Sujet Oraux : Polytechnique, Oraux X Analyse

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00318 ] [correction] Exercice 6 [ 01333 ] [correction] Pour n> 2, on considère le polynôme Calculer Z +∞ dx n 4 8P =X −nX + 1 1 +x +xn −∞ a) Montrer que P admet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notée x .n n Exercice 7 [ 01334 ] [correction]b) Déterminer la limite de x lorsque n→ +∞.n 2 0Soient (a,b)∈R avec a0 Exercice 10 [ 02978 ] [correction] Exercice 4 [ 02981 ] [correction] Soit f :C(R,R) intégrable. On pose Déterminer un équivalent lorsque n→ +∞ de ?g :x∈R 7→f (x− 1/x) Z n1 t −? +?I = dt Montrer que g est intégrable surR etR et quen 21 +t0 Z Z Z0 +∞ +∞ g(x) dx + g(x) dx = f(x) dx −∞ 0 −∞ Exercice 5 [ 03165 ] [correction] Soient (a ) une suite réelle positive, bornée et (u ) la suite récurrente définie parn n Exercice 11 [ 03053 ] [correction] 2 00Soit f∈C (R,R) telle que f et f sont de carrés intégrables.1 u > 0 et u = pour tout n∈N0 n+1 0a) Montrer que f est de carré intégrable.u +a + 1n n b) Montrer : Z Z Z2Montrer que la suite (u ) converge si, et seulement si, la suite (a ) converge.n n 02 2 002f 6 f f R R R Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 2 Exercice 12 [ 01335 ] [correction] Exercice 18 [ 02956 ] [correction] Etudier la série de terme général Soit (u ) une suite de réels strictement positifs.n n>1 ?

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Exrait

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Exercice 1[ 00318 ][correction]
Pourn>2, on considère le polynôme

Pn=Xn−nX+ 1

a) Montrer quePnadmet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notéexn.
b) Déterminer la limite dexnlorsquen→+∞.
c) Donner un équivalent de(xn)puis le deuxième terme du développement
asymptotiquexn.

Exercice 2[ 02942 ][correction]
Soitf: [01]→Rcontinue, concave et vérifiantf(0) = 1. Etablir
Z10xdx623Z01f(x)dx2
f(x)

Exercice 3[ 02977 ][correction]
Soitf∈ C([01]R). Déterminer la limite de la suite
R01Rt01nftn(td)tdt!n>0

Exercice 4[ 02981 ][correction]
Déterminer un équivalent lorsquen→+∞de
I t
n=Z011 +t2ndt

Enoncés

Exercice 5[ 03165 ][correction]
Soient(an)une suite réelle positive, bornée et(un)la suite récurrente définie par

+1an+ 1pour toutnN
u0>0etun+1=∈
un

Montrer que la suite(un)converge si, et seulement si, la suite(an)converge.

Exercice 6[ 01333 ][correction]
Calculer
Z+∞

dx
−∞1 +x4+x8

Exercice 7[ 01334 ][correction]
Soient(a b)∈R2aveca < betf∈ C0(RR)admettant une limite finie`en−∞
et telle queR0+∞fexiste.
Justifier l’existence, puis calculer :
+
Z∞−∞(f(a+x)−f(b+x)) dx

Exercice 8[ 02965 ][correction]
Calculer
Z10pxd(1x−x)etZ10px(1−x) dx

Exercice 9[ 02968 ][correction]
SoientPetQdansR[X], oùQne s’annule pas surRetdegP6degQ−2.
ExprimerRRP Qà l’aide des coefficients intervenant dans la décomposition en
éléments simple deP Q.

Exercice 10[ 02978 ][correction]
Soitf:C(RR)intégrable. On pose

g:x∈R?7→f(x−1x)

Montrer quegest intégrable surR−?etR+?et que
∞
Z−0∞g(x) dx+Z+0∞g(x) dx=Z+f(x) dx
−∞

Exercice 11[ 03053 ][correction]
Soitf∈ C2(RR)telle quefetf00sont de carrés intégrables.
a) Montrer quef0est de carré intégrable.
b) Montrer :
ZRf0226ZRf2 ZRf002

1

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Exercice 12[ 01335 ][correction]
Etudier la série de terme général

un= (−1)nsin(lnn)
n

Exercice 13[ 01337 ][correction]
Quelle est la nature de la série de terme général
ei√n
√n?

