L'infini et les nombres. Commentaires de R. Dedekind à « Zahlen ». La correspondance avec Keferstein - article ; n°3 ; vol.27, pg 251-278

Mohammed-A. Sinaceur

Description

Revue d'histoire des sciences - Année 1974 - Volume 27 - Numéro 3 - Pages 251-278
RÉSUMÉ. — L'article est une présentation de la correspondance de Dedekind avec Keferstein qui en analyse les concepts cardinaux de chaîne et d'infini, tous deux élaborés de manière à résoudre le problème de la construction de l'ensemble des entiers naturels en évitant l'intrusion d'éléments étrangers ou non standards. Justement parce qu'il aperçoit la possibilité d'obtenir, en négligeant certaines précautions, un ensemble dont N n'est qu'une partie propre, Dedekind est avant tout préoccupé de souligner les conditions qui garantissent que son procédé de construction fournit un « modèle » absolument « classique » de l'arithmétique.
SUMMARY. — This article is an introductory essay to the correspondance between Dedekind and Keferstein ; the latter makes here an analysis of the cardinal concepts of chain and infinite which have both been thought out, so as to solve the problem of the construction of the (entire) series of whole numbers, while avoiding the interference of alien or no-standard elements. Precisely because he sees the possibility of obtaining, while leaving aside certain precautions, a series where N is merely a part, Dedekind seems above all concerned with stressing the conditions which ensure that his construction process will provide an absolutely « classical » « pattern » of arithmetics.
28 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

Informations

• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES
• Publié le: 01 janvier 1974
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

