Sujet : Analyse, Séries entières, Sommation de séries entières

Exercice 7[ 01000 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

(−1)nxn
nX>02n+ 1

Exercice 6[ 00999 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

Xx2n
n>02n+ 1

Sommation de séries entières

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Exercice 8[ 01001 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

Xx2n
4n21
−
n>0

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02845 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

+X∞x2n+1
n=03n+ 2

Xn−1n
n!x
n>0

Exercice 1[ 00996 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

X(−1)n+1nx2n+1
n>0

Exercice 2[ 03648 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

Exercice 4[ 00998 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

n
X(n+ 1)n(!n−2)x
n>0

1

Enoncés

a) Trouver la limite de(an).
b) Trouver une relation simple entrean+2etan.
c) On pose
un(x) =naαnxn
Donner la nature de la série de terme généralun(x)en fonction dexet deα.
d) On pose
+∞
f(x) =Xanxn
n=1

Exercice 9Centrale MP
Pourn >0, on pose

[ 02448 ][correction]

an=Zπ4tanntdt
0

a) Déterminer l’intervalle de convergence def.
b) Exprimer la fonctionfà l’aide des fonctions usuelles sur]−11[
c) Calculerf(1)etf(−1).

Exercice 3[ 00997 ][correction]
Soit
∞
+Xn(−1)nxn
f:x7→n=2(n−1)

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Exprimerfà l’aide des fonctions usuelles.

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Exercice 10Centrale MP[ 02449 ][correction]
Soit(an)la suite définie par
a0= 1etan=n!1Z10nk−=Y10(t−k) dtpourn∈N?
a) Rayon de convergence dePanxn.
b) Somme dePanxn.

Exercice 11Centrale MP[ 02454 ][correction]
Convergence et calcul de la série entière+P∞anxnoùan=R01(1−t2)ndt.
n=0

Exercice 12Centrale MP[ 02482 ][correction]
On considère les sommes :
S1 1 1 1= 1
1×31+5×+79×1+11∙ ∙ ∙etS21=×3−5×7+9×11− ∙ ∙ ∙

a) Calculer la première somme avec Maple. Constater qu’il ne calcule pas la
deuxième.
b) On cherche à calculerS2. On noteanle terme général de cette série.
Calculer le rayon de convergenceRdePanzn.
c) Exprimer
+∞(−1)nx4n+1et+X∞(−41)nn+x43n+3
X4n1
n=0+n=0
pourx∈]−R R[.
d) ExprimerS2à l’aide d’une intégrale que l’on calculera avec Maple.

Exercice 13Centrale MP[ 02484 ][correction]
a) Décomposer
1

1−X6

en éléments simples surR.
b) Calculer
Z0x1−dtt6
quand cette intégrale est bien définie.

Enoncés

c) Calculer, pourx∈]01[,

d) Que vaut

+∞xn
n=X06n+ 1

+X∞(6n−)1+n1?
n=0

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02847 ][correction]
a) Déterminer le rayon de convergenceRde

n>X01×3× ∙ ∙ ∙n!×(2n+ 1)xn

b) Pourx∈]−R R[calculer la somme précédente.

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02846 ][correction]
Pourn∈N, on pose
n!
an=1×3× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1)

+∞
Rayon de convergence et somme de la série entièrePanxn?
n=0

Exercice 16CCP MP[ 02559 ][correction]
a) Montrer que le rayon de convergence de la série entière de terme général
n(−1)nxnest 1.
b) Calculer sa somme.

Exercice 17[ 03791 ][correction]
Etude et expression de la série

+∞
Xn(−1)nxn
n=0

2

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Exercice 18CCP MP[ 00075 ][correction]
Calculer
+∞x3n
S0(x) =n=X0(3n)!
(on pourra calculerSk(x) =+P∞(3nx3n++kk)!pourk∈ {012})
n=0

Enoncés

Exercice 19CCP MP[ 02414 ][correction]
SoientPanxnetPbnxndeux séries entières de rayons de convergenceRetR0.
a) Déterminer le rayon de convergence et la somme dePcnxnavec
n
cn=Pakbn−k.
k=0
b) Déterminer le rayon de convergence et la somme de
X
n>1121+3++1∙ ∙ ∙+ 1nxn

Exercice 20CCP MP[ 02565 ][correction]
Trouver le rayon de convergence de
shn
nX>1n(n+ 1)xn

Calculer la somme dans le bon intervalle.

