Travaux dirigés de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Indications pour les TD Intégration et Equations différentielles (début)

Marc Pauly

Description

Textes de travaux dirigés de mathématiques de l'Ecole centrale de Pékin pour préparer les élèves chinois à l'étude des mathématiques en français. Ce module est composé de 11 activités liées aux cours correspondants disponibles sur cette plate-forme : (1) Géométrie du plan (2) Vecteurs du plan et de l'espace (3) Nombres complexes (4) Dérivation vectorielle (5) Fonctions usuelles (6) Intégration (7) Equations différentielles (8) Coniques (9) Indications pour les TD Dérivation vectorielle (fin) et Fonctions usuelles (10) Indications pour les TD Intégration et Equations différentielles (début) (11) Indications pour les TD Equations différentielles (fin) et Coniques

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 40
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

F f f F
0F = f > 0 F(b)− F(a) = 0 x ∈ [a,b] F(a) 6 F(x) 6 F(b)
0F(a) = F(b) F(x) f = F
k k k1 +2 +···+n 1k lim =n→+∞ k+1n k+1
k k kk 1 +2 +···+n 1f : [0,1] → R : x 7→ x = (f(1/n) + f(2/n) +··· + f(n/n)) nk+1n nR 1 kx dx f
0R 1 kx dx = 1/(k +1)0
2lntanx cotx+tanx =
sin2x √
lntan(x/2) 1/sinx ln 3
21/tanx = cotx −csc x = −2/(1− cos2x)
−cot(x/2) 1/(1−cosx)
5(x+1)
[−10,0] [0,20]
R R0 20−2 −2x = 0 x dx = +∞ x dx = +∞ +∞
−10 0
te +1 = 2sinx dt(2sinx−1) = 2cosxdx
1 2y = tan(x/2) dy = (1+y )dx/2
2sinx−1
√ √Rπ/6
t = sinx 2cos(x/2)dx = 2 2sin(π/12)0
√ R 2 x 12x = t 2·3 dx =1 ln3
Rπ dx2 y = tan(x/2)0 2+cosxR √ √+∞ dy
4 y = 3z 2π/ 320 3+y
22 y2y = x dy = xdx th x = 1−1/y 22y −1
5 2 3 2 2 3 2 3s = s (s −1)+s s /(s −1) 3s ds = d(s −1)
2 21cos(ln x)lnx· sin(ln x)x
2 2 2 2 2x +(x+1) = 2x +2x+1 4x +4x+2 = (2x+1) +1 y = 2x+1
3 2 2x = u 3u /(1 + u) u /(1 + u) =
u−1+1/(u+1)
2 2 2u = tant cos2t = (1−u )/(1+u ) v = u
n = 0 n = 1 1/sint
t = π/2−x lntan(t/2)
−n −(n−2) −n −2 2−ncos t cos t cos t = cos tcos dt
tant
2 2sin 1−cos
2t arctan t
2 2 2t /(t +1) = 1−1/(1+t ) arctant
1 arctant
trouvOn.er?crireencoreertyuneEssav4..conclure.unedeOntmath?matiquesermeMaisp.Celav.ulle.donct,.oseronpobteneutnpreoneend5.OnSi.oonecprendprimitivPuisp.etfonctionvienlaprimitiv,Pl'in(ellet?graleesdevienfacteur.t9det?gret?gralet?graleinsemestreune.?l'oneue.arrivcarOncette.onecoservlaatout.on6.aAonv?ecd'ables?propri?t?scdu?cosinconstanus,ononpvmoitr?currencequeaussil'inestt?graleer,vconautune,nfaireleeutd?rivpnouvon?ord2.bparad?riv.noEnsuiteleson1pPeutinfairelaD't?gration3.et.tautconvunedemand?eersehose,l'innicelorsquequirmine.donneeutral,gutilisert?nl'intierDoncp..eteutquetintec.4.EnapassanTDtExerciceparOnfacilemenrdcalculepOnExercice.estdecas,onseobtiennalementvprobl?medoncleonaaytoutilMais.Ensuite7.nOnuletenttedeeet,OnEntecsaithla.p,ue).acarveecsesuruneuneparshinetfacteursuretpartieleetluneindeux,onenpart?gralenl'inverincouponfautetIl9,10,11,12,13.DansCelaelledonne?critunepinran?aist?gralecyclede2.et0.alorsedetrouvourOnpsimple.unetr?sparties,t?greced?quionestFinalemensimple.tin8..Onfonction?estcrit,tvdevientet?gralecl'in,deerscalcultendleetalorsteet12.,p?p?galeetstAlors.etEnnfonctionlregarde'inOt?gralenaturel,deeneourt?grerqueinprouv?EnsuitefonctionpLac1.n10uers'obtienvteutfacilemenOntetcarconclut?vnArcsin.TDnoulue.11.v2fonction1.lacalculedeoedesprimitivesuneour.n9.etIlnsut(dansd'?crireelonaeutfonctionramener?ttrouvetaaonecetest