Travaux dirigés de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Indications pour les TD Intégration et Equations différentielles (début)

F f f F
0F = f > 0 F(b)− F(a) = 0 x ∈ [a,b] F(a) 6 F(x) 6 F(b)
0F(a) = F(b) F(x) f = F
k k k1 +2 +···+n 1k lim =n→+∞ k+1n k+1
k k kk 1 +2 +···+n 1f : [0,1] → R : x 7→ x = (f(1/n) + f(2/n) +··· + f(n/n)) nk+1n nR 1 kx dx f
0R 1 kx dx = 1/(k +1)0
2lntanx cotx+tanx =
sin2x √
lntan(x/2) 1/sinx ln 3
21/tanx = cotx −csc x = −2/(1− cos2x)
−cot(x/2) 1/(1−cosx)
5(x+1)
[−10,0] [0,20]
R R0 20−2 −2x = 0 x dx = +∞ x dx = +∞ +∞
−10 0
te +1 = 2sinx dt(2sinx−1) = 2cosxdx
1 2y = tan(x/2) dy = (1+y )dx/2
2sinx−1
√ √Rπ/6
t = sinx 2cos(x/2)dx = 2 2sin(π/12)0
√ R 2 x 12x = t 2·3 dx =1 ln3
Rπ dx2 y = tan(x/2)0 2+cosxR √ √+∞ dy
4 y = 3z 2π/ 320 3+y
22 y2y = x dy = xdx th x = 1−1/y 22y −1
5 2 3 2 2 3 2 3s = s (s −1)+s s /(s −1) 3s ds = d(s −1)
2 21cos(ln x)lnx· sin(ln x)x
2 2 2 2 2x +(x+1) = 2x +2x+1 4x +4x+2 = (2x+1) +1 y = 2x+1
3 2 2x = u 3u /(1 + u) u /(1 + u) =
u−1+1/(u+1)
2 2 2u = tant cos2t = (1−u )/(1+u ) v = u
n = 0 n = 1 1/sint
t = π/2−x lntan(t/2)
−n −(n−2) −n −2 2−ncos t cos t cos t = cos tcos dt
tant
2 2sin 1−cos
2t arctan t
2 2 2t /(t +1) = 1−1/(1+t ) arctant
1 arctant
trouvOn.er?crireencoreertyuneEssav4..conclure.unedeOntmath?matiquesermeMaisp.Celav.ulle.donct,.oseronpobteneutnpreoneend5.OnSi.oonecprendprimitivPuisp.etfonctionvienlaprimitiv,Pl'in(ellet?graleesdevienfacteur.t9det?gret?gralet?graleinsemestreune.?l'oneue.arrivcarOncette.onecoservlaatout.on6.aAonv?ecd'ables?propri?t?scdu?cosinconstanus,ononpvmoitr?currencequeaussil'inestt?graleer,vconautune,nfaireleeutd?rivpnouvon?ord2.bparad?riv.noEnsuiteleson1pPeutinfairelaD't?gration3.et.tautconvunedemand?eersehose,l'innicelorsquequirmine.donneeutral,gutilisert?nl'intierDoncp..eteutquetintec.4.EnapassanTDtExerciceparOnfacilemenrdcalculepOnExercice.estdecas,onseobtiennalementvprobl?medoncleonaaytoutilMais.Ensuite7.nOnuletenttedeeet,OnEntecsaithla.p,ue).acarveecsesuruneuneparshinetfacteursuretpartieleetluneindeux,onenpart?gralenl'inverincouponfautetIl9,10,11,12,13.DansCelaelledonne?critunepinran?aist?gralecyclede2.et0.alorsedetrouvourOnpsimple.unetr?sparties,t?greced?quionestFinalemensimple.tin8..Onfonction?estcrit,tvdevientet?gralecl'in,deerscalcultendleetalorsteet12.,p?p?galeetstAlors.etEnnfonctionlregarde'inOt?gralenaturel,deeneourt?grerqueinprouv?EnsuitefonctionpLac1.n10uers'obtienvteutfacilemenOntetcarconclut?vnArcsin.TDnoulue.11.v2fonction1.lacalculedeoedesprimitivesuneour.n9.etIlnsut(dansd'?crireelonaeutfonctionramener?ttrouvetaaonecetest,,estadeet?esvid?riquelaour,alorsetconont.reconna?tonpresqueolatred?rivform?ededeliantlescons?quenesar.Pa.et.car10.croissanestquede.?eourd?rivtrouvLaon6.eut?OnntinExerciceest.existeautdevprimitivh?edonnercetefaithict?gration.partiMais(ont?gralet?gre'inpremierlenque3.apprendonnouseCecideuxi?me.Dansestadeelle?et?graleivue,d?rremplacelanDoncExerciceest?.).OnApecosepremi?rerat?grationalorsparties,dein?eTDivond?reLa?5..,laceuvquiinponermettraTDdeourconclureIndications?desl'aideFd'unepr?paratoirearctangendute.Deuxi?me11.?kinCommen?ons,paril?sten?Exercicet?grer.trale.POncedoitonensuiteeutcfairehercinherparuneo?inint?graleCendeonquerivcalcule?cole..√ √
21−t 2u = 1−t /t4t
f f(π/2−t) =−f(t)
2 2t/(1 + t ) lnt
1 1 2= 1/t−t/(t +1)2 2(1+t )t (1+t )t
P k−1n c (−1)1 k= c =k(t+1)···(t+n) k=1 t+k (k−1)!(n−k)!
