Sujet : Analyse, Séries entières, Equivalent en une extrémité de l'intervalle de convergence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Equivalent en une extrémité de l’intervalle de Exercice 4 [ 00985 ] [correction]P P n nSoient a x et b x deux séries entières de sommes respectives f(x) et g(x)n nconvergence avec pour tout n∈N, b > 0.n P nOn suppose que le rayon de convergence de b x est R et que cette sérien Exercice 1 [ 03068 ] [correction] diverge en R. −Soit I l’ensemble des réels x tels que la série entière a) On suppose que a =o(b ). Montrer que f(x) =o(g(x)) quand x→R .n n b) On suppose que a ∼b . Que dire de f(x) et g(x) au voisinage de R?+∞ n nX nln(n)x n=1 Exercice 5 [ 03783 ] [correction] converge. On note f(x) la somme de cette série entière. −Donner un équivalent simple quand x→ 1 de a) Déterminer I. +∞b) On pose X 2 n f(x) = x1 1 a =−1 et a =−ln 1− − pour n> 21 n n=0n n Déterminer le domaine de définition de +∞ Exercice 6 Centrale MP [ 02452 ] [correction]X ng :x7→ a x Soit (p ) une suite strictement croissante d’entiers naturels telle que n =o(p ).n n n n=1 On pose +∞X c) Trouver une relation entre f et g. pnf(x) = x −d) Donner un équivalent de f(x) quand x→ 1 . n=0 + Pe) la limite de f(x) quand x→−1 pna) Donner le rayon de convergence de la série entière x et étudier la limite de (1−x)f(x) quand x tend vers 1 par valeurs inférieures. qb) Ici p =n avec q∈N et q> 2. Donner un équivalent simple de f en 1.