Sujet : Géométrie, Géométrie de l'espace, Droites de l'espace

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Droites de l’espace Exercice 1 [ 01875 ] [correction] Une droiteD coupe trois plans parallèles en des points A,B,C. Montrer que le rapport AC AB ne dépend de la droiteD. Exercice 2 [ 01876 ] [correction] 0SoientD (resp.D ) une droite passant par A (resp.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Droites de l’espace

Exercice 1 [ 01875 ] [correction] Une droiteDcoupe trois plans parallèles en des pointsA B C. Montrer que le rapport AC AB

ne dépend de la droiteD.

Enoncés

Exercice 2 [ 01876 ] [correction] SoientD(resp.D 0 ) une droite passant parA(resp.B) et dirigée par~u( → resp.~v) ~ . − Montrer queDetD 0 sont coplanaires si, et seulement si, les vecteursAB,~uetv sont coplanaires.

Exercice 3 [ 01877 ] [correction] SoientDetD 0 deux droites non coplanaires. Décrire l’ensemble S={m[M N]M∈ D N∈ D 0 }

Exercice 4 [ 01878 ] [correction] SoientDetD 0 deux droites distinctes sécantes de l’espace. Montrer que l’ensemble des points équidistants deDetD 0 est la réunion de deux plans.

Exercice 5 [ 01879 ] [correction] SoientD 1     D n des droites de l’espace telles que :

∀i j∈ {1     n} 2  i6=j⇒ D i ∩ D j 6=∅

Montrer que les droitesD 1     D n sont concourantes ou coplanaires.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé] SoitDetD 0 deux droites coupant les plans considérés. SiDD 0 : ok Sinon, quitte à considérer une droite parallèle àD 0 on peut supposerDetD 0 sécantes enAet la propriétés s’obtient alors par Thalès dans le plans défini parD etD 0 .

S E i x D e  rc D i 0 ce so 2 nt : c [é o n pl o a n n c a é i ] res alors les vecteursA → Bu~~vappartiennent à la direction − duplancon t t , e s n i a A n − t→DetD 0 et par suite ces trois vecteurs sont coplanaires. InversemenBu~~vsont coplanaires, considérons le plan passant parAet contenant ce l s t − r → ois vecteurs. Ce plan contientAet~udonc il contientD. Ce p an contientAetABdonc il contientB. De plus il contient~vdonc il contientD 0 . FinalementDetD 0 sont coplanaires.

Exercice 3 :[énoncé] NotonsD=A+Vect(u~),D 0 =B+Vect(v~)etI=m[A B]. PourM=A+u~λ∈ DetN=B+µ~v∈ D 0 on am[M N] =I+ λ 2 ~u+ µ 2 ~vdonc S=I+Vect(u~~v). C’est un plan car~uet~vne sont pas colinéaires.

Exercice 4 :[énoncé] NotonsPle plan contenantDetD 0 . SoitMun point de l’espace etHson projeté surP. Par Pythagored(MD) 2 =M H 2 +d(HD) 2 etd(MD 0 ) 2 =M H 2 +d(HD 0 ) 2 doncd(MD) =d(MD 0 )⇔d(HD) =d(HD 0 ). Or, dans le planP, l’ensemble des points équidistants deDetD 0 forme la réunion de deux droites orthogonales (les bissectrices deDetD 0 ) doncMest équidistant deDetD 0 si, et seulement si, son projeté surPappartient à ses bissectrices. Finalement, l’ensemble des points équidistants deDetD 0 est la réunion des deux plans orthogonaux àPcontenant les bissectrices dansPdeDetD 0 .

Exercice 5 :[énoncé] Si les droitesD i sont coplanaires : ok. Sinon, considéronsD i D j D k trois droites non coplanaires.

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D i etD j s’interceptent en un pointO. NotonsPle plan contenant ces deux droites. NotonsAetBles points d’intersections deD k avecD i etD j . SiA6=Oalors la droiteD k passe par deux points distincts du planPet donc est incluse dans ce plan. Ceci est exclu. Par suiteA=Oet de mmeB=O. SoitD ` autre droite de la famille. Montrons que celle-ci passe aussi parune O. SiD ` n’est pas incluse dans le planP, le raisonnement précédent permet de conclure. SinonD ` est incluse dans ce plan et commeD ` intercepteD k qui ne coupeP qu’enO, on aO∈ D ` . Au final, les droites concourent enO.

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