Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme

Theodor Reye

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• Publié par: suwyig
• Publié le: 08 décembre 2010
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Project Gutenberg’s Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme, by Theodor Reye This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.net Title: Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme Author: Theodor Reye Release Date: November 25, 2005 [EBook #17153] Language: German Character set encoding: TeX *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYNTHETISCHE GEOMETRIE *** Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net from images generously made available by Cornell University Digital Collections. SYNTHETISCHE GEOMETRIE DER KUGELN UND LINEAREN KUGELSYSTEME MIT EINER EINLEITUNG IN DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE DER KUGELSYSTEME VON Dr. TH. REYE ¨ O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT STRASSBURG LEIPZIG DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1879 Vorwort. Die synthetische Geometrie der Kreise und Kugeln verdankt den Aufschwung, welchen sie im Anfange unseres Jahrhunderts genommen hat, haupts¨chlich a den bekannten Ber¨hrungsproblemen des Apollonius von Perga. Die Aufgau be, zu drei gegebenen Kreisen einen vierten sie ber¨hrenden Kreis zu conu struiren, war freilich nebst ihren zahlreichen Specialf¨llen schon von Vieta a (1600) mit den H¨lfsmitteln der Alten, und von Newton, Euler und N. Fuss u analytisch gel¨st worden, auch hatte bereits Fermat1 ) von dem analogen Proo blem f¨r Kugeln eine synthetische Aufl¨sung gegeben. Gleichwohl dienten u o diese Apollonischen Aufgaben noch lange den Mathematikern zur fruchtbaren Anregung. Zu neuen Aufl¨sungen dieser Ber¨hrungsprobleme gelangten zuerst eio u nige Sch¨ler von Monge, indem sie die Bewegung einer ver¨nderlichen Kuu a gel untersuchten, welche drei gegebene Kugeln fortw¨hrend ber¨hrt. Dupuis a u entdeckte und Hachette2 ) bewies (1804), dass der Mittelpunkt der Kugel auf einem Kegelschnitte sich bewegt und dass ihre Ber¨hrungspunkte drei u Kreise beschreiben. Bald darauf (1813) ver¨ffentlichte Dupin3 ) seine sch¨nen o o Untersuchungen uber die merkw¨rdige, von jener ver¨nderlichen Kugel einu a ¨ geh¨llte Fl¨che, welcher er sp¨ter den Namen Cyclide beilegte; er zeigte u a a u. A., dass diese Fl¨che zwei Schaaren von kreisf¨rmigen Kr¨mmungslinien a o u besitzt, deren Ebenen durch zwei zu einander rechtwinklige Gerade gehen. Fast gleichzeitig (1812) f¨hrte Gaultier4 ) die Potenzpunkte von Kreisen und u Kugeln sowie die Kreisb¨schel und Kugelb¨schel, wenn auch unter anderen u u Namen, ein in die neuere Geometrie, und benutzte dieselben zur L¨sung der o Apollonischen Ber¨hrungsprobleme. Die Lehre von den Kreisb¨scheln und u u von den Aehnlichkeitspunkten mehrerer Kreise wurde sodann von Poncelet5 ) (1822) vervollkommnet und mit der Polarentheorie des Kreises, deren Anf¨nge sich schon bei Monge6 ) finden, in Verbindung gebracht. a Vier Jahre sp¨ter (1826) erschienen die geometrischen Betrachtungen“ a ” von Jacob Steiner7 ), in welchen zum ersten Male der Ausdruck Potenz“ bei ” ) Fermat, de contactibus sphaericis. (Varia opera mathematica, Tolosae 1679, fol.) ) Correspondance sur l’Ecole polytechnique, T. I, S. 19; vgl. T. II, S. 421. 