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Un modele non lineaire de proliferation cellulaire extinction des cellules et

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Un modele non-lineaire de proliferation cellulaire : extinction des cellules et invariance Mostafa Adimy et Fabien Crauste Laboratoire de Mathematiques Appliquees de l'Universite de Pau et des Pays de l'Adour Resume Dans ce travail, nous etudions un systeme non-lineaire structure en age et maturite decrivant la production des cellules sanguines dans la moelle osseuse. Apres integration du modele, nous obtenons une equation aux derivees partielles du premier ordre faisant apparaıtre un retard distribue en temps et une dependence non-locale dans la variable maturite. Nous prouvons que l'unicite des solutions ne depend que des cellules de petites maturites (cellules souches) et nous donnons un resultat d'invariance. 1 Introduction Nous nous interessons dans ce travail a un modele mathematique non-lineaire decrivant une population cellulaire : la production des cellules sanguines dans la moelle osseuse, a partir des cellules souches. Ce modele est decrit par un systeme de deux equations aux derivees partielles structurees en age et maturite. Les modeles de populations biologiques structures en age et maturite sont apparus vers la fin des annees 60. Les premiers a les avoir etudies sont Keyfitz [4] (1968), Pollard [8] (1973), Henry [3] (1976) et Mackey [5] (1978). Le modele de Mackey, dans lequel la population cellulaire est supposee uniquement pro- liferer, a ete etudie plus amplement a partir de 1990, notamment numeriquement par Mackey et Rey dans [10] (1992) et [11] (1993).

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Unmod`elenon-lin´eairede prolif´erationcellulaire: extinction des cellules et invariance
Mostafa Adimy et Fabien Crauste
LaboratoiredeMathe´matiquesAppliqu´eesdelUniversite´dePau et des Pays de l’Adour
R´esume´ Danscetravail,nous´etudionsunsyste`menon-line´airestructur´eenˆage etmaturite´d´itlaproductiondescellulessanguinesdanslamoe¨lle ecr van osseuse.Apre`sint´egrationdumod`ele,nousobtenonsune´equationaux de´riv´eespartiellesdupremierordrefaisantapparaˆıtreunretarddistribue´ entempsetuned´ependencenon-localedanslavariablematurit´e.Nous prouvonsquelunicite´dessolutionsned´ependquedescellulesdepetites maturite´s(cellulessouches)etnousdonnonsunre´sultatdinvariance.
1 Introduction Nousnousinte´ressonsdanscetravaila`unmod`elemathe´matiquenon-lin´eaire d´ecrivantunepopulationcellulaire:laproductiondescellulessanguinesdansla mo¨elleosseuse,apartirdescellulessouches.Cemod`eleestd´ecritparunsyst`eme ` dedeuxe´quationsauxde´rive´espartiellesstructure´esenaˆgeetmaturit´e. Lesmod`elesdepopulationsbiologiquesstructur´esenˆageetmaturit´esont slandes´60.Lespremiers`alesavoire´tudie´ssontKeytz apparus ver annees [4](1968),Pollard[8](1973),Henry[3](1976)etMackey[5](1978).Lemode`le deMackey,danslequellapopulationcellulaireestsuppos´eeuniquementpro-liferer,ae´te´´etudi´eplusamplementa`partirde1990,notammentnum´eriquement ´ par Mackey et Rey dans [10] (1992) et [11] (1993). En 1994, Mackey et Rud-nicki[7]ontcomple´tecemod`eleentenantcomptedunephasedereposen ´ plusdelaphasedeprolif´eration.Ilsobtiennentles´equationssurlesquelles nousallonstravailleretquisontpre´sent´eesen2.1et2.2.Danslaphasede prolife´ration,dontladur´eeestlimit´ee,lescellulessynth´etisentdelADNpuis sedivisent,donnantnaissancea`deuxcelluleslles.Chacunedescelluleslles entreensuiteimme´diatementdanslaphasederepos.Ellepeutydemeurer toutesavieetymourirdevieillesseoubienˆetreintroduitedanslaphasede prolif´eration`auncertainmoment.Nouse´tudironsicilecasnon-line´aireou`le tauxder´eintroductiond´ependdelapopulationtotaledecellulesaurepos.
