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2008umériqueoersitéHerbinAixMarseillen1Raphaèle18demathématiquesUnivCoursd'Analyse..Pable.desnonmatières.1.Systèmesdelinéaires.5.1.1.Ob.2.4...des.du.our.............Newton.......et.............du...p...de.........de..5v1.2VQuelques.rapp.els.d'algèbrehapitrelinéaireCorrigé.............et.1.5.4.et.........40....1.86.1.2.1.Norme.induiteLes.......P.......de.....de.....109.......2.2.1.métho...la......6.1.2.2.Ra.yleson.sp.ectral...........1.5.2...........1.5.3......herc.aleurs.ecteurs...1.6.hapitre......7.1.2.3.Matrices.TSuggestions..1.......des.hapitre.........2.103.des.t........8.1.3103Lestméthotractiondes.......103.t...........2.1.3.v...........Métho..............11et1.3.1deDénition....111.tes.de.......2.3.................p.du.......126..2......1111.3.2.Métho.de.de.Gauss.et.métho27deDénition128propriétés...................30.Métho.de.Gauss-Seidel.SOR/SSOR11.1.3.3.Métho33dedeheCholeskiv.propres.v.propres.....39...1.................... ...

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Langue Latin
Signaler un problème

2008
umérique
o
ersité
Herbin
Aix

Marseille
n
1
Raphaèle

18
de
mathématiques
Univ
Cours
d'Analyse.
.
P
able
.
des
non
matières
.
1
.
Systèmes
de
linéaires
.
5
.
1.1
.
Ob
.

2.4
.
.
.
des
.
du
.
our
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Newton
.
.
.
.
.
.
.
et
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
du
.
.
.
p
.
.
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
de
.
.
5
v
1.2
V
Quelques
.
rapp
.
els
.
d'algèbre
hapitre
linéaire
Corrigé
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
et
.
1.5.4
.
et
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
.

.
.
.
1.8
6
.
1.2.1
.
Norme
.
induite
Les
.
.
.
.
.
.
.
P
.
.
.
.
.
.
.
de
.
.
.
.
.
de
.
.
.
.
.
109
.
.
.
.
.
.
.
2.2.1
.
métho
.
.
.
la
.
.
.
.
.
.
6
.
1.2.2
.
Ra
.
y
les
on
.
sp
.
ectral

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.5.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.5.3
.

.
.
.
.
.
herc
.
aleurs
.
ecteurs
.
.
.
1.6
.
hapitre
.
.
.
.
.
.
7
.
1.2.3
.
Matrices
.
T
Suggestions
.

.
1
.
.
.
.
.
.
.
des
.
hapitre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
103
.
des
.
t
.
.
.
.
.
.
.
.
8
.
1.3
103
Les
t
métho
traction
des
.

.
.
.
.
.
.
103
.
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.1.3
.
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Métho
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
et
1.3.1
de
Dénition
.
.
.
.
111
.
tes
.
de
.
.
.
.
.
.
.
2.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
p
.
du
.
.
.
.
.
.
.
126
.

.
2
.
.
.
.
.
.
11
1
1.3.2
.
Métho
.
de
.
de
.
Gauss
.
et
.
métho
27
de
Dénition
128
propriétés
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
.
Métho
.
de
.
Gauss-Seidel
.
SOR/SSOR
11
.
1.3.3
.
Métho
33
de

de
he
Choleski
v
.
propres
.
v
.
propres
.
.
.
.
.
39
.

.

.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
1.7
1.3.4
p
Quelques
les
propriétés
du
.
hapitre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
.
Corrigés
.

.

.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
20
Systèmes
1.4
linéaires
Conditionnemen
2.1
t
métho
.
de
.
oin
.
xe
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.1.1
.
oin
.
xe
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
.
1.4.1
2.1.2
Le
oin
problème
xe
des
monotonie
erreurs
.
d'arrondis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
107
.
Vitesse
.

.
ergence
.
.
.
.
22
.
1.4.2
.
Conditionnemen
.
t
.
et
.
ma
.
joration
.
de
.
l'erreur
2.2
d'arrondi
de
.
Newton
.
.
.
.
22
.
1.4.3
.
Discrétisation
.
d'équations
.
aux
.
dériv
.
ées
.
partielles,
.

.
tionnemen
.
t
111
ecace"
Construction
.

.
ergence
.
la
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2.2
.
arian
.
de
.
métho
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
.

24
.
1.5
.
Métho
.
des
.
itérativ
.
es
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
.
Suggestions
.
our
.

.

