Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes définies par une équation
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Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes définies par une équation

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Courbes définies par une équation Exercice 1 [ 00607 ] [correction] [Folium de Descartes] 2Soit Γ la courbe du planR d’équation cartésienne : 3 3x +y = 3xy a) SoitD la droite passant par O et de pente égale à t. DéterminerD ∩ Γ.t t En déduire un paramétrage de Γ en coordonnées cartésiennes. b) Etudier et représenter Γ. c) Calculer l’aire de la boucle de Γ. Exercice 2 [ 00608 ] [correction] Construire la courbeC d’équation cartésienne 2 2 2x(x −y ) +y = 0 (indice : on pourra chercher les points communs àC et une droiteD de pente tt passant par O) Exercice 3 [ 00609 ] [correction] Construire la courbeC d’équation cartésienne 3 2 2 2y − 3x y− (x +y ) = 0 (indice : on pourra passer en coordonnées polaires) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 Corrections Exercice 1 : [énoncé] 23t 3ta)D :y =tx, M(x,y)∈D ∩ Γ⇔ (x,y) = (0, 0) ou (x,y) = , .t t 3 31+t 1+t 0Soit Γ la courbe définie par le paramétrage :  3tx = 31 +t 2 3ty = 31 +t 0avec t∈R. Clairement Γ ⊂ Γ. Inversement, soit M(x,y)∈ Γ. Si M∈ (Oy) alors x = 0 puis y = 0 donc 0M =O∈ Γ (en prenant t = 0). 0 0Sinon M∈D ∩ Γ (avec t =y/x) et donc M∈ Γ . Finalement Γ = Γ .t ∞b) L’application t7→M(t) est définie et de classeC surR−{−1}.

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Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Courbes définies

par

une

équation

Exercice 1[ 00607 ][correction]
[Folium de Descartes]
SoitΓla courbe du planR2d’équation cartésienne :

x3+y3= 3xy

a) SoitDtla droite passant parOet de pente égale àt. DéterminerDt
En déduire un paramétrage deΓen coordonnées cartésiennes.
b) Etudier et représenterΓ.
c) Calculer l’aire de la boucle deΓ.

Exercice 2[ 00608 ][correction]
Construire la courbeCd’équation cartésienne

x(x2−y2) +y2= 0

(indice : on pourra chercher les points communs àCet une droiteDt
passant parO)

Exercice 3[ 00609 ][correction]
Construire la courbeCd’équation cartésienne

y3−3x2y−(x2+y2) = 0

(indice : on pourra passer en coordonnées polaires)

∩Γ.

de pentet

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)Dt:y=tx,M(x y)∈ Dt∩Γ⇔(x y) = (00)ou(x y) =3+1tt31+3t2t3.
SoitΓ0la courbe définie par le paramétrage :
3t
x=
3+1t2t3
y= 1 +t3

avect∈R. ClairementΓ0⊂Γ.
Inversement, soitM(x y)∈Γ. SiM∈(Oy)alorsx= 0puisy= 0donc
M=O∈Γ0(en prenantt= 0).
SinonM∈ Dt∩Γ(avect=yx) et doncM∈Γ0. FinalementΓ = Γ0.
b) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR− {−1}.
Tableau des variations simultanées

t−∞
x0(t)

x(t)
y(t)
y0(t)

0
0

x0(t(1()+=13−t23t)32)ety0(t3)=(t1(t+3t−3)22)

−1−
+
%+∞

& −∞

−1+0 13√23√2
+ + 0− −
−∞ %0%3√4&3√2&
+∞ &0√%32√%34&
−0 + 0 +−

+∞
0
0

Corrections

Etude quandt→ −1+
x(t)→ −∞ety(t)→+∞,yx((tt))→ −1ety(t) +x(t) =t2−3tt+1→ −1.
Etude quandt→ −1−
x(t)→+∞ety(t)→ −∞, le reste est identique
y(t) +x(t) + 1 =t(2t−+t1)+21>0donc la courbe est (toujours) à droite de l’asymptote.
Etude quandt→+∞
+
x(t)→0+ety(t)→0.
xy((tt))→+∞
Oest point limite avec une tangente verticale.
Etude quandt→+∞: idem
plot([3*t/(1+tˆ3), 3*tˆ2/(1+tˆ3), t=-50..50], view=[-2..2, -2..2],
numpoints=500);