Exercice 14[ 01338 ][correction]
Calculer
+∞
nX=0(4n+(41)1n+ 3)

Exercice 15[ 02949 ][correction]
Etudier la limite quandn→+∞de
k=Xn1nkn

Exercice 16[ 02950 ][correction]
Soit(un)n>1une suite d’éléments deR+?.
On pose
vn=nu1nkX=n1uk!etwn=n21unnkX=1kuk
On suppose que(vn)tend versa∈R+?.
Etudier la convergence de(wn).

Exercice 17[ 02951 ][correction]
Soit(un)n>0la suite définie paru0∈[01]et

∀n∈N un+1=un−u2
n

!

Enoncés

a) Quelle est la nature de la série de terme généralun?
b) Mme question lorsqueunest définie par la récurrenceun+1=un−u1n+α(avec
α >0).

Exercice 18[ 02956 ][correction]
Soit(un)n>1une suite de réels strictement positifs.
?
On pose, pourn∈N,

vn=unSnoùSn=u1+∙ ∙ ∙+un
Déterminer la nature dePvn.

Exercice 19[ 02957 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général

n
Xuk−nun
k=1

est bornée.
Montrer que la série de terme généralunconverge.

Exercice 20[ 02958 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général
unconverge.
+∞
On note le reste d’ordren:Rn=Puk.
k=n+1
Etudier la nature des séries de termes générauxunRnetunRn−1.

Exercice 21[ 02959 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Nature de la série de terme général

un+1un
−
un

2

Exercice 22[ 02960 ][correction]
Soitu∈RNtelle queu0∈]01]et que, pour un certainβ >0et pour toutn∈N,

uβn+1= sinunβ
Etudier la nature de la série de terme généralun.

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Exercice 23[ 02961 ][correction]
Soit(un)une suite réelle telle queu0>0et pour toutn >0,

un= ln(1 +un−1)

Etudier la suite(un)puis la série de terme généralun.

Enoncés

Exercice 24[ 02962 ][correction]
Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont
les sommes partielles sont bornée.

Exercice 25
Calculer

[ 02964 ][correction]
∞0n11+−4n4+2+3n4+3+1n+14
X4
n=

Exercice 26[ 03045 ][correction]
Pourn∈N?, soit
fn:x∈] +∞[→n1
nXx−k
k=1
Soita >0. Montrer qu’il existe un unique réel, notéxntel quefn(xn) =a.
Déterminer un équivalent dexnquandn→+∞.

Exercice 27[ 03047 ][correction]
Soit(un)une suite complexe telle que pour toutp∈N?,upn−un→0. Peut-on
affirmer que la suite(un)converge ?

Exercice 28[ 03057 ][correction]
On note(zn)n>1la suite de terme général
zn= 2nexp√nit

Etudier

nl→i+m∞z2nn−−11z2nn−−22∙ ∙ ∙2nzn−−nn=nl→im+∞nY2n−k
k=1zn−k

Exercice 29[ 03086 ][correction]
Etudier

nl→i+m∞nk=+X∞nk12ekn

Exercice 30[ 03097 ][correction]
On dit que la série de terme généralunenveloppe le réelAsi, pour tout entier
natureln, on a :

un6= 0et|A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)|6|un+1|

On dit qu’elle enveloppe strictement le réelAs’il existe une suite(θn)n>1
d’éléments de]01[telle que pour tout entier natureln:

A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un) =θn+1un+1

3

a) Donner un exemple de série divergente qui enveloppeA >0.
Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.
Donner un exemple de série convergente qui n’enveloppe aucun réel.
b) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppe strictementA, alors
elle est alternée.
Démontrer queAest alors compris entre deux sommes partielles consécutives.
c) Démontrer que, si la série de terme généralunest alternée et que, pour tout
entiern∈N?
A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)est du signe deun+1, alors, elle enveloppe strictementA.
d) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppeAet si la suite de
terme général|un|est strictement décroissante, alors, la série est alternée et
encadre strictementA.