.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.5
.
des
.
du
.
hapitre
.
.
27
.
1.5.1
.
Origine
.
des
.
systèmes
.
à
.
résoudre
.
.
.
.
diagonalisables
LU.
.
.
Optimisation

150
.
3.1
.
Dénitions
.
et
.
rapp
.
els
.
de
p

implicite
diéren
.
tiel
.
.
3.8
.
In
.
.
.
ergence
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
241
.
.
150
185
3.1.1
.
Dénition
.
des
.
problèmes
.
d'optimisation
.
.
ergence
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ou
.
.
.
.
.
.
.
.
150
229
3.1.2
.
Rapp
.
els
.
et
.
notations
.
de


.
diéren
.
tiel
.
.
.
.
.
.
our
.
.
.
.
.
du
.
.
.
.
.
diéren
150
.
3.2
.
Optimisation
.
sans
.

stabilité
train
.
te
.
.
général
.
.
.
.
.
4.4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.5.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
.
.
152
.
3.2.1
.
Dénition
du
et
.

.
d'optimalité

.
.
.
.
.
.
.
232
.
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
152
.
3.2.2
.
Résultats
Suggestions
d'existence

et
3
d'unicité
.
.
.
.
.
.
des
.
hapitre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
219
.

.
.
.
.
.
.
152
.
3.3
.
Algorithmes
.
d'optimisation
.
sans
4.2


train
.
te
.
.
.
.
.
.
4.3
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
157
.
3.3.1
.
Métho
.
des
.
de
.
descen
4.5
te
?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
gagne...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.5.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Matc
157
.
3.3.2
.
Algorithmes
.
du
.
gradien
.
t
.

.
.
4.6
.
héma
.
.
.
.
.
.
.
.
.
230
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
161
.
3.3.3
.
Métho
Corrigé
des

de
.
Newton
.
et
.
QuasiNewton
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
168
.
3.3.4
.
Résumé
.
sur
.
les
.
métho
.
des
.
d'optimisation
3.7
.
p
.
les
.
du
.
hapitre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
172
199
3.4
Corrigés
Optimisation

sous


3
train
.
tes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
201
.
Equations
.
tielles
.
4.1
.
tro
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
172
.
3.4.1
.
Dénitions
.
.
.
.
.
.
.
.
219
.
Consistance,
.
et
.
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
222
.
Théorème
.
de
.
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
172
.
3.4.2
.
Existence
224

Exemples
Unicité
.

.
Conditions
.
d'optimalité
.
simple
.
.
.
.
.
.
.
173
.
3.4.3
.
Conditions
.
3
.
dans
.
le
.

.
de
227

Explicite
train
implicite
tes
.
égalité
.
174
.
3.4.4
.
Con
.
train
.
tes
.
inégalités
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
228
.
L'implicite
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
228
.
L'implicite
.
erd...
178
.
3.5
.
Algorithmes
.
d'optimisation
.
sous
.

.
train
.
tes
.
.
.
.
.
.
.
.
4.5.3
.
h
.
ul
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
179
.
3.5.1
.
Métho
.
des
.
de
.
gradien
.
t
.
a
230
v
Etude
ec
sc
pro
d'Euler

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.7
.
.
.
.
179
.
3.5.2
.
Métho
.
des
.
de
.
dualité
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.8
.
des
.
du
.
hapitre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
182
3.6

d'optimalité
Ellipses,
Et
tro
d

R.
L'ob
Pren
jet

de

l'analyse
D.
n
T
umérique
Y
est
l'oral
de
Equations

Analyse
oir
L.
et

d'étudier
et
des
1,2
métho
sciences
des
mathématicien,
de
Dieren
résolution
Dahlquist
de
Englew

scien
problèmes
Hubbard,
mathématiques,
systèmes
en
et
général
appliquée
issus
2,
de
tique
la
2ème
mo
des
délisa-
Analyse
tion
1,2
de
Masson,
problèmes
P
réels",
n
et
aris,
don
umérique,
t
de
on
anglophiles...

their
herc
hapitre
he
k,
à
in

délisation
la
l'agrégation,
solution
Collection
à

l'aide
W
d'un
tielles
In
Cas-
Le
.

Théo
est
umérique

l'art
en
1
quatre
1987
grands
Calcul

et
hapitres
our
:
et

Enseignemen
Systèmes
Masson,
linéaires
Sc

umérique,
Systèmes
(c
non
4).
linéaires
Les

(c
Optimisation
4).

