Sujet : Analyse, Séries entières, Equivalent en une extrémité de l'intervalle de convergence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Equivalent en une extrémité de
convergence

Exercice 1[ 03068 ][correction]
SoitIl’ensemble des réelsxtels que la série entière

+∞
Xln(n)xn
n=1

l’intervalle

converge. On notef(x)la somme de cette série entière.
a) DéterminerI.
b) On pose
a1=−1etan=−ln1−n1−n1pourn>2
Déterminer le domaine de définition de

+∞
g:x7→Xanxn
n=1

c) Trouver une relation entrefetg.
d) Donner un équivalent def(x)quandx→1−.
e) Donner la limite def(x)quandx→ −1+

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02853 ][correction]
On pose
an=Zn+∞tth2tdt
pourn∈N?.
+∞
a) Etudier la convergence de la sériePanxnentière pourxréel.
n=1
On notef(x)la somme de cette série entière.
b) La fonctionfest-elle continue en−1?
c) Donner un équivalent simple defen1−.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02852 ][correction]
Domaine de définition et étude aux bornes de
Xln +
+∞1 1nxn
n=1

Enoncés

de

1

Exercice 4[ 00985 ][correction]
SoientPanxnetPbnxndeux séries entières de sommes respectivesf(x)etg(x)
avec pour toutn∈N,bn>0.
On suppose que le rayon de convergence dePbnxnestRet que cette série
diverge enR.
a) On suppose quean=o(bn). Montrer quef(x) =o(g(x))quandx→R−.
b) On suppose quean∼bn. Que dire def(x)etg(x)au voisinage deR?

Exercice 5[ 03783 ][correction]
Donner un équivalent simple quandx→1−de

+∞
f(x) =Xxn
2
n=0

Exercice 6Centrale MP[ 02452 ][correction]
Soit(pn)une suite strictement croissante d’entiers naturels telle quen=o(pn).
On pose
+∞
f(x) =Xxpn
n=0
a) Donner le rayon de convergence de la série entièrePxpnet étudier la limite de
(1−x)f(x)quandxtend vers 1 par valeurs inférieures.
b) Icipn=nqavecq∈Netq>2. Donner un équivalent simple defen 1.

Exercice 7Centrale MP[ 02483 ][correction]
Soitα >−1.
a) Donner le rayon de convergenceRde

+∞
fα(x) =Xnαxn
n=1

On désire trouver un équivalent defαlorsquex→R−.
b) On suppose queαest un entierp.
Calculerf0,f1. Donner avec un logiciel de calcul formel l’expression def2     f5.
Trouver les équivalents recherchés.
Montrer qu’il existeQp∈R[X]tel que

fp(x (1) =Q−p(xx)p)+1

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(on calculeraf0p). En déduire l’équivalent recherché.
c) On supposeα >−1quelconque.
Donner le développement en série entière de
1
(1−x)1+α
On noterabnses coefficients.
Montrer qu’il existeA(α)>0tel quenα∼A(α)bn. On étudiera la nature de la
série de terme général
ln (nb+ 1)α−lnnbnα
n+1
En déduire quefα(x)est équivalente à
A(α)
(1−x)1+α

quandxtend versR−.

Exercice 8[ 00158 ][correction]
a) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière
(an)est définie par
an+1= ln(1 +an)eta0>0
b) Etudier la convergence dePanxnenx=−R.
c) Déterminer la limite de la suite(un)de terme général
1 1
un=−
an+1an
d) En déduire un équivalent simple de(an).
e) Donner un équivalent de
+∞
Xanxn
n=0
quandx→R−.

