Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

Karl Bobek

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The Project Funktionen, Gutenberg EBook of Einleitung in die Theorie der by Karl Bobek Elliptischen This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever.You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen Author: Karl Bobek Release Date: June 10, 2010 [EBook #32766] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN *** Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) EINLEITUNG IN DIE THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN VON KARL BOBEK, PRIVATDOZENT F¨R MATHEMATIK IM ALLGEMEINEN. LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1884. Neuer Verlag vonB. G. Teubnerin Leipzig.1884. Bardey, Dr. Ernst,zur Formation quadratischer Gleichungen. [VIII u. 390 S.] gr. 8. geh. n.M.7.60. arithmetische Aufgaben nebst Lehrbuch der Arithmetik, vorzugsweise f¨r h¨here B¨rgerschulen, Realschulen, Progymnasien und Prorealgymnasien. Dritte Auflage. [X u. 268 S.] gr. 8. geh. n.M.2.– Czuber, Emanuel,geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte. Mit 115 in den Text gedruckten Figuren. [VII u. 244 S.] gr. 8.

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• Publié le: 08 décembre 2010
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The Project Funktionen,

Gutenberg EBook of Einleitung in die Theorie der by Karl Bobek

Elliptischen

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or reuse it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org

Title: Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

Author: Karl Bobek

Release Date: June 10, 2010 [EBook #32766]

Language: German

Character set encoding: ISO88591

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN ***

Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.)

EINLEITUNG IN DIE THEORIE

DER

ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN

VON

KARL BOBEK, PRIVATDOZENT FÜR MATHEMATIK IM ALLGEMEINEN.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1884.

Neuer Verlag vonB. G. Teubnerin Leipzig. 1884.

Bardey, Dr. Ernst,zur Formation quadratischer Gleichungen. [VIII u. 390 S.] gr. 8. geh. n.M.7.60. arithmetische Aufgaben nebst Lehrbuch der Arithmetik, vor zugsweise für höhere Bürgerschulen, Realschulen, Progymnasien und Prorealgymnasien. Dritte Auflage. [X u. 268 S.] gr. 8. geh. n.M.2.–

Czuber, Emanuel,geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte. Mit 115 in den Text gedruckten Figuren. [VII u. 244 S.] gr. 8. geh. n. M.6.80.

Euclidisopera omnia.Ediderunt I. L. Heiberg et H. Menge, Euclidis ele menta. Edidit et latine interpretatus est I. L. Heiberg, Dr. phil. Vol. II. libros V–IX. continens. [XXII u. 437 S.] 8. geh.M.4.50.

Heiberg, Dr. J. L.,philologische Studien zu griechischen Mathematikern. Besonderer Abdruck aus dem dreizehnten Supplementbande der Jahr bücher für classische Philologie. [37 S.] gr. 8. geh.M.1.–

Helm, Dr. Georg,Oberlehrer an der Annenrealschule zu Dresden,die Ele mente der Mechanik und mathematischen Physik.Ein Lehr und Ue bungsbuch für höhere Schulen. Mit Figuren im Text. [IV u. 222 S.] gr. 8. geh. n.M.3.60.

Helmert, Dr. F. R.,Professor an der technischen Hochschule zu Aachen, die mathematischen und physikalischen Theorien der höhern Geodäsie. Zweiter Teil: Die physikalischen Theorien mit Untersuchungen über die mathematische Erdgestalt auf Grund der Beobachtungen. Mit in den Text gedruckten Figuren und 2 lithographierten Tafeln. [XVI u. 610 S.] gr. 8. geh. n.M.20.–

Jahrbuchdes Königl. Sächs. meteorologischen Institutes 1883.Zweite Lie 1 ferung. Enthaltend: Abtheilung I. Bogen 18 bis/ 2 38. Abtheilung II. Bogen 6 bis 8. gr. 4. geh. n.M.10.–(In Kommission.)

MEINEN

HOCHVEREHRTEN LEHRER UND FREUNDE

DEM HERRN

PROFESSORKARLK Ü PPER

ALS ZEICHEN DER DANKBARKEIT

GEWIDMET.

Vorwort.