Exercice 31[ 03207 ][correction]
SoitEl’ensemble des suites réelles(un)n>0telles que

un+2= (n+ 1)un+1+un

a) Montrer queEest un espace vectoriel de dimension 2.
b) Soientaetbdeux éléments deEdéterminés par
(aa011=0=et(bb01=0=1

Montrer que les deux suites(an)et(bn)divergent vers+∞.

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c) Calculer
wn=an+1bn−anbn+1
d) On posecn=anbnlorsque l’entiernest supérieur ou égal à 1. Démontrer
l’existence de
`= limcn
n→+∞
e) Démontrer l’existence d’un unique réelrtel que

nl→i+m (an+rbn) = 0
∞

Exercice 32[ 03673 ][correction]
Soit(un)n>1une suite décroissante de réels de limite nulle.
Montrer que les sériesPunetPn(un−un+1)ont mme nature et que leurs
sommes sont égales en cas de convergence.

Enoncés

Exercice 33[ 02969 ][correction]
SoitI ; soit pourun intervalle ouvertn∈N,fn:I→Rune fonction convexe. On
suppose que(fn)converge simplement. Montrer que(fn)converge uniformément
sur tout segment inclus dansI.

Exercice 34[ 02970 ][correction]
On noteEl’ensemble des fonctionsf: [01]→R+continues.
On pose
Φ(f)(x) =Z0xpf(t) dt
pour toutef∈E.
On posef0= 1puisfn+1= Φ(fn)pour toutn∈N.
a) Etudier la suite(fn).
b) Soitf= lim(fn).
Trouvez une équation différentielle dontfest solution.
Y a-t-il unicité de la solution nulle en 0 ?

Exercice 35[ 02971 ][correction]
Soit des suites réelles(an)et(xn)avecan>0pour toutn.
On suppose que la série de terme généralan(1 +|xn|)converge.
On pose
∞
f:R→R,x7→Xan|x−xn|
n=0
Etudier la continuité et la dérivabilité def.

Exercice 36[ 02972 ][correction]
Soit, pourn∈N,fnla fonction définie surR+par

fn(x) = (1−xn)nsix∈[0 n]etfn(x) = 0six > n

Etudier le mode de convergence de(fn).

Exercice 37[ 02973 ][correction]
Trouver les fonctionsf∈ C([01]R)telles que

+∞f(xn)
∀x∈[01],f(x) =X2n
n=1

Exercice 38[ 02974 ][correction]
+∞
a) Etudier la convergence de la série de fonctionsP(x−n)−2pourx∈R\Z.
n=−∞
b) Soit un réelc >2. Soitfune fonction continue deRdansRtelle que, pour
toutxréel,
fx2+fx21+=cf(x)
Montrer quef= 0.
c) Montrer que pour toutxréel non entier,

+∞2
X(x−n)−2isn=π2πx
n=−∞

Exercice 39[ 02982 ][correction]
Déterminer

nl→i+m∞Z0ncosxnn2dx

4

Exercice 40[ 03159 ][correction]
SoitFune application continue décroissante deRdansR, tendant vers 1 en−∞
et vers0en+∞. Soient deux réelshetδvérifiant0< h < δ.
a) Déterminer la limite éventuelle de
1
In=ZF√n(δt−h)dt
0

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b) On pose
Sn=kn−=X01F√nδ k n+ 1−h
Déterminer un équivalent deSnlorsquentend vers+∞.

Exercice 41[ 03650 ][correction]
Soitf:R+→Rde classeC1intégrable ainsi que sa dérivée.
a) Déterminer pourx >0
n→imZ+∞
lncost(sint)nf(xt) dt
+∞0

b) Préciser le mode de convergence.