Lascaux
Equations
dor,
diéren
sappliquée
tielles.
o
On

p
Analyse
ourra
SUP

Univ
les
rance,
ouvrages
our
suiv
M.
an
Equations
ts
Springer,
p
1984
our


A.
diéren
Metho
tes
Hall,
parties
Computation,
(ceci
3
est
NJ.
une
de
liste

non
tique,
exhaustiv
Clis,
e
1999.
!)
J.
:
B.

est,
P
diéren
.G.
et
Ciarlet,
dynamiques,
In
sini.
tro
P

Lascaux
à
R.
l'analyse
dor,
n
n
umérique
matricielle
et
à
à
de
l'optimisation,
tomes
Masson,
et
1982,
Masson,
(p

our
Sainsaulieu,
les
scien


hapitre

1
p
à
le
3

de
les

d'ingénieurs,
p
t
olycopié).
mathématiques,

1996.
M.
M.
Crouzeix,
hatzman,
A.L.
n
Mignot,

Analyse

n
hapitres
umérique
et
des

équations
Serre,
diéren
matrices,
tielles,
(2000).
Collection
hapitres
mathématiques
et
appliquées

p
.
our
et
la
Theo
maitrise,
Analyse
Masson,
umérique
(p
aux
our
de
le
P

(1994)
ha-
R.
pitre
emam,
4
n
de
Collection

le
p
Presses
olycopié).
ersitaires

F
J.P
1970.
.
p
Demailly
les
,

Analyse
Braun,
n
tial
umérique
and
et
applications,
équations
New
diéren
ork,
tielles
(c
Collection
4).
Gre-
G.
noble
and
sciences

Presses

Univ
ds,
ersitaires

de
Series
Grenoble


1974,
L.
o
Dumas,
Mo
à
ordinateur.
CAPES/Agrégation,
l'ingénieur,
l'ingénieur,fois
eectuer

R.
faire

p
her,


est
metho
et
ds
questions
of

optimization,
d'un
J.
des
Wiley
des
,
d'essa
New
ord
Y
les
ork,
é
1980
pu
(c
aux
hapitre
1.
3).
est

nom
G.
donne
Golub
p
and

C.
détaillés.
V
t
an
er
Loan,

Matrix


ne
The
détaillés
John
ac
Hopkins
si
Univ
t
er-
eectuées),
sit
se
y
4
Press,
d'examen.
Baltimore
Chaque
(c
hapitre
hapitre
suivi
1).


bre
R.S.
On
V
ensuite
arga,
suggestions
Matrix
our
iterativ
les
e
puis
analysis,

Pren
Il

fortemen
Hall,

Englew
y
o
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o
les
d
d'ab
Clis,
sans
NJ

1962.
de
Ce
regarder


a
qu'une
été

rédigé
hev
p
(même
our

la
n'on

pas
de
être
mathématiques

par
our
télé-enseignemen
préparer
t

de
l'univ
ersité
d'Aix-Marseilletho
mémoire
aleurs
1
:
linéaire.
olution
d'algèbre

1.1
suite
Ob
pa-

dév
On
en
note
tiels
els
tre
rapp
drastique.
quelques
té,
par
(tous

p
nous
matrice
l'ensem
résolution
ble
bre
des
de
matrices
p

métho
d'ordre
systèmes
étude,
la
.
augmen
Soit
systèmes
leur
donc
de
grandeur

par
la
t

proter
our
osition
P
hines
es.
mieux
une
des
matrice
est
in
informatiques.
v
hes
ersible,
5
et
aux
itérativ
Un
des
ts
métho

les
en
et
taille
,
résoudre.
on
et
a
de

de
ob
de

taille
de
p
résoudre
ordinateur
le
t
système
l'ordre

an
des
Dans
métho
matrice
les
termes
:
n
,


creuse
à
sous
dire
de
de
pleine
trouv
des
er

linéaires
proter
solution
emen
de
des
:
systèmes
systèmes
à
les

résoudre
grand
our

p
t
des
p
métho
résolution
de
problèmes
es
v
yp
propres.
(1.1.1)
des
Comme
oin
t
essen
est
dans
in
des
v
des
ersible,
visagées
il
la
existe
des
un
à
unique
En
v
1980
ecteur
2000,
deux
taille
errons
la
v

nous
a
hapitre,

solution
façon
de
La
(1.1.1).
des
Nous
qu'on
allons
eut
étudier
sur
dans
a
les
égalemen
deux
augmen

selon
hapitres
de
suiv
suiv
an
t
ts
la
des
exemple).
métho
rallèles,
des
pleine
de
les

son
de
non

uls)
v

ecteur
des

matrice
:
our
la
domaines
première
en
partie

de
des

matrice

(mé-
hapitre

sera


creuse
aux
de
métho
au
des
Le
directes"
elopp
et
t
la
métho
deuxième
de
aux
de
métho
linéaires
des
liée
itérativ
l'év
es".
des
Nous
hines
ab
Un
orderons
nom
ensuite
de
en
herc
troisième
son
partie
d'ailleurs
les

métho
our
des
de
des
Chapitre
Systèmes
linéaires
M (IR) N A∈M (IR)N N
Nb∈ IR
linéaire Ax =b x
Nx∈ IR
Ax =b
NA x∈ IR
x
ordinateurs
résoudre
21980 : N = 10
6N = 10
62000 : N = 10
8N = 106
:
Donc
Quelques
et
rapp
il
els
norme
d'algèbre
;
linéaire
matriciel
1.2.1
résulte
Norme
toute
induite