Das vorliegende Buch verfolgt den Zweck, in kurzer und übersichtlicher Weise die wichtigsten Lehrsätze aus der Theorie der elliptischen Funktio nen darzulegen, und so dem Anfänger einen ersten Ueberblick über diesen Theil der Funktionentheorie zu geben. Wenn in einer kurzen Einleitung die später anzuwendenden Sätze aus der Theorie der Funktionen einer komple xen Variablen zusammengestellt wurden, so geschah diess hauptsächlich, um einen bequemen Hinweis auf dieselben zu ermöglichen, ohne erst den Stu direnden zu veranlassen, in den einschlägigen Büchern des Langen zu su chen. Zur gründlichen Einführung in diese Theorie sei auf die Elemente der ≫ ≪ Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Grösse von Dr. H. Durège Theorie der elliptischen Funktio, sowie auf den I. Theil der ≫ nen von L. Königsberger hingewiesen. ≪ Von dem oben erwähnten Standpunkte aus erscheint es auch gerechtfer tigt, wenn in der Theorie der Integrale nicht auf allgemeine Riemann’sche Flächen eingegangen wurde, sondern nur für die speziell auftretende Irra tionalität eine solche konstruirt worden ist, da wohl für den Anfänger das richtige Verständniss doch nur an speziellen Beispielen erlangt werden kann. Als Anhang wurde eine kleine Anwendung der entwickelten Theorien auf die Geometrie algebraischer Kurven gebracht, damit dem Studirenden Ge legenheit geboten werde auch in dieses in neuester Zeit so ausserordentlich fruchtbare Gebiet der Geometrie Einsicht zu erlangen. In wiefern der angestrebte Zweck erreicht wurde, sei dem geneigten Urt heile der Fachmänner überlassen. Prag, im Oktober 1884.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Darstellung der komplexen Grössen . . . . . . . . . . . . . . . 2. Funktion einer komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . 3. Abbildung mittels einer Funktion einer komplexen Variablen . . . . 4. Beispiele für die Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ein und mehrdeutige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 6. Integrale komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Das geschlossene Integral um einen Punkt herum . . . . . . . . . R 8. Das Randintegralf(z)dz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Reihenentwicklung einer Funktion in der Umgebung einer Stetigkeitsstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Das Null und Unendlichwerden der Funktionen . . . . . . . . . 11. Die rationale Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion. . . . . . . . . . R 13. Das Randintegraldlogf(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Die Summe der logarithmischen Residua drückt sich durch ein Rand integral aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Der Logarithmus einer komplexen Grösse . . . . . . . . . . . . R z 16. Bedingung, dassR(z)dzeine rationale Funktion sei . . . . . . z 0

I. Theil

Doppeltperiodische Funktionen

I. Doppeltperiodische Funktionen im Allgemeinen.. . . . . . 1. Primitive Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Beschaffenheit der Perioden einer doppeltperiodischen Funktion. . . 3. Die doppeltperiodische Funktion nimmt alle ihre Werte in einem Pe riodenparallelogramme an . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Andeutung des Weges, auf dem man zu doppeltperiodischen Funktio nen gelangen kann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Theorie der Thetafunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . 5. Reihenentwicklung der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . 6. Die vierJacobischen Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . .

