Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Théorème de convergence dominée

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Théorème de convergence dominée

Exercice 1[ 00921 ][correction]
Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
Zπ4b)vn=Z0+∞xn+dxex
a)un= tannxdx
0

Exercice 2[ 00746 ][correction]
Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
a)un=Z+0∞sinxn2xdxb)un=Z0+∞xnx+n2+dx1c)un=Z+0∞xx2nn+dx1

Exercice 3[ 00922 ][correction]
Etudier
nl→i+m∞Z0n1 +xnne−2xdx

Exercice 4[ 00923 ][correction]
Déterminer un équivalent de
Z0nr1 +1−xnndx

Exercice 5[ 00924 ][correction]
Soitf:R+→Rcontinue et bornée.
Déterminer la limite quandn→+∞de
Z+∞1n+nf(2x)x2dx
0

Exercice 6[ 00925 ][correction]
Soitf:R+→R+continue et intégrable.
Déterminer la limite quandn→+∞de
nZ1f(nt)dt
01 +t

Enoncés

Exercice 7Centrale MP
Calculer

[ 00926 ][correction]
+∞
nli→m∞Ze−tsinn(t) dt
0

Exercice 8[ 00927 ][correction]
Etablir que
+
Z−+∞∞1 +nt2−ndtn−→−+−−∞→Z−∞e−t2dt
∞

Exercice 9[ 03013 ][correction]
Existence et calcul de

td
Z+0∞elntt
Indice : utiliser une suite de fonctions judicieuse.

Exercice 10Centrale MP - Mines-Ponts MP[ 02435 ][correction]
Etudier la limite de
1
Z0f(tn) dt
oùf: [01]→Rest continue.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02862 ][correction]
Calculer
nl→imZ+∞n!x)dx
+∞n
0Q(k+
k=1

Exercice 12X MP
Déterminer

[ 02982 ][correction]
lim∞Z0ncosnxn2dx
n→+

1

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Exercice 13Mines-Ponts PC[ 00150 ][correction]
Soitf∈ C0(R+R+)bornée. On pose, pourn∈N,
In=Z+0∞
nf(t)e−ntdt

Déterminer la limite deInquandn→+∞.

Enoncés

Exercice 14X MP[ 03159 ][correction]
SoitFune application continue décroissante deRdansR, tendant vers 1 en−∞
et vers0en+∞. Soient deux réelshetδvérifiant0< h < δ.
a) Déterminer la limite éventuelle de
1
In=Z0F√n(δt−h)dt

b) On pose
Sn=nkX−10=F√nδ k+n1−h
Déterminer un équivalent deSnlorsquentend vers+∞.

Exercice 15CCP MP[ 03294 ][correction]
Montrer
nl→i+m∞nZ+1∞e−xndx=Z+∞e−xd
x
1x

Exercice 16X PC[ 03650 ][correction]
Soitf:R+→Rde classeC1intégrable ainsi que sa dérivée.
a) Déterminer pourx >0
n→+∞Z+0∞ncost(sint)nf(xt) dt
lim

b) Préciser le mode de convergence.

Exercice 17CCP MP[ 03295 ][correction]
Montrer
l+∞nZ1+∞e−xndx=Z+1∞e−x
im dx
n→x

Exercice 18CCP MP[ 03362 ][correction]
Pourn∈Netx∈]01[, on pose

fn(x) =x2xn2+1−ln1x

a) Montrer quefnest intégrable sur]01[. On pose
Jn=Z10fn(x)dx
b) Montrer que la suite(Jn)n∈Nest convergente et déterminer sa limite.
c) Montrer que
J1+X∞k12
n4=
k=n+1

Exercice 19CCP PSI[ 03800 ][correction]
Etudier la limite éventuelle, quandntend vers+∞, de la suite
In=Z+0∞1 +xxnn+2dx

Exercice 20CCP PSI[ 03807 ][correction]
Montrer que la fonctionfndonnée par

fn(x ln) =x(+1(+1xx2)n)

est intégrable surR?+.
Montrer que la suite de terme généralun=nR+0∞fn(x) dxconverge vers une
limite à préciser.

2

Exercice 21CCP MP[ 02392 ][correction]
Soitfune application réelle de classeC1sur[a b]avec0< a <1< betf(1)6= 0.
Soit(fn)la suite de fonctions telle que

fn(x) = 1f(+x)
xn

a) Déterminer la limite simple de(fn).

