Exampleofthemdugmfonts.

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• Publié par: TestManhattan
• Publié le: 27 août 2012
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• Langue: English

Extrait

Example of themdugmfonts.

Paul Pichaureau

29 janvier 2006

Résumé The packagemdugmconsists of a full set of mathematical fonts, designed to be combined with urw garamond as the main text font. This example is extracted from the excellent bookMathématiques pour la phy- sique et les physiciens, W. Appel, Paris, éd. H.& K., 1999.

1 Dérivationde la transformée de Fourier On a la relation très importante entre T.F. et dérivation :

1 Théorème 10.22Soitf∈L(R)une fonction décroissant suffisamment vite k1 e pour quex7→x f(x)soit également dans L(R)pourk=0, . . . ,n. Alorsfest nfois dérivable et on a   k(k) e F(−2iπx)f(x) =f(ν)pourk=1, . . . ,n.

1n Inversement, sif∈L(R), sifest de classeCet si, de plus, les dérivées (k) successivesfsont intégrables pourk=1, . . . ,n, alors on a   (m)m e Ff(x) =(2iπν)f(ν)pourk=1, . . . ,n.

Notamment, on retiendra que :   d e e 0 Ff(x) =2iπνf(ν)etF ( −2iπx f(x )) = f(ν). dν −2iπνx∞ Pour toutx∈R, la fonctionν7→f(x)e estde classeC, de dérivéek- k ième bornée en module par  (2πx)f(x)  , qui est intégrable. On applique alors le théorème de dérivation sous le signe somme, qui nous donne Z Z h i d e 02iπνx−2iπνx f(ν) =f(x)e dx= (−2iπx)f(x)e dx dν

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puis, par une récurrence immédiate, la première formule. On rappelle que pour toute fonction intégrableφ, on a Z Z R φ(x)dx=limφ(x)dx. R→+∞ −R

0 Puisquefest intégrable, on a donc Z R   0 0−2iπνx Ff(ν) =limf(x)e dx R→+∞ −R ¨ « Z R   R 0 −2iπνx−2iπνx =limf(x)e+ (2iπνx)f(x)e dx. −R R→+∞ −R

Commefest sommableainsi que sa dérivée,fadmet une limite nulle en±∞. La formule précédente nous montre alors, en faisant tendre R vers l’infini, que Z Z 0 −2iπνx−2iπνx f(x)e dx= (−2iνx)f(x)e dx,

ce qui nous montre la deuxième formule pourk=1. Une récurrence surkpermet de conclure. Walter Appel,Mathématiques pour la physique et les physiciens

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