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Publié par | geometrie-mpsi |
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Langue | Français |
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Surfaces
Exercice 1[ 00636 ][correction]
SoitSla surface d’équation
x3+y3+z3= 1
Enoncés
a) A quelle condition l’intersection deSet du planz=kcontient-elle une droite ?
b) Déterminer les droites incluses dansSnon parallèles à(xOy).
c) Montrer que celles-ci sont coplanaires.
d) Déterminer le plan tangent àSen chacun des points d’intersection de ces
droites deux à deux ?
Exercice 2[ 00637 ][correction]
Déterminer les plans tangents aux points réguliers de la surface
Σ :z3=xy
contenant la droite déterminée par le système d’équations
= 2
(yx= 3(z+ 1)
Exercice 3[ 00638 ][correction]
Former une équation cartésienne de la surfaceΣréunion des droites coupant
(xz==10,D2:(yz0==−1etD3:(zx=0=y
D1:
Exercice 4[ 00639 ][correction]
Poura >0, former une équation du cylindreCde génératrice
2+z2=a2
Γ :(xx22++yy2=ax
~
et de directionj.
Exercice 5[ 00640 ][correction]
Former une équation cartésienne du côneΣde sommetA(101)et de directrice
z
Γ :(x20=+y2= 1
Exercice 6[ 00641 ][correction]
Former une équation du cône de révolutionCde sommetO, d’axeΔ :x=y=z
et de demi-angle au sommetπ3.
1
Exercice 7[ 00642 ][correction]
Former une équation de la surface de révolutionSobtenue par rotation du cercle
Γde centreΩ(a00)et de rayonr >0du plan(xOy)autour de l’axe(Oy).
Exercice 8[ 00643 ][correction]
Former une équation de la surface de révolutionSobtenue par la rotation de la
courbe
xz===tt−2t2
Γ :y
autour de la droiteΔ :x=y=z.
Exercice 9[ 00644 ][correction]
Nature de l’intersection de deux cylindres de révolution isométriques d’axes
perpendiculaires.
Exercice 10[ 00645 ][correction]
SoitΣ :x3+y3+z3−3xyz−1 = 0. Montrer queΣest une surface de révolution.
Exercice 11[ 00410 ][correction]
a) Que représentent
S1:x2+y2= 1etS2:y2+ 4z2= 1?
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b) Soient les plansP1: 2z−x= 0etP2: 2z+x= 0. Démontrer que
C=S1∩S2= (S2∩P1)∪(S2∩P2)
c) Vérifier queA(1012)etB√22√22√−24appartiennent àC.
d) Calculer les tangentes àCenAetB, puis la perpendiculaire commune aux
deux tangentes
Exercice 12[ 03718 ][correction]
On considère les surfacesΣ1etΣ2définies par les équations cartésiennes
Σ1: ex+y+z−z
2= 1etΣ2:x2+y
2+z= 1
Déterminer la tangente enA(001)à la courbeΓ = Σ1∩Σ2.
Enoncés
2
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) SoientDune droite incluse dansSet le planz=k. On ax3+y3= 1−k3.
Si la droite est parallèle à(y0Oy)alorsx=Cteetyquelconque ce qui est
impossible.
Sinon la droite esty=ax+bce qui donne(1 +a3)x3+ 3a2bx2+ 3ab2x= 1−k3
donc
k= 1 a=−1etb= 0ce qui donneD1:A(001) +Vect(~u(1−10)).
b) SoitDune droite incluse dansSet non parallèle à(xOy). On peut la
paramétrer par(yx==yx00++bazqui dans l’équation donne :
z
x30+y03+ (3x02a+ 3y02b)z+ (3x0a2+ 3y0b2)z2+ (1 +a3+b3)z3= 1pour tout
z∈Rdonc :
Par identification :a3+b3=−1 (1),a2x0+b2y0 (2)= 0,ax20+by02 (3)= 0et
x03+y30= 1 (4).
x0(2)−a(3)donneb2x0y0−aby20=by0(bx0−ay0).
Sib= 0alorsa=−1,x0= 0ety0= 1:D2=B(010) +Vect(~v(−101)).
Siy0= 0alorsx0= 1,a= 0etb=−1:D3=C(100) +Vect(w~(0−11)).
Sinonx0=aby0et(4)donney0=−b,x0=−apuis une contradiction.
c) Ces droites appartiennent au plan :x+y+z= 1.
d) Ces droites s’interceptent en(−111),(1−11)et(11−1). Le plan tangent
y a pour équationx+y+z= 1.