Presentationdumod`ele ´
MackeyetRudnickimontrentquelesyst`emede´quationsauxde´rive´espar-tiellesquilsontobtenudevient,apre`sint´egration,unsyste`mede´quationsaux de´riv´eespartiellesa`retard.Dyson,LasotaetWebben1996[2]etAdimyet Pujo-Menjoueten2001[1]ontmontre´quelapopulationdecellulesdepetites maturite´sinuencelecomportementdelapopulationtotale,danslecaso`ules cellulessontsuppose´essedivisertoujoursauboutdumeˆmetemps. Nousnousproposonsde´tudierlemod`elepropos´eparMackeyetRudnicki en 1994 [7] en tenant compte d’une remarque faite par Mackey et Rey dans [11] concernantladivisioncellulaire:noussupposeronsquelaˆgedelacytoi`e(le c nes pointdedivisioncellulaire)estdistribue´selonunedensite´desupport[ τ , τ ], avec 0 < τ < τ < + .Dans[11],MackeyetReynonte´tudie´quenume´riquementce mod`eleetsanstenircomptedelaphasederepos.DanslestravauxdeMackey et Rudnicki [7], Dyson, Villella-Bressan et Webb [2] et Adimy et Pujo-Menjouet [1],lescellulesprolife´rantessedivisaienttoujoursauboutdumeˆmetempsxe. Enfin, rappelons que la production de cellules sanguines peut avoir deux comportementsdie´rents.Lepremiercorresponda`uneproductionnormalede cellulesetalieulorsquelapopulationdecellulessouches(cest-a`-direlescellules depetitesmaturit´es)eststrictementpositive.Ledeuxie`meme`ne`auneproduc-tionanormaledecellulesetestlere´sultatdeladestructionoudelabsencede cellulessouchesdanslemilieuoriginel:cecascorrespond`alane´mieaplasique, une maladie s’attaquant aux cellules souches. Ensupposantquelaphasedeprolif´erationestsusamentlongue,nousallons montrerquelunicite´dessolutionsde´penduniquementdescellulessoucheset nousende´duironsunre´sultatdinvariancesoulignantlinuencedescellulesde petitesmaturit´essurlecomportementdelapopulationtotale. Notre travail est i ´e de la facon suivante : dans la section 2, nous organ s ¸ pr´esentonslemod`elebiologiquesurlequelestbas´enotretravail;danslasection 3,nousobtenons,parint´egration,lesyste`mede´quationsauxd´erive´espartielles d´ecrivantle´volutiondelapopulation;danslasection4,nousdonnonsune formulationinte´gre´eduprobl`eme;danslasection5,nouse´tablissonsunre´sultat dunicit´edessolutionsned´ependantquedescellulesdepetitesmaturit´esetdans lasection6nousdonnonsunr´esultatdinvariance. 2Presentationdumod`ele ´ Laviedunecelluled´ebuteavecladivisionduneautrecellule,ditecellule m`ere,etsetermine,ge´n´eralement,lorsdesapropredivision;lacelluledonne alorsnaissance`adeuxnouvellescellulesappele´escelluleslles.Durantsavie, chaquecellulesuitlemˆemecheminqueceluiprisparsame`re:ilsagitducycle cellulaire. Le cycle cellulaire tel que nous l’entendons ici comprend deux phases : unephasedeprolif´erationetunephasederepos. Laphasedeprolif´erationestlaphaseactivedud´eveloppementcellulaire: elleestde´di´eea`lasynth`esedelADNeta`ladivisioncellulaire.Ellesach`eve lorsdelacytocyn`ese:ladivisiondelacelluleproprementdite.Unecellulene peutresterind´enimentdanslaphasedeprolife´ration:siellenesedivisepas, elle meurt avec un taux γ . Justeapr`esleurnaissance,lescellulesllesentrentimm´ediatementdansla phase de repos, ou phase G 0 (de l’anglais Gap ), qui est un stade quiescent du de´veloppementcellulaire:lescellulesaurepossontinactives.Contrairemt` en a ce
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