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7. Die allgemeine Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Verwandlungsformeln für die Thetafunktionen . . . . . . . . . . ′ ω πi ω 9. Reihenentwicklung der Thetafunktionen nach Potenzen vonq=e 10. Das Verschwinden der Thetafunktionen. . . . . . . . . . . . . 11. Aufstellung doppeltperiodischer Funktionen . . . . . . . . . . . III. Fundamentale Sätze über doppeltperiodische Funktionen.. 12. Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion wird innerhalb eines Periodenparallelogramms ebenso oft null als unendlich . . . . . 13. Ordnung der doppeltperiodischen Funktion . . . . . . . . . . . 14. Die Summe der logarithmischen Residua ist null. Doppeltperiodische Funktionen erster Ordnung existieren nicht. . . . . . . . . . . Zusatz: Die Thetafunktion ist durch ihre Definitionsgleichungen bestimmt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. DerLiouville’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. DerHermite’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Doppeltperiodische Funktionen zweiter Ordnung und ihre Ableitun gen. Nullwerte der letzteren . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Die doppeltperiodische Funktionen drücken sich rational durch eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung und ihre Ableitung aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Das Quadrat der ersten Ableitung einer doppeltperiodischen Funk tion zweiter Ordnung drückt sich rational durch diese aus. Alle höhern Ableitungen drücken sich rational durch die Funktion und ihre Ableitung aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Zwischen zwei doppeltperiodischen Funktionen mit denselben Peri oden besteht eine rationale Gleichung . . . . . . . . . . . . . 21. Jede doppeltperiodische Funktion lässt sich durch irgend zwei mit denselben Perioden rational ausdrücken . . . . . . . . . . . . IV. Elliptische Funktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Die elliptischen Funktionensu,cuundΔu. . . . . . . . . . . 2 2 2 23.s u,c u,Δ usind rational durch einander ausdrückbar. . . . . . ′ 24. Einführung der Modulnκ,κ. . . . . . . . . . . . . . . . . 25. Verwandlungsformeln für die elliptischen Funktionen . . . . . . . 26. Die Ableitungen der elliptischen Funktionen werden durch diese aus gedrückt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen.. . . . 27. Die Existenz des Additionstheorems . . . . . . . . . . . . . . 28. Aufstellung der Formeln für die Additionstheoreme der elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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′ s(mu) drückt sich rational durchsuunds uaus . . . . . . . . VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen.. . . . . . . . . 29. Ableitung einiger Formeln für das Additionstheorem der Thetafunk tionen aus den Additionstheoremen der elliptischen Funktionen . . 30. Aufstellung der allgemeinen Additionsformel für die Produkte von vier Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Entwicklung des Additionstheorems der elliptischen Funktionen aus jenem der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . ′ ϑ ϑ 3 1 32. Bestimmungen vonG. . . . . . . . . . . . . . . .= . ϑ 0 ϑ 2 VII. Realitätsbetrachtungen für die Funktionensu, cu, Δu.. . . 33. Allgemeines über die reellen Werte vonsu,cu,du 1) Behandlung des Falles einer reellen und einer rein imaginären Periode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ′ ′ ′ 2) Die Periodeωist reellω=ω+ω i, woωreell ist . . . . . . 1 1 VIII. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen etc.. . ′ 34. Jede doppeltperiodische Funktion mit den Periodenω, ωlässt sich dlogϑ 1 (u−α) ausdrücken durchZ(u−αund die Ableitungen) = du vonZ(u−α) nachu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Theil

Elliptische Integrale

I. Die Riemann’sche Fläche der Funktiony.. . . . . . . . . . R ξ dz 35. Das IntegralGu= √ definirt eine eindeutige Funk 0 2 2 2 (1−z)(1−κz) tionζvonu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. Das Verhalten der Funktion p y=A(x−a)(x−a)(x−a)(x−a) . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 37. Die Riemann’sche Fläche der Funktiony. . . . . . . . . . . . 38. Auf der construirten Riemann’schen Fläche existiren blos zwei ge schlossene Linien, die keinen Theil derselben vollständig begrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Funktionen auf der Riemann’schen Fläche. . . . . . . . . 39. Die rationalen Funktionen vonxundysind eindeutige Funktionen R x dx des Ortes auf der Fläche. Das Integralw= ist unendlich x 0 y vieldeutig in bestimmter Art . . . . . . . . . . . . . . . . 40. Nähere Bestimmung der Elementarperioden . . . . . . . . . . .

