Y1−αkx
k=0

vers une limite que l’on noteraP(x).
b) Soitf:R→Rcontinue vérifiant l’équation fonctionnelle

(E) :∀x∈R f(x) = (1−x)f(αx)

Montrer, pour toutx∈R,

f(x) =f(0)P(x)

c) Montrer que la fonctionx7→P(x)est développable en série entière surR.

Exercice 17Centrale MP[ 02520 ][correction]
Pourz∈Cetn∈N, on pose

n
Pn(z) =Y 1−2zk
k=0

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a) Montrer que|Pn(z)|6Pn(− |z|).
En déduire que la suite(Pn(z))n∈Nest bornée.
Indice : on pourra penser à introduirelnPn(− |z|).
b) En étudiant la convergence de la sérieP(Pn+1(z)−Pn(z)), établir la
convergence de la suite(Pn(z))n∈N.
On introduit la fonction
f:z7→nl→i+mPn(z)
∞

c) Montrer quefest continue en 0.
d) Montrer quefest l’unique fonction continue en 0 vérifiant

∀z∈C f(z) = (1−z)f(z2)etf(0) = 1

e) Montrer quefest développable en série entière.

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Pour toutx∈R,sinx=+P∞(−2()1nn+x12)n!+1doncsixnx=+P∞(−1)nx2n
n=0n=0 (2n+1)!pourx6= 0.
+∞( 1)n2nclasseC∞surR, cela permet de conclure.
Orx7→P(−2n+1x)!est définie et de
n=0
x
→e−1se rol
b) Un raisonnement semblable, permet d’établir quex7xp onge en 0 en
une fonction de classeC∞ne s’annulant pas. Par opération le prolongement
→sixnx=sinx x
continue dex7e−1xex−1estC∞.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Pourt6= 0, on peut écrire

costcost−1 1
= +t
t t

Posons alors
g(t) = cost−1
t
La fonctiongest continue surR?et se prolonge par continuité en 0 en posant
g(0) = 0.
On a alors pour toutx6= 0
2x
f(x) =Zg(t) dt+ ln 2 =G(2x)−G(x) + ln 2
x

avecGune primitive degsurR.
On en déduit
f(x)x−→−0→ln 2
et on peut donc prolongerfpar continuité en 0 en posantf 2(0) = ln.
b) Pourt6= 0et aussi pourt= 0on a

On peut alors poser

n
g(t) =n+X=∞1((−2n)!1)t2n−1

G(x) =+X∞(−!)1nx22nn
n=1(2n)

primitive deget on obtient

pour toutx∈R.

f(x 2 +) = ln+X∞((−12n)!)n4n−1x2n
2n
n=1

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Exercice 3 :[énoncé]
+∞+∞
Pour toutt∈[01[on sait :11+t=P(−1)ntndonc aussi+11ta=n=P0(−1)ntna.
n=0
SoitFune primitive de la fonction continuet7→+11tasur[01].
+∞n
Sur[01[ F(t) =P0(−1n)ta+n1a+1+F(0).
n=
OrFest continue sur[01]et la série de fonctions convergence uniformément sur
[01].
+∞(−1)n
Par passage à la limite en 1,F(1) =P
n=0na+1+F(0).
Par suiteR+110dtta=F(1)−F(0) =+P∞0(n−a1)+n1.
n=
On en déduit+P∞(n−1+)1n=R101d+tt= ln 2et+P∞(02−n1)1+n=R+011dtt2=π4.
n=0n=

Exercice 4 :[énoncé]
On a
ln(1 +x)+X∞(−1)n−n1xn−1
=
x
n=1
avec une convergence uniforme sur[01]par majoration du reste d’une série
vérifiant le critère spécial.
On a alors
−1 +∞(−1)n−1
Z10ln(1x+x)dx=n=+X∞1Z0n=1
1(−1)nn−1xndx=Xn2

On peut montrer que cette vautπ212si l’on sait

+∞
Xn12
n=1

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Exercice 5 :[énoncé]
Pour toutx∈[01], on a

+∞
arctxanx=X0(−2n1)n+x12n
n=

Corrections

(en considérant que la valeur du premier membre en 0 est 1, valeur du
prolongement par continuité).
Il y a convergence uniforme de la série en second membre sur[01]par majoration
du reste d’une série satisfaisant le critère spécial. Puisque les fonctions sommées
sont continues
Z10arctxanxdx=n+X=∞0Z10(−2n1)n+x12ndx=n+=X∞02((n−1+)1n)2

On ne sait pas exprimer cette valeur à l’aide des constantes usuelles, on l’appelle
nombre de Catalan.

Exercice 6 :[énoncé]
On a
arcta+∞(−1)nx2n+1
nx=X2n+ 1
n=0
avec convergence uniforme sur[01]par majoration du reste d’une série vérifiant
le critère spécial. On peut donc intégrer terme à terme

+∞(
Z10arctanxdx=n+=X∞0Z01(−1)2