Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Gwénaëlle Castellan

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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2008–2009 Fiche no 2 Espace de probabilité Ex 1. Un peu de mécanique statistique On considère un système de r particules pouvant être dans un des n niveaux d'énergie e1, . . . , en. On définit l'espace des états du système comme l'ensemble des configurations distinguables. On fait l'hypothèse que chaque configuration distinguable est équipro- bable. On considère les trois cas suivants : (i) Statistique de Maxwell-Boltzmann. Les r particules sont localisées et donc distin- guables. (ii) Statistique de Bose-Einstein. Les r particules sont indistinguables. (iii) Statistique de Fermi-Dirac. Les r particules sont indistinguables et il y a au plus une particule par niveau d'énergie (on suppose que n ≥ r). 1) Construire l'espace de probabilité correspondant à chacun des modèles (i), (ii), (iii). 2) On note pr,n(k) la probabilité qu'un niveau d'énergie donné contienne exacte- ment k particules. Calculer pr,n(k) dans chacun des trois cas (i), (ii) et (iii). 3) Pour chacun des trois modèles (i), (ii) et (iii), donner la limite pk de pr,n(k) lorsque n et r tendent vers l'infini et que le nombre moyen r/n de particules par niveau d'énergie tend

• composition précise de l'urne


• espace de probabilité


• ie tirage fournissant le ie


• mécanique statistique


• probabilité


• boule marquée


• statistique de maxwell-boltzmann


• urne contenant des boules marquées

Sujets

• Espace probabilisé
• Physique statistique
• Probabilité
• Statistique de Maxwell-Boltzmann

Informations

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• Langue: Français

Extrait

UniversitÉ U.F.R. de

IPE Math 306

Espace de probabilitÉ

des Sciences et MathÉmatiques

Technologies de Lille Pures et AppliquÉes

o Fiche n2

AnnÉe 2008–2009

Ex 1. Unpeu de mÉcanique statistique On considre un systme derparticules pouvant tre dans un desnniveaux d’nergie e 1 , . . . , e n . On dfinit l’espace des tats du systme comme l’ensemble des configurations distinguables. On fait l’hypothse que chaque configuration distinguable est quipro- bable. On considre les trois cas suivants : (i)Statistique de Maxwell-Boltzmann.Lesrparticules sont localises et donc distin- guables. (ii)Statistique de Bose-Einstein.Lesrparticules sont indistinguables. (iii)Statistique de Fermi-Dirac.Lesrparticules sont indistinguables et il y a au plus une particule par niveau d’nergie (on suppose quen≥r). 1) Construirel’espace de probabilit correspondant À chacun des modles (i), (ii), (iii). 2) Onnotep r,n (k)la probabilit qu’un niveau d’nergie donn contienne exacte- mentkparticules. Calculerp r,n (k)dans chacun des trois cas (i), (ii) et (iii). 3) Pourchacun des trois modles (i), (ii) et (iii), donner la limitep k dep r,n (k) lorsquenetrtendent vers l’infini et que le nombre moyenr/nde particules par niveau d’nergie tend vers une quantit fixeλ >0(pour le cas (iii), on supposera queλ≤1). +∞ P Vrifier que l’on a toujoursp k = 1. k=0 Ex 2. Nombrede surjections Soitpetndeux entiers strictement positifs. On rpartit au hasardpjetons numrots de 1 Àpsur un tableau constitu dencases numrots de 1 Àn. Chaque jeton est plac sur une case et chaque case peut recevoir plusieurs jetons. 1) Dfinirun espace de probabilit(Ω,P(Ω), P)associ À cette exprience ala- toire. 2) Soiti∈ {1, . . . , n}. Dterminer la probabilit que lai-me case reste vide. 3) Dterminerla probabilit qu’au moins une case du tableau reste vide. 4) Ondsigne parS p,n l’ensemble des surjections de l’ensembleN p ={1, . . . , p} dans l’ensembleN n ={1, . . . , n}. A quelle condition surnetp,S p,n ? Sous cette condition, dduire de laest-il non vide question prcdente une expression du cardinal deS p,n en fonction denetp. 2 Ex 3. UneprobabilitÉ surN Soientaetbdeux rels strictement compris entre 0 et 1 etgla fonction À valeurs 2 2i j positives dfinies surNpar :∀(i, j)∈N, g(i, j) =ab(1−a) (1−b).