Enoncés

Exercice 42[ 00490 ][correction]
Soitfune forme linéaire non nulle et continue sur un espace vectoriel norméE.
Montrer que six∈kerfalors

)|
d(xkerf) =|fk(xfk

Exercice 43[ 00795 ][correction]
Soitn∈Navecn>2. Existe-t-il une normekksurMn(C)invariante par
conjugaison, c’est-à-dire telle que :

∀(A P)∈ Mn(C)×GLn(C)kAk=P−1AP

Exercice 44[ 03475 ][correction]
Soit(Ak)une suite de matrice deMn(C)convergeant versA∈ Mn(C).
On suppose que lesAksont tous de rangpdonné. Montrer que rgA6p.

Exercice 45[ 02943 ][correction]
Déterminer l’adhérence et l’intérieur de l’ensembleDn(C)des matrices
diagonalisables deMn(C).

Exercice 46[ 02944 ][correction]
SoitAune partie convexe et partout dense d’un espace euclidienE.
Montrer queA=E.

Exercice 47[ 03017 ][correction]
Montrer que{m−lnn(m n)∈Z×N?}est dense dansR.

Exercice 48[ 03020 ][correction]
SoitAune partie non vide deR+?vérifiant
∀(a b)∈A2√ab∈A

Montrer queA∩(R\Q)est dense dans]infAsupA[.

Exercice 49[ 03021 ][correction]
SoitEun espace vectoriel normé,Fun sous-espace fermé deEetGun
sous-espace vectoriel de dimension finie deE. Montrer queF+Gest fermé

Exercice 50[ 03037 ][correction]
Caractériser dansMn(C)les matrices dont la classe de similitude est fermée.
Mme question avecRau lieu deC

Exercice 51[ 02975 ][correction]
Etant donné une suite complexe(an)n∈N?de carré sommable, on pose

∞
an
f(t) =Xn−t
n=1

où la variabletest réelle.
a) Préciser le domaine de définition def.
b) Montrer quefest développable en série entière autour de 0.
c) Montrer que sifest identiquement nulle sur[−1212], la suite(an)n∈N?est
identiquement nulle.

Exercice 52[ 02952 ][correction]
a) Soita∈Cavec Re(a)>0. Donner un équivalent deun=a(a+ 1)  (a+n).
b) Montrer que la fonctionΓne s’annule pas sur{z∈CRez >0}.

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Enoncés

Exercice 53[ 00418 ][correction]
αdésigne un réel de l’intervalle]0 π[etfla fonction2πpériodique définie sur
]−π π]par
f(x) =10insis|oxn|6α

a) Etudier la série de Fourier defainsi que sa convergence.
b) Que vaut la somme de cette série pourx= 0, pourx=α?
c) Calculer
+∞
Xsin2n(2nα)
n=1
d) Justifier et calculer
Z+∞sin2t

0t2dt

Exercice 54[ 03042 ][correction]
Déterminer les polynômesP∈C[X]tels queP(U)⊂UoùU={z∈C|z|= 1}.

Exercice 55[ 03439 ][correction]
On considère la fonctionf:R→C2π-périodique donnée par

f(x) = eixix−1sur]−π0[∪]0 π[,f(0) = 1etf(π) = 0

Développerfen série de Fourier.

Exercice 56[ 02979 ][correction]
On considère l’équation

y0=x+y2

Soityune solution maximale définie sur un intervalleI.
a) Montrer queIest majoré. On poseb= supI.
b) Montrer queyest croissante au voisinage deb. Quelle est la limite deyenb?
c) Trouver un équivalent deyau voisinage deb.

Exercice 57[ 03069 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle
xy0=px2+y2+y

Exercice 58[ 03085 ][correction]
Résoudre, poury∈ C2(RR)l’équation différentielle

y0y00y
y00y y0= 0
y y0y00

6

Exercice 59[ 01323 ][correction]
Soitf∈ C2(RnRn)dont la matrice jacobienne est, en tout point, antisymétrique.
Montrer qu’il existeb∈RnetA∈ Mn(R)antisymétrique tels que :

∀x∈Rn f(x) =Ax+b

Exercice 60[ 02908 ][correction]
Soitk∈]01[etf∈ C1(RR)telle que

On définitϕ:R2→R2par

∀x∈R|f0(x)|6k

ϕ(x y) = (y+f(x) x+f(y))

Montrer queϕest unC1-difféomorphisme deR2dans lui-mme.

