Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries à termes de signes quelconques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Séries à termes de signes quelconques

Exercice 1[ 01033 ][correction]
Montrer que la somme d’une série semi-convergente et d’une série absolument
convergente n’est que semi-convergente.

Exercice 2[ 01034 ][correction]
Déterminer la nature dePunpour :

a)un= (n2−+)1n1
c)un= ln1 + (n−+1)1n

Exercice 3[ 01035 ][correction]
Déterminer la nature de

Exercice 4[ 01036 ][correction]
Montrer que

est un réel négatif.

b)un=√(−n1)n
+ 1
d)un= cosπpn2+n+ 1

(−1)n
n>X1n√n!

+∞n
X(−2()1nn!)8
n=0

Exercice 5[ 01037 ][correction]
On rappelle la convergence de l’intégrale de Dirichlet
∞si
I=Z0+tntdt

En observant

déterminer le signe deI.

+∞
I=X(−1)n
n=0Z0πnsπin+ttdt

Enoncés

Exercice 6[ 01038 ][correction]
a) Justifier la convergence de la série numérique

On pose

(−1)k
Xk
k>1

nX
R=+∞(−k1)k
k=n+1

b) Montrer que
+∞( 1)k
Rn+Rn+1=X−1
k=n+1k(k+ )
c) Déterminer un équivalent deRn.
d) Donner la nature de la série de terme généralRn.

Exercice 7[ 01039 ][correction]
Déterminer la nature de
Xsinnπ+nπ
n>1

Exercice 8[ 03772 ][correction]
Donner la nature de la série de terme général
un= cosn2πln(1−1n)

Exercice 9[ 01040 ][correction]
Donner la nature de la série desj√nn.

Exercice 10[ 01045 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général :

u= (−1)n
nn
k=P1√1k+ (−1)n−1

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Exercice 11[ 02351 ][correction]
Déterminer la nature dePunpour :
a)un=pn+ (−1)n−√nb)un(n(+−1)(−n1)n)
n=l

−1)n
c)un=(lnn()+(−1)n

Enoncés

Exercice 12Centrale MP[ 02443 ][correction]
a) Existence de
A=xl→i+m∞Zxsin(t2) dt
0
+∞
b) Montrer queAse met sous la formeA=P(−1)nunavecun>0. En déduire
n=0
A>0.
c) Mmes questions avec

B=xl→i+m∞Z0xcos(t2)dt

d) Comment retrouver ces résultats avec un logiciel de calcul formel

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02793 ][correction]
Convergence de la série de terme généralun= sinπ√n2+ 1.

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02794 ][correction]
Nature de la série de terme général
un= sinπ(2 +√3)n

Exercice 15X MP[ 02962 ][correction]
Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont
les sommes partielles sont bornée.

Exercice 16X PSI[ 03097 ][correction]
On dit que la série de terme généralunenveloppe le réelAsi, pour tout entier
natureln, on a :

un6= 0et|A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)|6|un+1|

On dit qu’elle enveloppe strictement le réelAs’il existe une suite(θn)n>1
d’éléments de]01[telle que pour tout entier natureln:

A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un) =θn+1un+1

2

a) Donner un exemple de série divergente qui enveloppeA >0.
Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.
Donner un exemple de série convergente qui n’enveloppe aucun réel.
b) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppe strictementA, alors
elle est alternée.
Démontrer queAest alors compris entre deux sommes partielles consécutives.
c) Démontrer que, si la série de terme généralunest alternée et que, pour tout
entiern∈N?
A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)est du signe deun+1, alors, elle enveloppe strictementA.
d) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppeAet si la suite de
terme général|un|est strictement décroissante, alors, la série est alternée et
encadre strictementA.