Panx

noù la suite

Exercice 9CCP MP[ 00038 ][correction]
a) Etudier la convergence et préciser la limite éventuelle de(an)définie par

Enoncés

an+1= ln(1 +an)eta0>0
b) Rayon de convergence dePanxn
c) Etudier la convergence de(Panxn)sur le bord de l’intervalle de convergence
(on pourra étudier la limite de1an+1−1anet utiliser le théorème de Cesaro)

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)αn= lnn6= 0pourn>2.
αn+1→1donc le rayon de convergence de la série entièrePln(n)xnvaut 1.
αn
De plus, la série entière est grossièrement divergente en 1 et−1.
On en déduitI= ]−11[.
b)an∼21n2doncaan+n1→1le rayon de convergence de la série entièrePanxn
vaut 1.
De plus, la série entière est absolument convergente en 1 et -1.
La fonctiongest donc définie sur l’intervalle[−11].
c) Pourn>2,an= lnn−ln(n−1)−1ndonc

anxn=nn−1xn
ln( )xn−ln(n−1)nx
En sommant pournallant de 2 à+∞,

g(x) = (1−x)f(x) + ln(1−x)
d) Puisquean∼21n2, la sérieP|an|est convergente et donc la fonctiongest
définie et continue sur le segment[−11]. Par suite, la fonctiongconverg1−
e en
et puisque le termeln(1−x)diverge quandx→1−, on obtient

e) Puisque

on obtient quandx→ −1+,

Il reste à calculerg(−1). . .

Or

f(x)∼ln(1−x)
−
x→1−1−x

−ln(1−x)
f(x) =g(x)1−x

f(x)→g(−12)−ln(2)

g(−1) = 1 ++X∞(−1)n(lnn−ln(n−1)) ++X∞(−1)n−1
n
n=2n=2

+∞(−1)n−1
1 +Xn= ln 2
n=2

et en regroupant les termes pairs et impairs consécutifs

3

2nNX21=+(−1)n(lnn−ln(n−1)) =p=NX12 ln2p2−p1−ln(2N)=ln1+(2N24+N1(N)(!2!)4N)!→lnπ2

en vertu de la formule de Stirling.
Finalement
g(−2nl=)1π+ ln(2)
On en déduit
f(x)−x−→−−−1−+→1l2nπ2

Exercice 2 :[énoncé]
Notons que l’intégrale définissantanconverge car|tht|61.
a) Pourt>n,
thntht1
t26t26t2
En intégrant et en exploitant thn→1, on obtientan∼n1.
On en déduit queR= 1. Pourx=−1,Panxnconverge en vertu du critère
spécial des séries alternées car(an)décroît vers 0.
Pourx= 1,Panxndiverge par l’équivalent précédent. La fonction somme est
définie sur[−11[.
b) Pourx∈[−10], on peut appliquer le critère spécial des séries alternées à la
sériePanxnet affirmer

+∞
Xakxk6an+1|x|n+16an+1
k=n+1

ce qui assure la convergence uniforme de la série. Par suite la fonction somme est
continue en−1.
c) On a
1 1−thn
an−6
nn

donc pourx∈[01[,

+∞+∞1∞
Xanxn−x
n=1nX=1nn6n=+X11−nthxnn

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Or
+X∞n1xn=−ln(1−x)→+∞etn21−nthn∼2ne−2n→0
n=1
doncP1−tnhnet la somme de la série entièreest absolument convergente
P1−tnhnxnest définie et continue en 1. On en déduit

∼ −l
f(x)x→1−n(1−x)

Exercice 3 :[énoncé]
R= 1, il y a divergence enx= 1et convergence par le CSSA enx=−1.
La fonction somme est définie sur[−11[.
Par application du critère spécial des séries alternées sur[−10],
k+=Xn∞+1ln1 +k1xk∞[−]6ln1 +n+11→0
10

Corrections

il y a donc convergence uniforme sur[−10]et donc continuité de la somme en−1
puis finalement sur[−11[.
Pour étudier la fonction en1−, on peut exploiter l’encadrement
1
n11+6ln1 +n1= ln(n+ 1)−lnn=Znn+1dtt6n

On en déduit pourx∈[01[,
+∞+
X+ 1xn6
n=1xn+n16n+X=∞1ln1nnX=∞1xnn

Or

Finalement

+∞
Xnxn=−ln(1−x)
n=1
etn+=X∞1nx+n1=1x(−ln(1−x)−x)∼ −ln(1−x)
x→1−
1xn
n+=X∞1lnnx→1−−ln(1−x)
1 +∼

Exercice 4 :[énoncé]
a) On peut écrirean=bn