Exercice 61[ 02976 ][correction]
On munitRnde sa structure euclidienne canonique. Soitf:Rn→Rnune
application de classeC1telle quef(0) = 0.
On suppose quedf(x)est orthogonale pour toutx∈Rn.
Montrer quefest orthogonale.

Exercice 62[ 03050 ][correction]
Soitϕ∈ C1(RnRn)telle quedϕ(0)soit inversible.
Montrer qu’il existe un voisinageVde 0 tel que la restriction deϕàVsoit
injective.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)Pnréalise une bijection strictement décroissante de[01]vers[−n1].
b)Pn+1(xn) =xnn+1−(n+ 1)xn+ 16Pn(xn) = 0doncxn+16xn. La suite(xn)
est décroissante et minorée, elle converge donc vers un réel`∈[01]. Si` >0alors
0 =Pn(xn)→ −∞, c’est absurde. On conclut`= 0.
c)xnxnnn=1nxnn−1→0doncxnn=o(nxn)puis sachantxnn−nxn+ 1 = 0, on obtient
xn∼1n.
d) Ecrivonsx1+εnnavecεn→0.
n=n
Puisquexnn=nxn−1, on a(1+nεnn)n=εn.
(1 +εn)n= exp(nln(1 +εn)) = exp(nεn+o(nεn)).
Ornεn=n(1+nεnn)n.
Puisqueεn→0, pournassez grand,|1 +εn|62et la relation précédente donne
|nεn1→0.
Onne|n6déndn2u−itnεn→0puis(1 +εn)n→1et enfinεn∼n1n.
Finalement
xn=n1+nn1+1+onn1+1

Exercice 2 :[énoncé]
Par un argument géométrique (trapèze sous la courbe) la concavité donne
x f+)0(2f(x)6Zxf(t) dt
0
On en déduitxf(x)62R0xf(t) dt−xdonc
Z1Zx1=0Zt=x0f(t) dtdx−12(1)
xf(x)dx62
0

Enfin

donne

1
2Zf(t) dt−212>0
0

2Z01f(t) dt22Z10f(t) dt−12(3)
>
Les relations (2) et (3) permettent alors de conclure.

Exercice 3 :[énoncé]
On peut écrire
R10Rt01ntfn(td)tdt=Z01(n+ 1)tnf(t) dt
Par le changement de variableu=tn+1
nf(t) dt
R10t10tn=Z01f(u1(n+1)) du
Rdt

Par convergence dominée parkfk∞, on obtient
R10tnf(t) dt
R01tndt→f(1)

Exercice 4 :[énoncé]
On a
2nIn=Z12tndt
01 +t2
où l’on remarque que la fonctiont7→2t(1 +t2)croît de[01]sur[01].
O Introduisons
r
Zx=01Zt=x0f(t) dtdx=Zt0=1Z1f(t) dxdt=Zt0=1(1−t)f(t) dt=Z10f(t) dt−Z01tf(t) dt Jn=Z1021+t221+tt2ndtt=ta=nx2Z0π2(sinx)ndx
x=t
La relation (1) donne alors On sait
J√π
Z10xf(x) dx62Z01f(t) dt−21()a2(vinJnJn+1=π2etJn∼Jn+1, cf.nin∼té√gr2anles de Wa s)
3lli

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Montrons2nIn∼Jnen étudiant la différence
n=Z011 +t22+1tt2ndt
Jn−2nI1−t2

On a
1
06Z101+1−tt2212+tt2ndt6Z0+12t21+1−tt22+21tt2ndt
et le changement de variablet= tanx2donne
06Z1011−+tt222+1tt2ndt6Z0π2cosx(sinx)ndx=n1+1

On peut alors affirmer

puis

et finalement

2nI−Jn=o√1
n
n

√π
2nIn∼ √2n

√π
In∼2
2n√n

Exercice 5 :[énoncé]
Posons
M= supan
n∈N
On vérifie aisément que la suite(un)est bien définie et que pour toutn>2

1
M+ 26un61

Corrections

Supposons la convergence de la suite(un). Sa limite est strictement positive. En
résolvant l’équation définissantun+1en fonction deun, on obtient

1
an=−un−1
un+1

On en déduit que la suite(an)converge.
Inversement, supposons que la suite(an)converge vers une limite`,`>0.