3 ) Ebenda T. II, S. 420, und sp¨ter in seinen Applications de G´om´trie et de a e e M´canique, Paris 1822. e 4 ) Journal de l’Ecole polytechnique, 16me cahier, 1813. 5 ) Poncelet, Trait´ des propri´t´s projectives des figures, Paris 1822; 2. Aufl. 1865. e e e 6 ) Monge, G´om´trie descriptive, Paris 1795; 5e ´d. 1827, S. 51. e e e 7 ) Crelle’s Journal f¨r die r. u. a. Mathematik, Bd. 1. u 2 1 2 Kreisen und Kugeln angewendet wird. Indem er die Ber¨hrung als speciellen u Fall des Schneidens auffasst, erweitert Steiner in dieser Abhandlung die Apollonischen Ber¨hrungs-Aufgaben zu den folgenden: u Einen Kreis zu construiren, welcher drei gegebene Kreise, oder ” eine Kugelfl¨che, welche vier gegebene Kugeln unter bestimmten a Winkeln schneidet.“ Zugleich giebt er die Absicht kund, ein Werk von 25 bis 30 Druckbogen herauszugeben uber das Schneiden (mit Einschluss der Ber¨hrung) der Kreise u ¨ ” in der Ebene, das Schneiden der Kugeln im Raume und das Schneiden der Kreise auf der Kugelfl¨che“, in welchen jene und andere neue Probleme ihre a L¨sung finden sollten. Leider hat Steiner seinen Plan nicht ausgef¨hrt; unter o u seinen zahlreichen Schriften findet sich nur noch ein kleineres aber gehaltvolles Werk uber den Kreis8 ), in welchem unter anderen auch die harmonischen ¨ und polaren Eigenschaften des Kreises elementar abgeleitet werden. Von Poncelet’s invers liegenden und Steiner’s potenzhaltenden Punkten zu dem Princip der reciproken Radien ist nur ein kleiner Schritt; trotzdem verdanken wir dieses wichtige Abbildungsprincip nicht der synthetischen, sondern der analytischen Geometrie, und in zweiter Linie der mathematischen Physik. Pl¨cker9 ) stellte es zuerst (1834) als ein neues Uebertragungsu ” princip“ auf; er geht aus von Punkten, die bez¨glich eines Kreises einander u zugeordnet sind, beweist u. A., dass jedem Kreise der Ebene ein Kreis oder eine Gerade zugeordnet ist und dass zwei Gerade sich unter denselben Winkeln schneiden wie die ihnen zugeordneten Kreise, und giebt verschiedene Anwendungen des Princips, auch auf das Apollonische Ber¨hrungsproblem. u Auf’s Neue wurde das Princip (1845) entdeckt von William Thomson10 ), welcher es das Princip der elektrischen Bilder nannte; seinen heutigen Namen erhielt es (1847) durch Liouville11 ). F¨r Thomson sind die Anwendunu gen des Princips auf elektrostatische Probleme und seine Wichtigkeit f¨r die u ganze Potentialtheorie und f¨r die Lehre von der W¨rmeleitung nat¨rlich u a u die Hauptsache; nur beil¨ufig erw¨hnt er, dass Kugeln durch reciproke Raa a dien allemal in Kugeln oder Ebenen ubergehen, und dass die von ihnen ¨ gebildeten Winkel sich bei dieser Transformation nicht ¨ndern. Liouville a seinerseits hebt hervor, dass zwei durch reciproke Radien einander zugeord) Steiner, Die geometrischen Constructionen, ausgef¨hrt mittelst der geraden Linie u und eines festen Kreises, Berlin 1833. 9 ) Pl¨cker in Crelle’s Journal f¨r d. r. u. a. Math., Bd. XI. S. 219–225. Die kleine u u Abhandlung ist von 1831 datirt. 