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41. Andere Zerschneidungen der Riemann’schen Fläche geben Perioden, welche durch die früher gefundenen ausdrückbar sind . . . . . . R x dx 42.w(x) = wird auf der Riemann’schen Fläche nicht unendlich . x 0 y 43.w(x) bildet die zerschnittene Riemann’sche Fläche auf eine paralle logrammartige Figur ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.xundysind eindeutige doppeltperiodische Funktionen vonw. . . Jede eindeutige Funktion des Ortes auf der Riemann’schen Fläche der Funktionyist eine rationale Funktion vonxundy. . . . . III. Das elliptische Normalintegral. . . . . . . . . . . . . . R z dz 45. Das Normalintegralu= √ bestimmtzals doppelt 0 2 2 2 (1−z)(1−κz) periodische Funktion, welche füruund 2K−udieselben Werthe annimmt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. Wert vonu, für denz=∞wird. . . . . . . . . . . . . . . . 47.zdrückt sich durch Thetaquotienten vonuaus . . . . . . . . . Verwandlung des krummlinigen Parallelogrammes in ein geradliniges. . 48. Abbildung der Riemann’schen Fläche durch das Integral R z dz u= √ 0 22 2 (1−z)(1−κz) 1) wennκ. . . . . . . . . . . . .reell und kleiner als 1 ist 2) wennκ. . . . . . . . . . . . . . . .rein imaginär ist . R x dx 49. Transformation des Integralsw= √ auf die Normalform— x 0 R(x) R(x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .) vom 4. Grade. 50. Werte vonκbei gegebenema , a , aa , . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 51.R(x. . . . . . . . . . . . . . . . . .) ist vom dritten Grade 52. Das Legendre’sche Normalintegral und das ganze elliptische Integral IV. Integrale II. und III. Gattung. . . . . . . . . . . . . . 53. Das Normalintegral II. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Elliptische Integrale III. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . 55. Reduktion des allgemeinen elliptischen Integrals auf die drei Normal integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V. Berechnung des Normalintegrals. . . . . . . . . . . . . R z dz ru= √ . . . . . . . . . 56. Reihenentwicklung fü 0 2 2 2 (1−z)(1−κz) 57. Berechnung vonqdurchκ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Berechnung des Normalintegrals II. Gattung durch das Normalinte gral I. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. Berechnung des Normalintegrals III. Gattung durch das Normalinte gral I. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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VI. Das Additionstheorem für die Integrale I. und II. Gattung R R R z 1 dx z 2 dx z 3 dx 60. Aus der Gleichung + = ergiebt sich eine Relation 0 y 0 y 0 y zwischenz , zz , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 VII. Integrale doppeltperiodischer Funktionen. . . . . . . . R 61. DasF(u)du, woF(u) eine eindeutige doppeltperiodische Funktion ′ vonuist, mit den Periodenω, ωläßt sich durch Logarithmen der n (n) dlogϑ 1 (u) ϑ 1 Funktion undZ(uausdrücken . ) = . . . . . . du

Anhang Anwendung der Theorie der elliptischen Funktionen auf 1 Kurvennter Ordnung mitn(n−3)Doppelpunkten.. . . 2 I. Kurven dritter Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Allgemeine Uebersicht der Aufgabe.. . . . . . . . . . . . . . . 2. Die Koordinaten der Punkte der Kurve 3. Ordnung drücken sich durch su, cu, Δurational aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Verlauf einer reellen Kurve 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 4. Die Koordinaten der Kurvenpunkte sind ausdrückbar durch je ein Produkt vondreiΘFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 5. Drei Produkte vonΘFunktionen, deren Nullstellen in gewisser Wei se von einander abhängen, können als homogene Koordinaten der Punkte einer Kurve 3. Ordnung angenommen werden . . . . . . Diese kann keinen Doppelpunkt besitzen . . . . . . . . . . . . 6. Nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 3nPunkte von Cauf einer Kurventer Ordnung liegen . . . . . . . . . . . . 3 7. Die Wendepunkte der Kurve 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . 8. Eindeutige Transformationen der Kurve 3. Ordnung in sich. . . . . 9. Die Gleichung der reellen Kurve 3. Ordnung kann in einer bestimmten 3 3 3 Art auf die Formx+x+x+cx x x= 0 gebracht werden, so 1 2 3 1 2 3 dasscund das Koordinatendreieck reell ist . . . . . . . . . . ter 1 II. KurvennOrdnung mitn(n−3)Doppelpunkten. . . . 2 ter 1 10. Die KurvennOrdnung mitn(n−3) Doppelpunkten sind in eine 2 Kurve 3. Ordnung ohne Doppelpunkt in rational umkehrbarer Weise transformirbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ter 1 11. Die Koordinaten der Punkte einer KurvenOrdnung mitn(n−3) 2 Doppelpunkten sind als eindeutige doppeltperiodische Funktionen ter nOrdnung eines Parametersu. . . . . . . .darstellbar. .

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