Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes de l'espace

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Courbes de l’espace

Enoncés

Exercice 1[ 00631 ][correction]
~
Déterminer le vecteur tangentTen tout point régulier de la courbeΓdéfinie par
le paramétrage cartésien :
x=a(1 + cost) cost
zy==a(4ac(nis1+to2stnis))t

Calculer la longueur deΓ.

Exercice 2[ 00632 ][correction]
SoitΓla courbe définie par le paramétrage cartésien :
x= cos3t

y= sin3t
z=324cost

Montrer que la tangente en tout point régulier deΓfait un angle constant avec
l axe(Oz).
’

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
x0( ) =−2anis23tct
tos
2
0(t) = 2acos 3t t
cos
y2 2
z0(t) = 2a2scot
donc pourt∈ π+ 2πZ(de sorte quecos(t2)6= 0), on a

~
T

1 3t
−
√nis22
1 3t
co
√22s
1
√2

Γest donc
4√2aZ02

Le paramétrage est4πpériodique. La longueur de
−−
L=πd
Z04OdMt→dt=Z04π2√2acost2dt=

Exercice 2 :[énoncé]

donc

−~
On aT∙→k=√21donc

yx00((tt3=))=−nsiis32nttcsosoct2t
z0(t) =−3 sintcost

1
√cost
2
~1
T− √si2nt
1
√2

~ ~
Ecart(T  k) =π4

Corrections

π
|cost|dt= 16√2a

2

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