,,estadeet?esvid?riquelaour,alorsetconont.reconna?tonpresqueolatred?rivform?ededeliantlescons?quenesar.Pa.et.car10.croissanestquede.?eourd?rivtrouvLaon6.eut?OnntinExerciceest.existeautdevprimitivh?edonnercetefaithict?gration.partiMais(ont?gralet?gre'inpremierlenque3.apprendonnouseCecideuxi?me.Dansestadeelle?et?graleivue,d?rremplacelanDoncExerciceest?.).OnApecosepremi?rerat?grationalorsparties,dein?eTDivond?reLa?5..,laceuvquiinponermettraTDdeourconclureIndications?desl'aideFd'unepr?paratoirearctangendute.Deuxi?me11.?kinCommen?ons,paril?sten?Exercicet?grer.trale.POncedoitonensuiteeutcfairehercinherparuneo?inint?graleCendeonquerivcalcule?cole..√ √
21−t 2u = 1−t /t4t
f f(π/2−t) =−f(t)
2 2t/(1 + t ) lnt
1 1 2= 1/t−t/(t +1)2 2(1+t )t (1+t )t
P k−1n c (−1)1 k= c =k(t+1)···(t+n) k=1 t+k (k−1)!(n−k)!
t = +∞P Qn n ckc = 0 (t +k) 1 t +∞kk=1 k=1
t = +∞
q R +∞t 4du4I u =0 41−t 0 1+u
4 au+b cu+d
√ √= +
4 2 21+u u + 2u+1 u − 2u+1
√
a,b,c,d π/ 8
R 31 n− −1/4
4I I I = t (1−t) dtn n−1 n 0
I = (4n/3−1)I .n n−1
f(t) =−t
−f(t) t−e (f(t)+1) = e (t−1)+C
C = 0 f(t) =−t t C
f(t)
B = 0
< 0
2α±iβ x +Ax+B = 0 α = 0 A = 0 B > 0
B = 0 A = 0 B > 0
0 0 1 2g = f g (t) =− g(t)+ .2t+1 (t+1)
2ln(t+1)+C
g(t) = C f
t+1
2g f(t) = ln (t+1)+C ln(t+1)+D C,D
R Rx x
g(x) = x g(t)dt+ (1−t)g(t)dt x0 0
Z Zx x
0g (x) = g(t)dt+xg(x)+(1−x)g(x) = g(t)dt+g(x)
0 0
00 0 rx sxg (x) = g(x) + g (x) g(x) = Ce + De r,s
2x = x + 1 C,D
0 0x = 0 g(0) = 0 g (0) = g(0) g (0) = g(0) = 0
C = D = 0 g
pr?paratoirecycledu.MaisprimitivsemestreuneDeuxi?mesaconstan?kinvPprimitivdequetraleonTDencorencalcul?iv12bin?meExercicedoit4.r?ellesCetcelaepxerciceedevienectletr?st?gralefaterc0ileparsit?graleonparvooitquequePCenfacinet2t?grale3.n'yChe.rcpremied'o?r?soudre.estelleunePsolution.Enn,Si,ont?graler?soutLal'?quationec?.laonph.ystreicienne,eoneauraaluationfacteur,estdeuxi?meEncoreleintlat?granonineenilparties?vparfonctiont?gration,l'indfaitIlondesetaussihonsPd'ab.ordprobl?me.uneUnprimitivmone?criredeordre..onsOnnIluneestvalorscelclairaqueconstansiestpdeeutpluslacalculer.,uleronOnpdanseutaprendre,trouvExerciceercaeutvquiecourleExercicecdonne,uequionestetted?nieortptrouvourlatout.hangvr?el.nSiulle.?crireinest:nonNewton,nuleul,t?greild?rivyeaonaussi.deobservstesolutions,enmaisDoncilhercn'estdeplusd'?crirepvossibletenand'?crireuxeutmainpuneondeetessousvunel'?quationformevsimple.urTD?critnm?me?plus13EtExerciceprouv3.6.IlcalculyalorsacommenceruneDoncmenrestNousremenvlalanOulletrouv(et?doncnouvpprimiti?rio?criradique)asiouret.seulevmenette.sibtunedeeeteaucoup.d'o?L'autrefacip?ossibilit?4.pl'inourcalcadoitv!oirfonctionunel'insolutionvpv?rio?riediquetestts.que5lehangemendiscrimleinantentpdecel'?quationdecaract?ristilequePsoit3v.ariablealors,moneqtenqueSilesd?rivsolutionsctre?galit?enrapprelation?deonlaeourprimitPde.L'?v.l'inApr?serscela,tendonlorsqueaienersttendt5.obtienuneont?gration.partiesCelaonsigniedoncndeladuAformetpar.etfaitnuneSi.d?rivConclusion.encoreLafois,conditiontrouvcehercEnsuih?eerestfautin,t?ongcalculeroualuer(.tesourconstanh?e.onnescetlabelesuneecle).aExerciceec4.tOnlespeosesolutionsvdeaestrati.oin.t?graleL'?quation.pconstaneutcomplexes.alorsons'?crireoitndansparinpartiesasurecl'inot?gralequedemand?e.onNousetinDet?gronsilleapremierdefacteur,.etdoncnoused?rivcalculons.l'arcsinOnus.UnCelasimpleconduittreC'estqueuneeut?quationparlin?aire.dusolutionconstann?cessaitetnonfonction?coleulle.