Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees

Description

• fiche - matière potentielle : no

Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees IS-Math314 Annee 2005-2006 Quelques corriges et indications pour la fiche no 3 Exercice 2. Central telephonique Un central telephonique dessert 5 000 abonnes. A un instant donne, chaque abonne a une probabilite egale a 2 % d'utiliser son telephone et les appels des abonnes sont suppo- ses independants. Quel nombre minimal d'appels doit pouvoir traiter simultanement le central pour que sa probabilite d'etre sature a un instant donne soit inferieure a 2,5 % ? Correction. On fixe un instant donne et on note X le nombre d'appels qui auront lieu a cet instant. Si on appelle m le nombre minimal d'appels que le central peut traiter simultanement, le central est sature des que X > m, et le but de l'exercice est de determiner m de telle sorte qu'on ait P (X > m) < 0, 025. Il y a n = 5000 abonnes independants et chacun a une probabilite p = 0, 02 d'utiliser son telephone a l'instant fixe, donc le nombre X d'appels a cet instant suit la loi binomiale Bin(n, p). On remarque que le nombre moyen d'appels est np = 100, ce qui est trop grand pour approcher correctement cette loi binomiale par une loi de Poisson.

• proportion inconnue d'electeurs votant pour a1


• realisation de la variable sn


• variable aleatoire


• technique experimentale


• loi binomiale


• personnes repre- sentatif de la population franc¸aise


• masse volumique du kerosene


• surcharge au decollage

Sujets

• Variable aléatoire
• Loi binomiale

Informations

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• Langue: Français

Extrait

IS-Math314

Universit´e U.F.R. de

des Sciences et Mathe´matiques

Technologies de Lille PuresetApplique´es

Anne´e2005-2006

o Quelquescorrige´setindicationspourlafichen3 Exercice 2.e´tlpe´leCartnnihoequ ` Uncentralt´ele´phoniquedessert5000abonn´es.Auninstantdonne´,chaqueabonne´a uneprobabilite´e´gale`a2%d’utilisersont´el´ephoneetlesappelsdesabonn´essontsuppo- se´sinde´pendants.Quelnombreminimald’appelsdoitpouvoirtraitersimultan´ementle centralpourquesaprobabilit´ed’ˆetresature´a`uninstantdonne´soitinfe´rieurea`2,5%? Correction.Onnsfitxaeuninn´entdoonettenoXle nombre d’appels qui auront lieu a`cetinstant.Sionappellemle nombre minimal d’appels que le central peut traiter simultan´ement,lecentralestsatur´ede`squeX > m, et le but de l’exercice est de d´eterminermde telle sorte qu’on aitP(X > m)<0,025. Il y an´eilituanucahcbaborpenpe´endsiettsanndbo0a´enn00=5p= 0,02 d’utiliser sonte´l´ephone`al’instantfixe´,donclenombreXd’appels a cet instant suit la loi binomiale Bin(n, p). On remarque que le nombre moyen d’appels estnp= 100, ce qui est trop grand pour approcher correctement cette loi binomiale par une loi de Poisson. Par contre,n= 5000 est assez grand pour qu’on obtienne une bonne approximation de la loi deXen utilisant lethe´ore`medeDeMoivre-Laplace(oulethe´ore`melimitecentralapplique´a`desv.a.de Bernoulli,cequirevientaumeˆme). ∗ i Bin(n, p), alorsX D’apre`sleth´eor`emededeMoivre-Laplace,siX n a pour lo n = X n −np √ converge en loi quandntend vers l’infini versZde loiN(0,1). En tenant np(1−p) compte du fait quenp= 100 etnp(1−p) = 98 ici, on a : X−100m−100m−100 P(X≤m) =P( √√ ≤ )'P(Z ≤ √ ) 98 9898 AvoirP(X > m)<0,025´e`tuaviuqriovaaP(X≤m)<0,9’atd,e75lstarpe´edbael valeursnum´eriques,c’estpourt'1,96 qu’on aP(Z≤t)'0,enqu´enscoar.P759lit faut choisirmtel que m−100 √ <1,96 98 √ c’est-a`-direm >100 + 1,96 98'119,´rptioveI.4uaflatdnursnpabaracdtrailedeter simultane´mentaumoins120appels.

Exercice 4.Cumul d’erreurs Unprogrammedecalculutilise touslesr´esultatsd’op´erationsa`ce

Jihcesffrgnsicaififstitidnorrateeulrgvilaesr`ap 1 −J format(donc`a×ppusqesose`rnO.)1p0u’il 2