Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Théorème de convergence dominée

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Théorème de convergence dominée Exercice 7 Centrale MP [ 00926 ] [correction] Calculer Z +∞ −t nExercice 1 [ 00921 ] [correction] lim e sin (t)dt n→∞ 0Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : Z Zπ/4 +∞ dxna) u = tan xdx b) v =n n n xx +e Exercice 8 [ 00927 ] [correction]0 0 Etablir que Z Z−n+∞ +∞2t 2−tExercice 2 [ 00746 ] [correction] 1+ dt−−−−→ e dt n→+∞n−∞ −∞Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : Z Z Z+∞ n +∞ +∞n nsin x x dx x dx a) u = dx b) u = c) u =n n n2 n+2 2nx x +1 x +1 Exercice 9 [ 03013 ] [correction]0 0 0 Existence et calcul de Z +∞ lnt dtExercice 3 [ 00922 ] [correction] te0 Etudier Z n nx Indice : utiliser une suite de fonctions judicieuse.−2xlim 1+ e dx n→+∞ n0 Exercice 10 Centrale MP - Mines-Ponts MP [ 02435 ] [correction] Exercice 4 [ 00923 ] [correction] Etudier la limite de ZDéterminer un équivalent de 1 nf(t )dtrZ n nx 0 1+ 1− dx n où f :[0,1]→R est continue.0 Exercice 5 [ 00924 ] [correction] + Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02862 ] [correction]Soit f :R →R continue et bornée. CalculerDéterminer la limite quand n→+∞ de Z +∞ n! Z lim dx+∞ nQn→+∞nf(x) 0 (k+x)dx 2 21+n x k=10 Exercice 6 [ 00925 ] [correction] Exercice 12 X MP [ 02982 ] [correction]+ +Soit f :R →R continue et intégrable.