Considérons la suite(vn)définie par
1
v0= 1etvn+1=v+`+ 1pour toutn∈N
n
On vérifie que la suite(vn)est bien définie et à termes strictement positifs.
L’équation
1
x=+`+ 1
x
possède une racineL >0et on a

|vn+1−L|6|v1n−L|
+L
ce qui permet d’établir que la suite(vn)converge versL. Considérons ensuite la
suite(αn)définie par
αn=un−vn
On a

et donc

αn+ (`−an)
αn+1(=un+an+ 1)(vn+`+ 1)

|αn+1|6k(|αn|+|an−`|)

avec
k=m+11∈[01[
oùm >0est un minorant de la suite convergente(vn).
Par récurrence, on obtient

n−1
|αn|6kn|α0|+Xkn−p|ap−`|
p=0

Soitε >0.
Puisque la suite(an)converge vers`, il existep0tel que
∀p>p0|ap−`|6ε

et alors

Pournassez grand

n−1
Xkn−p|ap−`|6ε+X∞kp=1k−εk
p=p0k=1

p0−1
Xkn−p|ap`|=Ctekn6εetkn|α0|6ε
−
p=0

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et on en déduit
|αn|62ε+1εkk
−
Ainsiαn→0et par conséquent
u→L

n

Corrections

ce qui donne
Z−+∞∞dx6=πImω2−ω10+ω4−ω8
1 +x4+x8
Or
ω2ω10= 2isinπ3 =i√3etω4−ω8= 2i23sinπ=i√3
−
et finalement
OAEnxdeéarfaciucted’6u:ne[édnéonmcaér] . .che plus simple, voici celle que je propose celle-ci.Z−+∞∞1 +xd4x+x8=√π3
1 1−X4
=
1 +X4+X81−X12Exercice 7 :[énoncé]
sLiemsppleôls.esdecettefractionrationnellesontlesélémentsdeU12\U4et ils sont Puisque l’intégraleR+0∞fconverge, il en est de mme de
tf(b+x) dx
1On+pXe41ut+doXn8c=éc2iRreerenXcoα−1mωb1ina+nt2lResepaXrtiα−e2sωp2ola+ir2eoecRsnjuαg4uéωe4s+2ReXα−5ω5Z0+∞f(a+x) dxeZ+∞
0
X−avec
pavoesictiωvkes.= exp(2ikπ12), lesω11−ω2X4ω4etω5de p1artiωe5ks i−mωakginaires strictementZ+0∞f(a+x) dx=Za+∞f(x) dxetZ+0∞f(b+x) dx=Zb+∞f(x) dx
αk1(=−X12)0X=ωk12=en déduit la convergence de l’intégrale suivante et sa valeurOn
b
Soitω=a+ib∈Caveca∈Retb >0. On aZ+0∞(f(a+x) dxZax) dx
−f(b+x)) =f(
Z−AAt−dtω=Z−AA((tt−−aa))2++bbi2dt=n12l(t−a)2+b2+iarctant−abAA−→−−−→iπ
−A+∞D’autre part, on a par découpage et pour toutA>0
lSaoiltimdieteplduesl’αar∈cC.achantobtenuestnéeattntnaegb >0.Z−0A(f(a+x)−f(b+x)) dx=Z−−A+bf(x) dx−Zbaf(x) dx
A+a
Al→im+∞Z−AA2Ret−αωdt!= 2ReAl→i+m∞αZ−AAtdt!=−2πImαOr
−
−ω(b−a)[−Aminf6Z−AA++abf(x) dx6(b−a)[−A+maa−xA+b]f
+a−A+b]
Puisque la convergence de l’intégrale que nous étudions est assurée avec
−−
=[−A+mai−nA+b]fA−→−−+−∞→`et[−A+maa−xA+b]fA→−+−∞→`
Z−+∞∞1 +xd4x+x8Al→i+m∞Z−AA1 +xd4x+x8carfconverge vers`en−∞.

