Sujet : Analyse, Topologie, Continuité et densité

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Continuité et densité Exercice 7 [ 03275 ] [correction] Montrer ∀A,B∈M (R),com(AB) = com(A)com(B)nExercice 1 [ 01136 ] [correction] Soit f :R→R continue vérifiant ∀x,y∈R,f(x+y) =f(x)+f(y) Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 03288 ] [correction] Soient A,B,C,D des matrices carrées d’ordre n, réelles et commutant deux à Déterminer f. deux. Montrer la matrice A B M = C D Exercice 2 [ 01139 ] [correction] est inversible si, et seulement si, AD−BC l’est.Soit f :R→R une fonction continue telle que x+y 1 ∀x,y∈R,f = (f(x)+f(y)) 2 2 p a) Montrer queD = /p∈Z,n∈N est dense dansR.n2 b) Montrer que si f s’annule en 0 et en 1 alors f = 0. c) Conclure que f est une fonction affine. Exercice 3 [ 01137 ] [correction] Montrer que pour tout A,B∈M (C), χ =χ .n AB BA Exercice 4 [ 01138 ] [correction] Soit n> 2. Calculer det(comA) pour A∈M (C).n Exercice 5 [ 03128 ] [correction] Soient n∈N avec n> 2. a) Soient A∈M (C) et P∈ GL (C).n n −1 −1Exprimer la comatrice de P AP en fonction de P, P et de la comatrice de A. b) En déduire que les comatrices de deux matrices semblables sont elle-même semblables. Exercice 6 Centrale MP [ 00750 ] [correction] ePour A∈M (K), on note A la transposée de la comatrice de A.n ea) Calculer detA. eb) Etudier le rang de A. e ec) Montrer que si A et B sont semblables alors A et B le sont aussi. eed) Calculer A. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Nombre de lectures: 112
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Continuité et densité

Exercice 1[ 01136 ][correction]
Soitf:R→Rcontinue vérifiant

Déterminerf.

∀x y∈R f(x+y) =f(x) +f(y)

Exercice 2[ 01139 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction continue telle que
∀x y∈R fx2+y2(=1f(x) +f(y))
p
a) Montrer queD=2np∈Z n∈Nest dense dansR.
b) Montrer que sifs’annule en 0 et en 1 alorsf= 0.
c) Conclure quefest une fonction affine.

Exercice 3[ 01137 ][correction]
Montrer que pour toutA B∈ Mn(C),χAB=χBA.

Exercice 4[ 01138 ][correction]
Soitn>2. Calculerdet(comA)pourA∈ Mn(C).

Exercice 5[ 03128 ][correction]
Soientn∈Navecn>2.
a) SoientA∈ Mn(C)etP∈GLn(C).
Exprimer la comatrice deP−1APen fonction deP,P−1et de la comatrice de
b) En déduire que les comatrices de deux matrices semblables sont elle-mme
semblables.

Exercice 6Centrale MP[ 00750 ][correction]
e
PourA∈ Mn(K), on noteAla transposée de la comatrice deA.
e
a) CalculerdetA.
e
b) Etudier le rang deA.
e e
c) Montrer que siAetBsont semblables alorsAetBle sont aussi.
e
d) CalculerA.

Enoncés

A.

Exercice 7
Montrer

[ 03275 ][correction]

∀A B∈ Mn(R)com(AB) =com(A)com(B)

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 03288 ][correction]
SoientA B C Ddes matrices carrées d’ordren, réelles et commutant deux à
deux. Montrer la matrice
M=A B
C D

est inversible si, et seulement si,AD−BCl’est.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitfune fonction solution.
On af(0 + 0) =f(0) +f(0)doncf(0) = 0
Par une récurrence facile∀n∈N∀x∈R f(nx) =nf(x).
De plus, puisquef(−x+x) =f(−x) +f(x), on af(−x) =−f(x).
Par suite∀n∈Z∀x∈R f(nx) =nf(x).
Pourx=pq∈Q,f(x) =pf(1q)etf(1) =qf(1q)doncf(x) =axavec
a=f(1).
Les fonctionsx7→f(x)etx7→axsont continues et coïncident surQpartie dense
dansRdonc ces deux fonctions sont égales surR.
Au finalfest une fonction linéaire.
Inversement, une telle fonction est évidemment solution.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Soitx∈R. Puisque
E(2nx)
=→x
un2n
avecun∈ D, la partieDest dense dansR.
b) Supposons quefs’annule en 0 et 1.

12(f(−x) +f(x)) =f(0)
donc la fonctionfest impaire.
Par récurrence double, montrons∀n∈N f(n) 0.
=
Pourn= 0oun= 1: ok
Supposons la propriété établie aux rangsn>1etn−1>0.

n+
f2(+1)f(n−=)1f(n)

donne en vertu de l’hypothèse de récurrence :f(n+ 1) = 0.
Récurrence établie.
Par l’imparité
∀p∈Z f(p) = 0

Par récurrence surn∈N, montrons
∀p∈Z f2pn= 0
Pourn= 0: ok

Supposons la propriété établie au rangn∈Z.
Soitp∈Z,
f2np+1=f120 + 2pn12=f(0) +f2pnH=R0

Récurrence établie.
Puisquefest continue et nulle sur une partie
D=n2pnp∈Z n∈No

dense dansR,fest nulle surR.
c) Posonsβ=f(0)etα=f(1)−β.
La fonctiong:x7→f(x)−αx+βest continue et vérifie la propriété
gx2+y=(21g(x) +g(y))

doncgest nulle puisfaffine.