M Mohammed Allal. Sinaceur
L'infini et les nombres. Commentaires de R. Dedekind à «
Zahlen ». La correspondance avec Keferstein
In: Revue d'histoire des sciences. 1974, Tome 27 n°3. pp. 251-278.
Résumé
RÉSUMÉ. — L'article est une présentation de la correspondance de Dedekind avec Keferstein qui en analyse les concepts
cardinaux de chaîne et d'infini, tous deux élaborés de manière à résoudre le problème de la construction de l'ensemble des
entiers naturels en évitant l'intrusion d'éléments étrangers ou non standards. Justement parce qu'il aperçoit la possibilité
d'obtenir, en négligeant certaines précautions, un ensemble dont N n'est qu'une partie propre, Dedekind est avant tout préoccupé
de souligner les conditions qui garantissent que son procédé de construction fournit un « modèle » absolument « classique » de
l'arithmétique.
Abstract
SUMMARY. — This article is an introductory essay to the correspondance between Dedekind and Keferstein ; the latter makes
here an analysis of the cardinal concepts of chain and infinite which have both been thought out, so as to solve the problem of
the construction of the (entire) series of whole numbers, while avoiding the interference of alien or no-standard elements.
Precisely because he sees the possibility of obtaining, while leaving aside certain precautions, a series where N is merely a part,
Dedekind seems above all concerned with stressing the conditions which ensure that his construction process will provide an
absolutely « classical » « pattern » of arithmetics.
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Sinaceur Mohammed Allal. L'infini et les nombres. Commentaires de R. Dedekind à « Zahlen ». La correspondance avec
Keferstein. In: Revue d'histoire des sciences. 1974, Tome 27 n°3. pp. 251-278.
doi : 10.3406/rhs.1974.1089
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1974_num_27_3_1089REV. HIST. SCI.
1974- xxvn/3
L'infini et les nombres
Commentaires de R. Dedekind à « Zahlen »
La correspondance avec Keferstein
RÉSUMÉ. — L'article est une présentation de la correspondance de Dedekind
avec Keferstein qui en analyse les concepts cardinaux de chaîne et d'infini,
tous deux élaborés de manière à résoudre le problème de la construction de
l'ensemble des entiers naturels en évitant l'intrusion d'éléments étrangers ou
non standards. Justement parce qu'il aperçoit la possibilité d'obtenir, en négligeant
certaines précautions, un ensemble dont N n'est qu'une partie propre, Dedekind
est avant tout préoccupé de souligner les conditions qui garantissent que son
procédé de construction fournit un « modèle » absolument « classique » de
l'arithmétique.
SUMMARY. — This article is an introductory essay to the correspondance
between Dedekind and Keferstein ; the latter makes here an analysis of the cardinal
concepts of chain and infinite which have both been thought out, so as to solve the
problem of the construction of the (entire) series of whole numbers, while avoiding
the interference of alien or no-standard elements. Precisely because he sees the possi
bility of obtaining, while leaving aside certain precautions, a series where N is merely
a part, Dedekind seemes above all concerned with stressing the conditions which
ensure that his construction process will provide an absolutely « classical » « pattern »
of arithmetics.
Par son style axiomatique, formel et abstrait, Dedekind peut
être considéré comme l'ancêtre de la mathématique moderne. Son
opuscule fameux, Essence et signification des nombres (1888),
définit (avant Peano) les entiers naturels de manière implicite par
les conditions qui en caractérisent la structure (dans le plus pur
style de Hilbert), et ces conditions sont reproduites dans un système
où l'on voit la première forme d'une théorie abstraite des ensembles
(anticipation du travail de Zermelo). Sans se demander comment
ces aspects coexistent dans cette œuvre, où Dedekind ne voyait
que la « décomposition raisonnée des suites de pensées sur lesquelles
reposent les lois des nombres » (1), on rappellera que les notions
(1) R. Dedekind, Gesammelte Malhematische Werke, Braunschweig, Vieweg v. John,
1931, vol. III, p. 337. 252 revue d'histoire des sciences
essentielles en sont celles de « chaîne » et ď « infini » ; et c'est à elles
que sont consacrées les deux pièces maîtresses de la correspondance
avec Keferstein que nous publions.
LA NOTION DE CHAINE
Pour définir le dénombrable, Dedekind se donne un ensemble N,
une application injective de N dans lui-même, <p, telle que N soit la
chaîne d'un élément — ou plutôt d'un singleton — de N n'apparte
nant pas à cp(N). On sait que la chaîne d'un élément a est l'inte
rsection de toutes les chaînes contenant a, et, en tant que telle est la
plus petite chaîne contenant a ; en tant que chaîne elle contient au
moins la suite
a, <p(a), <p2(a), ..., cpw(a), ... ;
mais en tant que c'est la plus petite elle la contient au plus : il est
impossible d'y faire figurer d'autres éléments. N sera ainsi la plus
petite chaîne contenant 1, ou, dans un langage différent, le plus
petit ensemble inductif.
On notera, d'une part, que cet usage heuristique du concept de
chaîne explique peut-être pourquoi Dedekind n'a pas mis en œuvre
dans son essai sur les nombres la distinction entre appartenance
et inclusion qui ne lui était pourtant pas inconnue (2). De fait, au
lieu de considérer les éléments de N, il travaille sur les chaînes
commençant par ces éléments, si bien que par exemple a ^ b si
la chaîne qui commence par a contient celle qui commence par b.
D'autre part, si N est un ensemble tel que l'induction mathémat
ique se trouve fondée, son existence requiert un axiome de l'infini
qui ne peut être logiquement prouvé, comme l'eût voulu Dedekind,
et qui garantit l'existence d'au moins une chaîne. A l'aide de quoi
la construction de Dedekind se justifie de même que s'explique
l'exigence, sur laquelle insiste le § 6 de la lettre du 28 février 1890,
de considérer toutes les chaînes d'un ensemble infini donné S, de
manière à éliminer tous les intrus.
En effet, si S est un système infini, cp une application injective
de S dans lui-même telle que <p(S) ф S, 1 un élément de S n'apparte-
(2) Revue d'Histoire des Sciences, t. XXIV, n° 3, juillet-septembre 1971, p. 247-254. -A. SINACEUR. CORRESPONDANCE DEDEKIND-KEFERSTEIN 253 M.
nant pas à cp(S) ; alors N = П K, les parties К vérifiant les deux
KcS
propriétés suivantes : 1° 1 e К ; 2° cp(K) с К, en notant bien qu'il
faut prendre toutes les parties К de S vérifiant 1° et 2°. Sinon on
peut considérer un ensemble S' tel que S n S' = 0 ; puis
So = S и S' et cp0 l'application de So dans lui-même telle que
restreinte à S elle est égale à 9 et restreinte à S' elle est égale à
l'application identique de S'.
Soit les parties Ko de S telles que Ko = К и S' avec KcS
et vérifiant 1° et 2°. Alors Ko vérifie I) 1 e Ko ; И) 90(К0) С Ко.
L'intersection des parties de la forme Ko est égale à l'inter
section des parties К de S union S'. Cette intersection est égale
à N и S' qui est différent de N ; pour obtenir N il faut donc prendre
toutes les parties Ko de So vérifiant I) et II).
II
LE CONCEPT DE b'iNFINI
Quand Dedekind doit distinguer entre ensembles finis et
ensembles infinis, il se croit en mesure de fournir pour ceux-ci une
démonstration d'existence sur laquelle il revient dans l'article
inédit ci-dessous. Celui-ci n'apporte rien de neuf à l'élucidation de ce
problème bien connu, si ce n'est une reformulation de la preuve,
apparemment strictement fidèle à l'énoncé 66 de l'essai sur les
nombres, en fait légèrement différente. Cavaillès trouvait déjà
curieux que Dedekind prétende avoir été conduit à sa preuve « à
une époque, où le nom même de l'œuvre de Bolzano [lui] était
complètement inconnu ». Il n'y a aucune raison de douter de la
bonne foi de Dedekind, mais ce texte sur l'infini apporte un élément
qui rend la coïncidence avec Bolzano totale, si la filiation n'est pas
histor