Exercice 17[ 03236 ][correction]
Montrer la divergence de la série

Xcos(nlnn)

Exercice 18X MP[ 01335 ][correction]
Etudier la série de terme général

un= (−1)nsin(lnnn)

Exercice 19X PC[ 03207 ][correction]
SoitEl’ensemble des suites réelles(un)n>0telles que

un+2= (n+ 1)un+1+un

a) Montrer queEun espace vectoriel de dimension 2.est
b) Soientaetbdeux éléments deEdéterminés par
a0= 10= 0
(a1= 0et(bb1= 1

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Montrer que les deux suites(an)et(bn)divergent vers+∞.
c) Calculer
wn=an+1bn−anbn+1
d) On posecn=anbnlorsque l’entiernest supérieur ou égal à 1. Démontrer
l’existence de
`= limcn
n→+∞
e) Démontrer l’existence d’un unique réelrtel que

lim (an+rbn) = 0
n→+∞

Exercice 20[ 03208 ][correction]
αdésigne un réel strictement positif.
Déterminer la nature de la série de terme général
nα|x|
un=Z0(−1)n1p+xdx

Exercice 21CCP MP[ 03371 ][correction]
a) Déterminer la limite de la suite définie par :

n
e−u
u0>
0et∀n∈N un+1=n+ 1

b) Déterminer la limite de la suite définie par

vn=nun
c) Donner la nature de la sériePunet celle de la sérieP(−1)nun

Enoncés

Exercice 22CCP MP[ 02538 ][correction]
Soitfde classeC2sur[0+∞[telle quef00est intégrable sur[0+∞[et telle que
l’intégraleR0+∞f(t)dtsoit convergente.
a) Montrer que
limf0(x) = 0etxl→i+mf(x) = 0
x→+∞ ∞
b) Etudier les séries
X X

f(n)et

f0(n)

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SoientPunune série semi-convergente etPvnune série absolument
convergente. La sériePun+vnest convergente et si celle-ci était absolument
convergente alorsPunle serait aussi car|un|6|un+vn|+|vn|. La série
Pun+vnn’est donc que semi-convergente.

Exercice 2 :[énoncé]
a)|un| ∼1n2donc la sériePunest absolument convergente donc convergente.
b) On applique le critère spécial et on conclut quePunconverge.
c)un=(n−)1+1n+On12et on peut conclure quePunconverge.
d)
un= cosnπ+π2+38πn+On12= (−8)1nn+13π+On12
doncPunconverge.

Exercice 3 :[énoncé]
Il s’agit d’une série alternée.

n
lnn√n! =n1Xlnk
k=1
et ainsilnn√n!est la moyenne arithmétique deln 1ln 2    lnnet donc
lnn√n!6lnn+1p(n+ 1)!

puis
1 1
>
n√nn+1p(n+ 1)!
De plus par la croissance de la fonctionx7→lnx,
1n
k=1>1Z1nlnxdx= lnn−1→+∞
nXlnkn

et donc
1
n√n!→0
Finalement on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et conclure.

4

Exercice 4 :[énoncé]
A partir du rangn= 2peut applique le critère spécial des séries alternées. Le, on
reste étant majorée par la valeur absolue du premier terme

avec|r|64642doncx <0.

Exercice 5 :[énoncé]
Par découpage

x=n+X∞(−1)(2nn8)!n= 1−4 +r
=0

I=+X∞Z(n+1)πsintd
t
n=0nπt
donc par translations
I=+X∞0Z0πsin(nπ+td)t
nπ+t
n=
puis la relation proposée.
Ise perçoit alors comme somme d’une série vérifiant le critère spécial des séries
alternées, sa somme est donc du signe de son premier terme à savoir positif.

Exercice 6 :[énoncé]
a) On applique le critère spécial.
b) Par décalage d’indice sur la deuxième somme

+∞
Rn+Rn+1=X(−k1)k++X∞(−k+)1k1+1=k+=Xn∞+1k((k−)+1k1)
k=n+1k=n+1

c) Puisque

on a

Or par le critère spécial

+1
Rn−Rn+1= (−n+)1n1

n+
2Rn= (−n+1)11+k+=Xn∞+1k((k−+)1k1)

+∞
k=Xn+1k((k&