2

Exercice 3 :[énoncé]
Soitλ∈C. SiAest inversibleχAB(λ) = det(AB−λIn) =
det(A) det(B−λA−1) = det(B−λA−1) detA= det(BA−λIn) =χBA(λ).
Ainsi les applications continuesA∈ Mn(C)7→χAB(λ)etA∈ Mn(C)7→χBA(λ)
coïncident sur la partie GLn(C)dense dansMn(C), elles sont donc égales sur
Mn(C).
Ainsi pour toutλ∈C,χAB(λ) =χBA(λ)et doncχAB=χBA.

Exercice 4 :[énoncé]
On sait

donc

t(comA)A

= detAIn

det(comA) detA= (detA)n

SiAest inversible on obtient

det(comA) = det(A)n−1

Puisque l’applicationA7→det(comA)est continue et qu’elle coïncide avec
l’application elle aussi continueA7→(detA)n−1sur GLn(C)qui est dense dans
Mn(C), on peut affirmerdet(comA) = (detA)n−1pour toutA∈ Mn(C).

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Exercice 5 :[énoncé]
a) SiAest inversible alors

et donc

De mme

A−1=1detAt(comA)

comA= det(A)tA−1

com(P−1AP) = det(A)t(P−1A−1P)

Corrections

ce qui donne
com(P−1AP)tPcomAt(P−1)
=
Les fonctionsA7→com(P−1AP)etA7→tPcomAt(P−1)sont continues sur
Mn(C)et coïncident sur GLn(C)partie dense dansMn(C), c’est deux fonctions
sont donc égales. Ainsi la relation

com(P−1AP) =tPcomAt(P−1)

est valable pour toutA∈ Mn(C)
b) C’est immédiat sachant quet(P−1)est l’inverse detP.

Exercice 6 :[énoncé]
a) On sait

SiAest inversible alors

˜ ˜
AA=AA= detAIn

˜
detAdetA= (detA)n

donne
detAd=e(t˜A)n−1
˜
L’applicationA7→detAétant continue et coïncidant avec l’application elle aussi
continueA7→(detA)n−1sur GLn(K)qui est dense dansMn(K), on peut assurer
quedetA=˜et(dA)n−1pour toutA∈ Mn(K).
˜
b) SiAest inversible alorsAaussi donc

˜
rg(A) =n⇒rg(A) =n

Si rg(A)6n−2alorsAne possède pas de déterminant extrait non nul d’ordre
˜
n−1et doncA= 0. Ainsi

˜
rg(A)6n−2⇒rg(A) = 0

3

˜ ˜
Si rg(A) =n−1alorsdim kerA= 1orAA= detAIn= 0donne ImA⊂kerAet
˜
donc rg(A)61. Or puisque rg(A) =n−1,Apossède un déterminant extrait
˜
d’ordren−1non nul et doncA6=O. Ainsi

˜
rg(A) =n−1⇒rg(A) = 1

c) SoitPune matrice inversible. Pour toutA∈GLn(K),

etP−1APinversible donc

(P−1A˜P)(P−1AP) = detAIn

^
P−1A˜P=P−1AP

Ainsi
^
˜1
A=P P−1AP P−
^
Les applicationsA7→A˜etA7→P P−1AP P−1sont continues et coïncident sur la
partie dense GLn(K)elles sont donc égales surMn(K).
SiAetBsont semblables alors il existePinversible vérifiantP−1AP=Bet par
^
la relation ci-dessusP−1A˜P=P−1AP=B˜doncA˜etB˜sont semblables.
˜−1et
d) SiAest inversible alorsA= det(A)A

˜
Ae= det(A)A˜−1= det(A)n−2A

Par coïncidence d’applications continues sur une partie dense, pour tout
A∈ Mn(K),
Ae= det(A)n−2A

Exercice 7 :[énoncé]
CasA B∈GLn(R)
On sait
A−1=1detAt(comA),B−1t1=edBt(comB)
et

donc

puis

11
(AB)−=B)t(comAB) =B−1A−1
det(A

(AB)−1d1te=(AB)t(comAB) = detA1tdeBt(comB)t(comA)

t
t(com(AB ()) =com(A)com(B))

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et enfin

com(AB) =com(A)com(B)

Cas général
Posons
1I
Ap=A+ 1p InetBp=pB
+n
Pourpassez grandAp Bp∈GLn(R)et donc

com(ApBp) =com(Ap)com(Bp)

Or la fonctionM→comMest continue donc par passage à la limite

com(AB) =com(A)com(B)

Exercice 8 :[énoncé]
Cas où la matriceAinversible :
Pour
P=

on a

On en déduit

Or

M P=

In
On

A
C

−A−1B
In



On
−CA−1B+D



detM= det(M P) = detA×det(−CA−1B+D)

detA×det(−CA−1B+D) = det(AD−ACA−1B) = det(AD−BC)

car la matriceCcommute avec les matricesAetB.
On en déduit
detM= det(AD−BC)

Corrections

Cas général :
Pourp∈N?assez grand, la matriceAp=A+ 1pInest inversible et les matrices
Ap