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b) Etablir l’égalité suivante :

c) Montrer que

nl→im+∞Zabfn(t) dt=Za1f(t) dt

Za1tn−1fn(t) dt∼lnn2f(1)

Exercice 22CCP MP[ 01771 ][correction]
Vérifier que la suite de terme général
un=Z0+∞snit(n+ntt)2dt

est bien définie et étudier sa convergence.

Exercice 23[ 02568 ][correction]
Montrer que

un= (−1)nZ+∞dtn
0(1 +t3)

est définie pourn>1.
Calculer
nl→im+∞Z+∞dt
0(1 +t3)n
En déduire la nature de la série de terme généralun.

Exercice 24[ 02567 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Ccontinue.
On suppose que la fonctionfconverge en+∞vers une limite`.
Déterminer la limite quandn→+∞de
1Zn

µn=
n

f(t) dt
0

Enoncés

Exercice 25CCP MP[ 02517 ][correction]
Pourn∈N?etx∈R, on pose

fn(x) =√πn1−2xn222n4

Soitgune fonction continue surRet nulle en dehors d’un segment[a b].
Montrer que

li+m∞ZRfn(x)g(x)dx=g(0)
n→

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
A chaque fois, on vérifie que les fonctions engagées sont continues par morceaux.
a) Sur[0 π4[,tannx−C−V−S→0|tannx|61 =ϕ(x)intégrable sur[0 π4[donc
uZπ4dx= 0
n→0
0

b) Sur[0+∞[,xne+1x−C−V−S→f(x)avecf(x) = e−xsur[01[etf(x) = 0sur
]1+∞[.
e
De plusxn+1ex6−x=ϕ(x)avecϕintégrable sur[0+∞[donc
vn→Z01exdxe=e−1
−

Exercice 2 :[énoncé]
A chaque fois, on vérifie que les fonctions engagées sont continues par morceaux.
a) Ici, on ne peut appliquer le théorème de convergence dominée sur[0+∞[après
une majoration de|sinx|par 1 car la fonction dominanteϕ(x) = 1x2ne sera pas
intégrable sur]0+∞[. Pour contourner cette difficulté, on découpe l’intégrale.
un=Z+0∞sinx2nxdx=Z10sinx2nxdx+Z+∞sinnx
dx
1x2

On a
1
Z10sinxn2xdx6Z0sinn−2(x)dxcar|sinx|6|x|
Sans difficultés, par le théorème de convergence dominée
1
Zsinn−2(x)dx→0
0

et donc
Z1sinxn2xdx→0
0
Aussi
|n
nx
Z1+∞sinx2nxdx6Z+1∞|six2dx
Or|sinx|nCS
x2−−→f(x)avecf(x) = 0pour toutx6=π2 [π].

De plus|sinx|nx12=ϕ(x)avecϕintégrable sur[1+∞[donc
x26
Z1+∞|sinx2x|ndx→Z+1∞f(x) dx= 0

4

puisun→0.
b) On écrit
1
unZ0xnx+n2+dx1 +Z1+∞xnx+n2+dx1
=
On a
Z10nx+n2+dx16Z01xndx=n1+1
x
et
+xndx
Z1∞+2−−−−→Z1+∞xd2x= 1
xn+ 1n→+∞
en vertu du théorème de convergence dominée et via la dominationxnx+2n+16x12
sur[1+∞[.
Ainsiun→1.
c) On écrit
1xnd
un=Zx2n+x1 +Z1+∞xx2nnd+x1
0

On a

Z01xx2nn+dx16Z10xndx=n1+1

et
+
Z1∞xx2nn+dx16Z1+∞xdnx=n−11
doncun→0.
On peut aussi appliquer le théorème de convergence dominée mais c’est moins
efficace.

Exercice 3 :[énoncé]
fn(x) =1 +nxne−2xχ[0n](x)sur[0+∞[.
fn(x)−C−S→e−xet en vertu de l’inégalitéln(1 +u)6uon a|fn(x)|6e−x=ϕ(x)
avecϕintégrable sur[0+∞[. Par application du théorème de convergence
dominée,l→im+R0n1 +nxne−2xdx=R0+∞e−xdx= 1.
n∞

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Exercice 4 :[énoncé]
Par changement de variable
Z0nr1 +1−nun=1−xnnZ10√1−undu
xdx =

Par le théorème de convergence dominée
Z