et on en déduit

Z−+∞∞1 +xd4x+x8=−2πIm(α1+α2+α4+α5)

On en déduit la convergence et la valeur de l’intégrale suivante
Z−0∞(f(a+x)−f(b+x)) dx= (b−a)`−Zbaf(x) dx

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et finalement on obtient la convergence et la valeur de l’intégrale suivante
∞
Z+∞(f(a+x)−f(b+x)) dx= (b−a)`
−

Exercice 8 :[énoncé]
On procède au changement de variable

avect∈[0 π2].
On obtient

1 1
sint
x22+=

d
Z01px(1x−x)=π

(avec convergence de l’intégrale) et
Z10px(
1−x) dx=π8

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
La fonctiont7→P(t)Q(t)est définie et continue surR.
Pour|t| →+∞,P(t)Q(t) =O1t2cardeg(P Q)6−2.
Par suite l’intégraleRRQPconverge.
Les pôles de la fractionP Qcomplexes conjugués non réels et les partiessont
polaires correspondantes sont deux à deux conjuguées. On en déduit que
P Q= 2Re(F)oùFest la fraction rationnelle obtenue en sommant les parties
polaires relatives aux pôles de partie imaginaire strictement positive.
Considérons un pôlea=α+iβavecα∈Retβ >0.
Pour les éléments simples de la forme(X−1a)mavecm >1, on a
RR(t−dat)m=h−m1−1 (t−a1)m−1i−+∞∞= 0.
Pour les éléments simples de la formeX1on a
−a
R−AAt−dta=R−AA(tt−−αα)2++iββ2=hln|t−a|+iarctant−βαiA−An
. QuandA→+∞, o
obtientR−tAA−dt→iπ.
a
PuisqueRRQP=Al→i+m∞R−PAAQ((tt))dt, on obtientRRQP= 2Re(σ)πavecσla somme
des coefficients facteurs des éléments simplesX1−aavecade parties imaginaires
strictement positive.

10

Exercice 10 :[énoncé]
Considérons l’application continueϕ:x7→x−1x. Par étude des variations deϕ,
on peut affirmer queϕréalise une bijectionϕ+de]0+∞[versRet une bijection
ϕ−de]−∞0[versR.
Après résolution de l’équationϕ(x) =yd’inconnuex, on obtient
ϕ+−1(y) =21y+py2+ 4etϕ−−1(y) =12y−py2+ 4.
Formellement, par le changement de variabley=ϕ+(x)avecϕ+
C1-difféomorphisme :R+0∞g(x) dx=R−+∞∞f(y)211 +√yy2+4dy.
Puisquefest intégrable et que121 +√yy2+461, la fonction

y7→f(y)211 +√yy2+4est intégrable surR.
Par le changement de variable précédent, on peut alors affirmer quegest
intégrable sur]0+∞[.
L’étude sur]−∞0[est semblable.
Au final, on obtient
R−0∞g(x) dx+R+0∞g(x) dx=
21R−+∞∞f(y)1− √yy2+4dy+21R−+∞∞f(y)1 +√yy2+4dy=R−+∞∞f(y) dy.

Exercice 11 :[énoncé]
a) Par intégration par parties
Z0xf0(t)2dt=f0(x)f(x)−f0(0)f(0)−Z0xf(t)f00(t) dt
Puisquefetf00sont de carrés intégrables, la fonctionf f00est intégrable.
Puisquef02est positive, l’intégrale partielle
Zx(t)2dt
f0
0
converge ou tend vers+∞quandx→+∞.
Dans les deux cas
x
f0(x)f(x) =f0(0)f(0) +Zxf0(t)2dt+Z0f(t)f00(t) dt
0
admet une limite quandx→+∞.
Or
Z0xf0(t)f(t) dt12=f(x)2−f(0)2

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