Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Intégration terme à terme d'une série de fonctions
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Intégration terme à terme d’une série
Exercice 1[ 00928 ][correction]
Montrer que
Z+0∞ett−1dt=n=+X∞1n12
Exercice 2
Etablir que
[ 00929 ][correction]
Exercice 3CCP MP
Prouver l’égalité
Exercice 4
a) Etablir
Z011+nltt2dt=n=+X∞0(2(−n1)+n1−)12
[ 03781 ][correction]
Z1nl(+1xx)22dx= 2n+X=∞0(2(n−1+1)n)3
0
[ 00930 ][correction]
1
Z0arcttantdt=−Z10n+1ltt2dt
de
Enoncés
fonctions
b) En déduire
+∞−1)n
Z01arcttantdt=nX=0(2(n+ 1)2
Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement0916.
Exercice 5[ 00931 ][correction]
a) Etablir
lntdt
Z01ln(1t+t)dt=−Z011 +t
a) En déduire
Z1ln(1t+td)t=n+X=∞1(−1n)2n−1
0
b) Calculer cette somme sachant
+∞1π2
Xn2=6
n=1
Exercice 6[ 00932 ][correction]
Etablir
+∞1
Z10dn=1
xxx=Xnn
Exercice 7Mines-Ponts MP - CCP MP[ 00933 ][correction]
Etablir
+∞
dx=X
Z01xnx=1(−1n)nn−1
Exercice 8[ 00934 ][correction]
Etablir que pourp>2,
p+∞
Z101ln(−x)xdx= (−1)pp!n=X1np1+1
Exercice 9[ 00935 ][correction]
Déterminer la limite quandn→+∞de
−xn
n1Z0+∞c+1eos2xdx
Exercice 10Centrale MP[ 00939 ][correction]
Soientα >0,n∈N. On pose
π2
α)Z0
un (sin( =t)α(cost)ndt
a) Nature de la série de terme généralun(1).
b) Plus généralement, nature de la série de terme généralun(α).
∞
c) CalculerPun(α)pourα= 23.
n=1
1
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Exercice 11
Etablir que
[ 00940 ][correction]
+∞
Z+∞setin−t1 dt=nX=1n21+1
0
Exercice 12[ 00941 ][correction]
Etablir que pour toutx >0
+∞
Z10tx−1e−tdt=X0n(!(−x+)1nn)
n=
Exercice 13[ 00943 ][correction]
Calculer, pourn∈Z,
In=Z2πeineθiθdθ
02 +
Exercice 14Centrale MP[ 02439 ][correction]
Soienta∈C,|a| 6= 1etn∈Z. Calculer
Z20πeieint−tadt
Exercice 15[ 02641 ][correction]
ndésigne un entier naturel non nul.
a) Justifier que l’intégrale
2
Z+0∞(nn2+−xx22)2dx
est définie.
b) Soita>0. Calculer
En déduire la valeur de
−
Z0ann22x22)d
( +x2x
Z+∞n2−x2
0(n2+x2)2dx
Enoncés
puis de
+X∞Z+∞(nn22+−xx22)2dx
n=1 0
c) Soita>0. Montrer que la série
+∞
X(nn22+−xx22)2
n=1
converge uniformément sur[0 a], puis que
+∞n2−x2 +∞
Z0anX=1(n2+x2)2dx=n=X1n2+aa2
d) En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer
e) En déduire que l’intégrale
+∞
al→+∞Xn2a+a2
im
n=1
∞2
Z0+∞n=+X1(nn22+−xx2)2dx
est convergente et donner sa valeur.
Comparer avec le résultat obtenu en b). Qu’en conclure ?
Exercice 16Centrale MP[ 02438 ][correction]
a) Démontrer la convergence de la série de terme général
b) Comparer
c) En déduire :
n!
=
annn
anetnZ+0∞tne−ntdt
+X∞an=Z+∞1−tet−et−t)2dt
n=1 0(
2
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Exercice 17Centrale MP[ 02445 ][correction]
On pose
11
In=Z+tndt
01
pour tout entiern >0.
a) Trouver la limite`de(In).
b) Donner un équivalent de(`−In).
c) Justifier
1ln(1 +y
Z0yd)y=k=+X∞0((k−)11+k)2
d) Donner un développement asymptotique à trois termes de(In).
Exercice 18[ 02612 ][correction]
a) Déterminer la limite`quandn→+∞de
In=Z101
dt
1 +tn
b) Donner un équivalent de
In−`
c) Justifier
Z10ln(1 +tn) dt=k+X=∞1k((−n1k)k+−11)
d) En déduire un équivalent de
Z1dt
ln(1 +tn)
0
et donner un développement asymptotique à trois termes deIn.