10 ) W. Thomson in Liouville, Journal de Math´matiques, T. X. p. 364. e 11 ) Liouville, Journal de Math´matiques, T. XII, p. 276. e 8 3 nete Fl¨chen oder Raumtheile conform auf einander abgebildet sind, und a dass die Kr¨mmungslinien der einen Fl¨che in diejenigen der anderen sich u a verwandeln; auch wendet er das Princip u. A. auf die Dupin’sche Cyclide an. Unabh¨ngig von Thomson und Liouville gelangte wenige Jahre sp¨ter a a 12 ) zu demselben Abbildungsprincip, welchem er den Namen (1853) M¨bius o Kreisverwandtschaft“ gab. ” Die mannigfaltigen H¨lfsmittel und fruchtbaren Methoden, durch welu che so die synthetische Geometrie der Kreise und Kugeln allm¨lig bereichert a worden ist, verdienen nun wohl, einmal in einem neuen Zusammenhange dargestellt zu werden. Wir gelangen zu einem solchen, innigen Zusammenhange und zugleich zu gewissen Erweiterungen der Kugelgeometrie, indem wir von dem bisher wenig beachteten Kugelgeb¨sche ausgehen. Das Princip u der reciproken Radien, durch welches die meisten nachfolgenden Untersuchungen wesentlich vereinfacht werden, tritt bei diesem Entwickelungsgange geb¨hrend in den Vordergrund; die Lehre von den harmonischen Kreisu Vierecken, die Theorie der Kugelb¨ndel und Kugelb¨schel und die Polarenu u theorie der Kugel und des Kreises schliessen sich ungezwungen an, nur wird ihre Begr¨ndung eine andere; die Lehre von den linearen Kugelsystemen aber u erweitert sich von selbst zu der Geometrie des Kugelsystemes von vier Dimensionen. Indem wir sodann den Ber¨hrungsproblemen uns zuwenden, treu ten uns alsbald einerseits die Aehnlichkeitspunkte von Kugeln und Kreisen, anderseits gewisse quadratische Kugel- und Kreissysteme entgegen. Letztere, zu welchen auch die Dupin’schen Kugelschaaren geh¨ren, werden in den o sp¨teren Abschnitten eingehend untersucht und auf die vorhin erw¨hnten a a und andere bisher ungel¨ste Probleme Jacob Steiner’s angewendet. Durch o Einf¨hrung von Kugelcoordinaten wird schliesslich zu der projectiven Beu ziehung von Kugelsystemen und zu den Kugelcomplexen, insbesondere den quadratischen, ein leichter Zugang gewonnen. Den r¨umlichen Mannigfaltigkeiten von vier und mehr Dimensionen wird a bekanntlich seit 1868 auf Anregung von Riemann, Helmholtz und Pl¨cker u viel Beachtung geschenkt. Deshalb m¨ge hier noch hervorgehoben werden, o dass auch dieses B¨chlein es mit einer vierfach unendlichen Mannigfaltigkeit u zu thun hat, und zwar mit der einfachsten und der Anschauung zug¨nglicha sten, die es giebt. Alle Kugeln des Raumes n¨mlich bilden eine l i n e a r e a Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, w¨hrend z. B. die Gesammtheit aller a geraden Linien, womit die Pl¨cker’sche Strahlengeometrie sich besch¨ftigt, u a eine q u a d r a t i s c h e Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen bildet. Ein ) Berichte der Kgl. S¨chsischen Gesellschaft der Wissenschaften, 1853, S. 14–24; Aba handlungen derselben Gesellschaft, Bd. II, Lpz. 1855, S. 531–595. 12 4 Kugelgeb¨sch ist demgem¨ss sehr leicht, ein linearer Strahlencomplex dau a gegen nicht ohne viele M¨he einem Anf¨nger verst¨ndlich zu machen, und u a a Aehnliches gilt von dem Kugelb¨schel und der Regelschaar. Die Kugelgeou metrie besitzt an dem Princip der reciproken Radien eine wichtige Methode, die in der Strahlengeometrie ihres Gleichen nicht hat; der analytischen Behandlung ist sie sehr leicht zug¨nglich, und zudem umfasst sie die Geometrie a der Punkte und der Ebenen, weil diese als Grenzf¨lle der Kugel aufzufassen a sind. M¨ge deshalb die Kugelgeometrie ebenso wie die Strahlengeometrie o sich mehr und mehr Freunde und F¨rderer gewinnen. o S t r a s s b u r g i . E ., den 20. December 1878. Der