Exercice 21CCP MP[ 02551 ][correction]
Calculer
1
=Z0(1−t)ndt
antn
pourn∈N?.
Calculer le rayon de convergence de la série entièrePanxn.
Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.

Exercice 22[ 02607 ][correction]
Pourn>0, on pose
π
an=Z04tanntdt

a) Trouver la limite de la suite(an).
b) Donner une relation simple entrean+2etan.
c) On posef(x)la somme de la série entière

+∞
Xanxn
n=0

Déterminer l’intervalle de définition def.
d) Exprimerfà l’aide des fonctions usuelles.

3

Exercice 23CCP MP[ 02534 ][correction]
On pose
∀θ∈R,∀n∈N,an= cos(nθ)
+∞
a) CalculerPanxnpour toutx∈]−11[.
n=0
b) Montrer que pour toutθ6=kπ,Pan+n1converge et exprimer sa somme à l’aide
d’une intégrale.
c) Calculer cette intégrale pourθ∈]0 π[.

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4

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Corrections

donc

Z

Donc

puis

+∞−1)n+1nx2n+1=x×(1 +x2x2)2x3
X + (1( =x2)2
n=0

+∞
=X(−1)nnxn
xf0(x) =−(1 +xx)2n=0

f(x+11=)x=n+=X∞0(−1)nxn

ln(1 +x)dx= (1 +x) ln(1 +x)−x+C

Puisquef(0) = 0, on conclut

f(x) = (1 +x) ln(1 +x)−x

or

doncR= +∞.
Pourx∈R,

Exercice 1 :[énoncé]
Pourx6= 0,

n xn+1 n−1→0
(n+ 1)!xnn!

Corrections

(−)1(−n1+)2n(+n1n+ 1)xx22nn+31+→x2
 

Exercice 2 :[énoncé]
Pourx6= 0,

doncR= 1.
Pourx∈]−11[

+∞
+∞xn n
+X∞nn−!1xn=X−Xxn (! =x−1)ex
n=0n=1(n−1)!n=0

Exercice 5 :[énoncé]
.
Pourx6= 0, posonsun=x32nn++21.unu+n1→x2doncR= 1
La fonction sommeSest impaire, on se limite alors àx >0.

S(x+3X∞x3n+2
√x2) =n=03
n+ 2

n>X0(n+ 1)n(!n−2)xn=Xxn−n2)!−2Xnxn (! =x2−2)ex
n>2(n>0

donc

n
f0(x) =+X∞(n−−11)xn−1=+X∞(−1n)n+1xn= ln(1 +x)
n=2n=1

Exercice 3 :[énoncé]
a) NotonsDl’intervalle de convergence de cette série entière.
Le rayon de convergence étant1on en déduit :]−11[⊂ D ⊂[−11].
De plusn((−n1−)n1)∼n12doncf(1)etf(−1)existe. AinsiD= [−11].
b) Sur]−11[,fest de classeC∞et

+∞x3n+2
X03n+ 2 =Z0nx=+X∞0t3n+1dt=Z0x1−tt3dt
n=

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sur]−11[.
c)
1 1
∀x∈[−11]n((−n1−)n1)xn6∼
n(n−1)n2
donc la série de fonctions définissantfconverge normalement sur[−11]et par
suitefest continue.

et

Exercice 4 :[énoncé]
ClairementR= +∞.
n(n−1)−2
X(n+ 1)n(!n−2)xn=Xn2−nn!−2xn=Xn!xn
n>0n>0n>0

f(1) =xli→m1−f(x) =xli→m1−((1 +x) ln(1 +x)−x ln 2) = 2−1

f(−1) =x→li−m1+f(x) =xl→i−m1+((1 +x) ln(1 +x)−x) = 1

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Corrections

doncS(x) =x413R0x231−tt3dtet il ne reste plus qu’à décomposer en éléments
simples etc.
(x 6) =x43lnxx4433−2+xx22331+1+−x431√3arctan2x2√3+13−π6
S1

Exercice 6 :[énoncé]
Pourx6= 0, posons

2xn2+n16= 0
un=

Puisque
un+1→ |x|2
un
on obtientR= 1.
PosonsS(x) =+P∞2xn2+n1définie et de classeC∞sur]−