Sujet : Géométrie, Géométrie du plan, Théorème de l'angle au centre

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Théorème de l’angle au centre Exercice 1 [ 01942 ] [correction] On munit le plan d’un repère orthonormé direct.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Théorème de l’angle au centre

Enoncés

Exercice 1[ 01942 ][correction]
On munit le plan d’un repère orthonormé direct.
SoitA B C Dquatre points deux à deux distincts d’affixes respectives :a b c d.
a) Montrer que :(C−→A C−→B) = (D−→A D−→B [) = 0π]si, et seulement si,A B C D
sont ali
b)Montgrneérs.que:(−C→A C−→B) = (D−→A D−→B)6= 0 [π]si, et seulement si,A B C D
sont cocycliques.
c) En déduire queA B C Dcocycliques si et seulement si :sont alignés ou
c−
c−ddba−−ab∈R.

Exercice 2[ 01943 ][correction]
SoitCun cercle de centreOetA Bdeux points distincts de ce cercle.
SoitTun point de la tangente enAau cercleC.
M
−
ontrer(−O→A O−→B) = 2(−A→T  A→B) [2π]

Exercice 3[ 01944 ][correction]
Soit(ABC)un triangle non aplati.
Montrer que les symétriques de son orthocentreHpar rapport à ses côtés
appartiennent au cercle circonscrit au triangle.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
ab))oSkupposons(C−→A C−→B) = (D−→A DB)6= 0 [π].
−→
A B Cne sont pas alignés. SoitOle centre du cercle circonscrit au triangle
(ABC).
Par le théorème de l’angle inscrit,Dappartient à ce cercle. La réciproque est
m
ic)m(−Cé→dAiatC−e→.B) = (D−→A D−→B) [π]⇔argcc−−ab= arg(d−a)
d−b

Corrections

[π]⇔cc−−bad−b∈R.
d−a

Exercice 2 :[énoncé]
On introduitA0diamétralement opposé àA.
−−
−
2(A→T  A−→B) =π−2(A−→B A−A→0) =π−(O−→B OA→0) = (−O→A O−→B)

[2π]

Exercice 3 :[énoncé]
(CH−o0n→BsidH−ér−0o→Cn)s+H(0A−le→CsyA−m→Bé)tr=iq(uH−e−0d→BeHH−−0pH→a)r+ra(pH−p−0or→HtàH−−(0→BC)C+).(A−→C A−H→) + (A−H→ A−→B) =
−
= 0 [
d2πon+c2π(−H−0→B−H−0π→]C) = (A−→B A→C) [π]puis2(−H−0→B H−−0→C) = (−O→A O−→B) [2π]avecO
−
centre du cercle circonscrit.
Par suiteH0appartient à ce cercle.

2

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