Exercice 19Centrale MP[ 02474 ][correction]
a) Montrer que pour toutn∈N?,
fn(t) =ten−+t1et−p=n0p!
Xtp!
est intégrable surR+?.
Enoncés
3
Soituncette intégrale.
b) A l’aide du logiciel de calcul fourni, calculerunpour16n610, puis effectuer
une conjecture sur l’expression deun.
c) Montrer que l’on peut écrireuncomme somme d’une série et utiliser ce résultat
pour démontrer la conjecture précédente.
Exercice 20Centrale MP[ 02479 ][correction]
Soit pourt∈R,
+∞1
f(t) =X=1t4+n4
n
a) Donner le domaine de définition def.
b) La fonctionfest-elle continue ? de classeC1?
c) Calculer, avec un logiciel de calcul formel
Z+∞dt
01 +t4
d) Donner un équivalent defen+∞.
e) Montrer
+X∞(4n−+1)n1 =Z10d1+tt4
n=0
Exercice 21Centrale MP[ 02485 ][correction]
Soit
+X∞(−)2(1nn+ 1)
S=n=0(3n+ 1)
a) Montrer qu’il existe(a b)∈Q2que l’on déterminera tel que
S=aZ011+dtt3+bπ
b) CalculerSà l’aide d’un logiciel de calcul formel.
Exercice 22Centrale MP[ 02488 ][correction]
Soita∈Q∩]02[aveca6= 1
.
On pose
In(a) =Z01(1−x(n11(−−a)xx))nn+1dx
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a) Justifier l’existence deIn(a).
b) Calculer, avec Maple,In(a)poura∈ {15141312}et pour
n∈ {12 10}.
Etablir une conjecture.
c) Montrer que pour toutn∈N?on a
+∞
In(a) =Xαnp(1−a)p
p=0
où lesαnpsont à déterminer.
On pourra utiliser
Z1−x)mdx(=n+n!mm!)1!+
xn(1
0
d) On pose
(X+ 1) (X+n)
=
Rn(X)(X+n+ 1) (X+ 2n+ 1)
DécomposerRnen éléments simples.
En déduire que pour toutn∈N?, il existe des rationnelsrn(a)etqn(a)tels que
In(a) =rn(a) +qn(a) lna
[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]
Exercice 23Mines-Ponts MP[ 02807 ][correction]
a) Pour(m n)∈N2, calculer
Z10xn(1−x)mdx
Pourp∈Z, montrer l’existence de
+∞
Sp=nX=12nnpn!
b) CalculerS0etS−1.
c) Sip∈N, proposer une méthode de calcul deSp.
Enoncés
Exercice 24Mines-Ponts MP[ 02840 ][correction]
a) Si(s λ)∈R+?×C, quelle est la nature de la série de terme général
λn
s(s+ 1) (s+n)
4
pourn>0? Aλfixé, on noteΔλl’ensemble dess >0tels que la série converge,
et on noteFλ(s)la somme de cette série.
b) CalculerlimΔλFλ(s).
s→sup
c) Donner un équivalent deFλ(s)quands→inf Δλ.
d) Sin>1, calculer :
Z01(1−y)s−1yndy
e) En déduire une expression intégrale deFλ(s).
Exercice 25Mines-Ponts MP[ 02864 ][correction]
Existence et calcul de
Z10ln1−tt2dt
Le résultat est à exprimer à l’aide deζ(2).
Exercice 26Mines-Ponts MP[ 02866 ][correction]
Soit(an)n>0une suite bornée. Calculer
nl→im+∞Z+0∞e−2tp+X=∞naptpp!!dt
Exercice 27[ 02615 ][correction]
Pourn m∈N, on pose
a) CalculerIn(n).
b) En déduire
In(m) =Z10xn(lnx)mdx
Z10x−xdx=n+X=∞1n−n
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Exercice 28Mines-Ponts MP[ 02869 ][correction]
Montrer
1
n+X∞1n−n=Zt−tdt
= 0
Exercice 29Mines-Ponts MP[ 02870 ][correction]
+∞
Six >1, on poseζ(x) =Pn1x. Montrer :
n=1
∞+∞
(ζ(x)−1) dx=X
Z2+n=2n2nl1n
Exercice 30Mines-Ponts PC[ 00118 ][correction]
Soit, pourn∈N,
un=Z0π2hcosπ2 sinxindx
a) Etudier la suite(un)n>0. <