Folium de Descartes c) L’aire de la boucle peut tre calculée par une intégrale
curviligne le long d’un pourtour direct
Aire1=2IΓxdy−ydx2=1Z0+∞9(1+t2t3)2dt=23

Exercice 2 :[énoncé]
Pourt∈R, on résout le système
(xy(x2−y2) +y2= 0
=tx

2

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et on obtient

(yx0==0o(x=t2(t22−−)11)
uy=t3(t

Corrections

Ce qui précède détermine tous les points deCen dehors de ceux figurant sur la
droite verticale(Oy). Pour déterminer ces derniers, on résout le système
x
(x=(x20−y2) +y2= 0

et l’on obtient pour seule solution
(xy==00

Considérons alorsΓl’arc défini par le paramétrage
t2
x=t2t3−1
y=t2−1

Par ce qui précède on a

C= Γ∪ {O}

et puisqueO∈Γ(prendret= 0), on a finalementC= Γ. Il reste à étudierΓ.
L’applicationt7→M(t)correspondante est définie et de classeC∞sur]−∞−1[,
]−11[et]1+∞[
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox).
On peut limiter l’étude à[01[et]1+∞[. La courbe obtenue sera complétée par
la symétrie d’axe(Ox).
Tableau des variations simultanées.
x0(t) =−2t
2((tt22−−))132
y0(t) =t(t2−1)2
t0 1−1+√3 +∞
x0(t) 0− − −
x(t) 0& −∞+∞ &32&1
y(t) 0& −∞+∞ &3√32%+∞
y0(t) 0− −0 +
m(t) ? + + 0−

3

Etude ent= 0
Quandt→0
x(t) =−t2+ 0t3+o(t3)
y(t) = 0t2−t3+o(t3)
−1 0
p= 2,q= 3,~u0etv~−1.

M(0)est un point de rebroussement de première espèce avec tangente horizontale.
Etude quandt→+∞
x(t)→1+ety(t)→+∞.
La droite d’équationx= 1est asymptote, courbe à droite.
Etude quandt→1+
x(t)→+∞,y(t)→+∞.
y(t)x(t) =t→1ety(t)−x(t) =tt+21→12
La droite d’équationy=x+12est asymptote.
y(t)−x(t)−21=(2t+12(t+)(t1)−1)>0
La courbe est au dessus de l’asymptote.
Etude quantt→1−.
On obtient la mme asymptote, mais la courbe est en dessous de celle-ci.
plot([tˆ2/(tˆ2-1), tˆ3/(tˆ2-1), t=-5..5], view=[-5..5, -5..5]);

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Courbe d’équation cartésiennex(x2−y2) +y2= 0

Exercice 3 :[énoncé]
Soit(r θ)un système de coordonnées polaires d’un pointM.

Ainsi

M∈ C ⇔r3sin3θ−3r3cos2θsinθ−(r2cos2θ+r2sin2θ) = 0

M∈ C ⇔r= 0ournis=θ(1−sco412θ)

Corrections

Considérons alors la courbeΓd’équation polaire

1 1
r=insθ4 sin2θ−3=−sin(3θ)

4

Ce qui précède donne
C= Γ∪ {O}
Il reste à étudierΓ.
L’applicationr:θ7→ −3(nis1θ)est définie et de classeC∞sur le domaine
π
k∈[Zk3π(k3+)1
r(θ+ 2π3) =r(θ)doncM(θ+ 2π3)est l’image deM(θ)par la rotation de
centreOet d’angle2π3.
r(−θ) =−r(θ)doncM(−θ)est le symétrique deM(θ)par rapport à l’axe(Oy).
r(π3−θ) =r(θ)doncM(π3−θ)est le symétrie deM(θ)par rapport à la
droite d’équation polaireθ=π6.
On peut limiter l’étude à l’intervalle]0 π6]. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axeθ=π6, la symétrie d’axe(Oy)et les rotations de centreO
et d’angles2π3et4π3.

θ
r(θ)

0
−∞

%

π6
−1

Etude enθ=π6
r(π6) =−1etr0(π6) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude quandθ→0+.
r(θ)→ −∞
d(θ) =sni3θθ→−13−

sin
La droite d’équationy=−13est asymptote à la courbe, courbe en dessous.
plot([-1/sin(3*t), t, t=0..2*Pi], coords=polar, view=[-5..5,
-5..5]);

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Courbe d’équation cartésienney

33x

2y−(x

2+y

2) = 0

Corrections

5

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