Exercice 2 :[énoncé]
Le plans tangent àΣenM(x0 y0 z0)régulier (i.e.M6=O) a pour équation
y0x+x0y−3z02z+z03= 0
Ce plan contient la droite spécifiée si, et seulement si,A(20−1)lui appartient et
u~(031)sa direction ce qui conduit au système :appartient à
2xyx000y0=+=z320zz2003+z30= 0
qui a pour solutions(000),(1−1−1)et(4−2−2).
Les plans tangents cherchés ont alors pour équations :−x+y−3z= 1et
x−2y+ 6z+ 4 = 0.
Exercice 3 :[énoncé]
A(0 t1)∈D1,B(u0−1)∈D2,C(v v0)∈D3.
−
A→B∧ −A→C=~0⇔(ut=2=2vv
intsM=A+−→met alors
La surfaceΣformée des droites(AB)i.e. des potABad
pour paramétrage :
x= 2vt
zy1=2=v−−2t2vt
et par élimination on parvient à l’équationxz+yz+x−y= 0.
Exercice 4 :[énoncé]
~
M(x y z)∈ C ⇔ ∃t∈R M+tj∈Γ
Ainsi
C ⇔ ∃t (x2+ (y+t)2=ax⇔ ∃t∈R(z(y2=+at)22−=aax2−
M(x y z)∈ ∈Rx2+ (y+t)2+z2=a2
puis
donc
M(x(z2=a2−ax
y z)∈ C ⇔ ∃t∈R(y+t)2=ax−x2
C:z2+ax=a2etax>x2
Notons que la dernière condition peut se simplifier enx>0car la première
équation entraînex6a.
Exercice 5 :[énoncé]
A∈Σet pourM(x y z)6=A, on a
−−
A∈Σ⇔ ∃λ∈R A+λAM∈→Γ
3
z2−x2
Après élimination du paramètreλdans le système obtenu, on parvient à l’équation
x2+y2−2xz+ 2z−1 = 0
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Exercice 6 :[énoncé]
Par définition
M(x y z)∈ C ⇔d(MΔ) = sin(π3)OM
Or
d(MΔ) =√31p(x−y)2+ (y−z)2+ (z−x)2
et on parvient alors à l’équation
(x2+y2+z2) + 8(xy+yz+zx) = 0
Exercice 7 :[énoncé]
On peut former un paramétrage du cercleΓ
x=a+rcost
yz==r0nsit
On a
Ainsi
M(x y z)∈ S ⇔ ∃P∈Γ OM2=OP2et−O−M→~−→Pj~
∙j=O∙
M(x y z)∈ S ⇔ ∃t∈R(2arcost=x2+y2+z2−a2−r2
rsint=y
Ce système implique
donc
4a2r2cos2t= (x2+y2+z2−a2−r2)2
4a2r2(1−y2) = (x2+y2+z2−a2−r2)2
Corrections
Inversement, si un pointMvérifie cette équation en posantttel quersint=yet
costdu signe dex2+y2+z2−a2−r2, le système précédent est vérifié.
Finalement
S: (x2+z2)2−2(x2+z2)(a2+r2) + (a2−r2)2+y4+ 2y2(a2+r2) = 0
Exercice 8 :[énoncé]
−
On aM(x y z)∈ S ⇔ ∃P∈Γ OM2=OP2etO−M→~u=O−P∙→u~
∙
avecu(111)vecteur directeur deΔ.
~
Ainsi
Finalement
M(x y z)∈ S ⇔ ∃t∈R(tt2+=x2t+4y=+zx2+y2+z2
S: (x+y+z)4+ (xy+yz+zx) = 0
4
Exercice 9 :[énoncé]
Dans un repère ad hoc, les équations des cylindres sontx2+y2=R2et
x2+z2=R2. Les points intersections vérifient alorsy2=z2et sont donc inclus
dans les plans d’équationsy=zety=−z. L’intersection cherchée apparaît alors
comme la réunion des intersections du premier cylindre et des deux précédents
plans. Cela conduit à des ellipses de petit axeb=R, de grand axea=√2Ret
d’excentricitée=ca= 1√2.
Exercice 10 :[énoncé]
SoitΠλ:x+y+z=λ.
xy−λx−λy) +λ3−1 = 0
M(x y z