Universite de Nice L3MASS annee Departement de Mathematiques NOM Date PRENOM Groupe

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Universite de Nice L3MASS, annee 2011-2012 Departement de Mathematiques NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Feuille-question du TP 3 Les algorithmes d'Euler et de Runge-Kutta du 2eme ordre 1 Programmation de l'algorithme d'Euler On appelle algorithme de resolution d'une equation differentielle ordinaire y? = f(t, y) une fonction (t, y) 7? ?(t, y ;h) qui doit etre une bonne approximation y˜(t + h) de la solution exacte y de l'equation qui verifie y(t + h) = y. Le nombre h s'appelle le pas d'integration. L'idee est de partir d'une condition initiale (t0, y0) et de considerer la suite des ti = ti?1 + h = t0 + i ? h et des yi = ?(ti?1, yi?i, h), en esperant que yi soit une bonne approximation de la valeur de la solution y(ti) telle que y(t0) = y0. On est satisfait si, tout chaque T fixe, et pour h := T/N la limite, lorsque N devient grand (et donc le pas h devient petit), la difference ∆ = y(T ) ? yN entre valeur exacte et approximation tends vers zero, et d'autant plus si cette convergence est “rapide”, c'est a dire qu'il n'est pas necessaire de choisir N trop grand pour atteindre une precision souhaitee.

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Sujets

• Méthodes de Runge-Kutta
• Méthode d'Euler

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• Langue: Français

Extrait

Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

L3MASS,anne´e2011-2012 . .

Feuille-question du TP 3 Lesalgorithmesd’EuleretdeRunge-Kuttadu2`emeordre

1 Programmationde l’algorithme d’Euler 0 Onappellealgorithmedere´solutiond’unee´quationdiff´erentielleordinairey=f(t, y) une fonction (t, y)7→Φ(t, y;hxiroppeaontimaodtieˆrtueenobnn)quiy˜(t+h) de la solution exacteyntaoi´equdel’ quiv´erifiey(t+h) =y. Le nombrehs’appelle lesdpataoi.ni’tne´rgdepartirid´eeest’Lenu’dcondition initiale(t 0 , y 0 td)eesitedalusrereis´dcenot i =t i−1 +h=t 0 +i∗het desy i = Φ(t i−1 , y i−i , h), en esp´erantquey i soit une bonne approximation de la valeur de la solutiony(t i ) telle quey(t 0 ) =y 0 . On est satisfait si, tout chaqueTxfirtpou´e,eh:=T /Nla limite, lorsqueNdevient grand (et donc le pas hdveeitnΔecn=adiff´erepetit),ly(T)−y N rtnectxataeealevreeue´zsrevste,ormaxiroppndteonti d’autantplussicetteconvergenceest“rapide”,c’est`adirequ’iln’estpasn´ecessairedechoisirNtrop grandpouratteindreunepre´cisionsouhait´ee.L’algorithme“deladroitetantente”dˆua`Euler(1707-1783) consiste`aposer Φ(t, y, h) =y+hf(t, y).(1) 0 Nousallonsl’exp´erimentertoutd’abordsurl’e´quationdiffe´rentielley=−ydont voici le codescilab : clear ; xset("window",0) ; function ff=f(y); ff=-y; endfunction; function ff=ff(t,y); ff=f(y); endfunction; Les fonctionsf,ff, etfffsnoisvettronsdersioqe´ertonidnoitautienerff´inquleelequ´eedndpe deyet pas det, mais la commandeodeexige une fonction de deux variables (t, yua;q)a`tnfff, elle t retourne le vecteur colonne(1,−y) =(1,-y)’lorsquev=(t,y) ;elpeleetrmredemprpe´estnreelc“ah de directions” function ff=fff(t,v); ff=[1,-v(2)]’; endfunction; xr=0 :0.2 :2;yr=0 :0.4 :4;fchamp(fff,0,xr,yr) ; Saisissezleslignesci-dessuspouravoirunerepr´esentationg´eome´triquedenotree´quationdiffe´rentielle 0 y=−yup,euedalosulitnoerenu’drtnese´rp´engioatiqtr´eomlsgisiel-iedencsspoussouposerdisissuede (0,-a`-eridlleteuqe4)(c’esty(0) = 4). Tmax=2 ;y0=4 ; N=100 ;petitpas=Tmax/N ; M=10 ;grandpas=Tmax/M ; t=0 :petitpas :Tmax; y=ode(y0,0,t,ff) ; plot(t,y) ;

Voici comment coder l’algorithme d’Euler sous forme d’une fonction : //Euler(t0,y0,pas) est une approximation de y(t0+pas) pour y(t0)=y0. function y=Euler(t0,y0,pas); y=y0+pas*ff(t0,y0) ; endfunction ; Saisissez-ladansscilab.L’instructionsuivantepermetalorsderepre´senterlepremierpasdel’algo- rithme, pourh= 0.urpermetzgrandpoemtnsaesoltniaer;eatcuxe´eerltsuilaulresdertsiveet-z2ovisiohc laetdonnerunschemadutrac´equevousobtenez. plot([0,grandpas],[y0, Euler(0,y0,grandpas)],’r-o’);

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