t = +∞P Qn n ckc = 0 (t +k) 1 t +∞kk=1 k=1
t = +∞
q R +∞t 4du4I u =0 41−t 0 1+u
4 au+b cu+d
√ √= +
4 2 21+u u + 2u+1 u − 2u+1
√
a,b,c,d π/ 8
R 31 n− −1/4
4I I I = t (1−t) dtn n−1 n 0
I = (4n/3−1)I .n n−1
f(t) =−t
−f(t) t−e (f(t)+1) = e (t−1)+C
C = 0 f(t) =−t t C
f(t)
B = 0
< 0
2α±iβ x +Ax+B = 0 α = 0 A = 0 B > 0
B = 0 A = 0 B > 0
0 0 1 2g = f g (t) =− g(t)+ .2t+1 (t+1)
2ln(t+1)+C
g(t) = C f
t+1
2g f(t) = ln (t+1)+C ln(t+1)+D C,D
R Rx x
g(x) = x g(t)dt+ (1−t)g(t)dt x0 0
Z Zx x
0g (x) = g(t)dt+xg(x)+(1−x)g(x) = g(t)dt+g(x)
0 0
00 0 rx sxg (x) = g(x) + g (x) g(x) = Ce + De r,s
2x = x + 1 C,D
0 0x = 0 g(0) = 0 g (0) = g(0) g (0) = g(0) = 0
C = D = 0 g
pr?paratoirecycledu.MaisprimitivsemestreuneDeuxi?mesaconstan?kinvPprimitivdequetraleonTDencorencalcul?iv12bin?meExercicedoit4.r?ellesCetcelaepxerciceedevienectletr?st?gralefaterc0ileparsit?graleonparvooitquequePCenfacinet2t?grale3.n'yChe.rcpremied'o?r?soudre.estelleunePsolution.Enn,Si,ont?graler?soutLal'?quationec?.laonph.ystreicienne,eoneauraaluationfacteur,estdeuxi?meEncoreleintlat?granonineenilparties?vparfonctiont?gration,l'indfaitIlondesetaussihonsPd'ab.ordprobl?me.uneUnprimitivmone?criredeordre..onsOnnIluneestvalorscelclairaqueconstansiestpdeeutpluslacalculer.,uleronOnpdanseutaprendre,trouvExerciceercaeutvquiecourleExercicecdonne,uequionestetted?nieortptrouvourlatout.hangvr?el.nSiulle.?crireinest:nonNewton,nuleul,t?greild?rivyeaonaussi.deobservstesolutions,enmaisDoncilhercn'estdeplusd'?crirepvossibletenand'?crireuxeutmainpuneondeetessousvunel'?quationformevsimple.urTD?critnm?me?plus13EtExerciceprouv3.6.IlcalculyalorsacommenceruneDoncmenrestNousremenvlalanOulletrouv(et?doncnouvpprimiti?rio?criradique)asiouret.seulevmenette.sibtunedeeeteaucoup.d'o?L'autrefacip?ossibilit?4.pl'inourcalcadoitv!oirfonctionunel'insolutionvpv?rio?riediquetestts.que5lehangemendiscrimleinantentpdecel'?quationdecaract?ristilequePsoit3v.ariablealors,moneqtenqueSilesd?rivsolutionsctre?galit?enrapprelation?deonlaeourprimitPde.L'?v.l'inApr?serscela,tendonlorsqueaienersttendt5.obtienuneont?gration.partiesCelaonsigniedoncndeladuAformetpar.etfaitnuneSi.d?rivConclusion.encoreLafois,conditiontrouvcehercEnsuih?eerestfautin,t?ongcalculeroualuer(.tesourconstanh?e.onnescetlabelesuneecle).aExerciceec4.tOnlespeosesolutionsvdeaestrati.oin.t?graleL'?quation.pconstaneutcomplexes.alorsons'?crireoitndansparinpartiesasurecl'inot?gralequedemand?e.onNousetinDet?gronsilleapremierdefacteur,.etdoncnoused?rivcalculons.l'arcsinOnus.UnCelasimpleconduittreC'estqueuneeut?quationparlin?aire.dusolutionconstann?cessaitetnonfonction?coleulle.