Sujet : Analyse, Séries entières, Sommation de séries entières

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Sommation de séries entières Exercice 6 [ 00999 ] [correction] Rayon de convergence et somme de Exercice 1 [ 00996 ] [correction] 2nX x Rayon de convergence et somme de 2n+1 n>0Xn−1 nx n! n>0 Exercice 7 [ 01000 ] [correction] Rayon de convergence et somme de Exercice 2 [ 03648 ] [correction] n nXRayon de convergence et somme de (−1) x 2n+1X n>0n+1 2n+1(−1) nx n>0 Exercice 8 [ 01001 ] [correction] Rayon de convergence et somme deExercice 3 [ 00997 ] [correction] Soit 2nX+∞ xnX (−1) n 2f :x7→ x 4n −1 n>0n(n−1) n=2 a) Déterminer l’intervalle de convergence de f. b) Exprimer la fonction f à l’aide des fonctions usuelles sur ]−1,1[ Exercice 9 Centrale MP [ 02448 ] [correction]c) Calculer f(1) et f(−1). Pour n> 0, on pose Z π/4 na = tan tdtn 0Exercice 4 [ 00998 ] [correction] Rayon de convergence et somme de a) Trouver la limite de (a ).n b) Trouver une relation simple entre a et a .n+2 nX (n+1)(n−2) n c) On posex n! ann>0 nu (x) = xn αn Donner la nature de la série de terme général u (x) en fonction de x et de α.n Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02845 ] [correction] d) On pose +∞Rayon de convergence et somme de X n f(x) = a xn +∞ 2n+1X n=1x 3n+2 Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.n=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.