Dénition
p
1.1
:
(Norme
tenan
matricielle,
osons
norme
6
induite)
et
1.
3.
On
ses
app
et
el
Prop
le
unité
norme
ue
matriciel
e
le
dénie
sur
v
(1.2.3)
,
lors
,
A
.
.
1.
aussi
4.
e
Prop
une
our
norme
fait
t.q.
dernière
noté
tel
ondante,
ornes
p
p
es-
e
orr
b

de
induite
1.2
norme
est
la
muni
de
la
et
A
,
toute
p

our
dans
toutes
on
matric
2.
es
est
norme
donc
et
,
la
Si
de
1.2
de
en
munit
alors
On
,
2.
Démonstration
(1.2.2)
une
lors
3.
.
osition
2.
.
On
tout

p
onsidèr
que
e
du
A
égalité
.
La
aussi
que
muni
existe
d'une
:
norme
b
e
t
noté
our
ondante,
matric
.
attein
On
ornée
app
est
el
.
le
.
norme
osition
matriciel
Soit
le
un
induite
qui
(ou
sphère
norme
d'une
induite)
induite
sur
sur
p
.
es-
lors
orr
our

matric
induite
tin
norme
est
p
par
ar
de
la
,
norme
a
la
1.
de
ériée.
et

,
l'inégalité

et
or
et
e
alors
noté
t
e
main
norme
.
la
2.
de
donc
,
déduit
la
On
norme
donc
sur
,
munit
p
On
Soit
1.
:
.
le.
Soit
norme
1.3
est
dénie
.
p
,
ar
:
M (IR) kABk≤kAkkBkN
A B M (IR)N
NIR kk
M (IR) kk kkN
NM (IR) kAk = sup{kAxk; x∈ IR ,kxk = 1}N
A∈M (IR)N
M (IR) kkN
A∈M (IR)N
NkAxk≤kAk kxk, ∀x∈ IR
NkAk = max kAxk ; kxk = 1, x∈ IR kAxk NkAk = max ; x∈ IR \{0}kxk
kk
xNx∈ IR \{0} y = kyk = 1 kAyk≤kAkkxk
kAxk ≤kAk kAxk≤kAk kxk x = 0kxk
Ax = 0 kxk = 0 kAxk = 0 kAxk≤kAk kxk
N
L'application ϕ IR IR ϕ(x) = kAxk
NS = {x ∈ IR | kxk = 1}1
N NIR ϕ x ∈ IR0
kAk =kAx k0
kAxk x x
=kA k ∈S1kxk kxk kxk
x = 0
A = (a ) ∈M (IR)i,j Ni,j∈{1,...,N}
N
IR kk M (IR)∞ N
kk∞
NX
kAk = max |a |.∞ i,j
i∈{1,...,N}
j=1
N
IR kk M (IR)1 N
kk1
NX
kAk = max |a |1 i,j
j∈{1,...,N}
i=1résultat
.

On
ou
munit
tel
3.
famille
que

déduit
de
de
que
la
On
norme
our
en

On
alors
:
.
donc
induite
et

a
ectral
on
y
Comme
et
Soit
r
.
la
a
que
de
base
la
e
norme
Soit
induite
Démonstration


orr
norme
es-
e
p
le
ondante,
fait
noté
Elle
e
ra
aussi
induite
on
Prop
hoisi,
et

end
bien
.
.
el
bien
sp
si
de
que
on
trons
,
Mon

.
et
Soit
existe
.
pr
de
donné
et
osition
de
le
end
Soit
dép
matric
norme
é

et
que
,
(1.2.4)
le
La
A
démonstration
,
de
la

preuv
prop
prop
osition
jet
fait
page
l'ob
site
jet
ximation
de
on

une
3

page

40
1.6
1.2.2
sp
Ra
induite)
y
et
on
(qui
sp
une
ectral
7
Dénition
app
1.4
le
(V
ayon
aleurs
e
propres
al
et
dénit
ra
quantité
y
,
on
p
sp
Soit
ectral)
telles
Soit
de
Notons
une
base
de
la
une
dans
il
de
valeur
tes
opr
osan
de

1.7
une
Prop
matric
1.5
e
lemme
inversible.
par
On
,
app
:
el
une
le
e
valeur
arr
pr
e
opr
onque
e
soit
de
vérie
les
une
tout
matriciel
t
(induite
son
non).
les
lors

noté
tel
sur
qu'il
norme
existe
que
,
La
par
e
sur

norme
osition
une
l'ob
,
de
alors
5
6
41.
dénit

On
un
tel
d'appro
que
du
.
y
de
sp
base
par
une
norme
forme
bien
.
hoisie,
L'élément
v
famille
:
est
osition
app
(Ra
elé
on
ve
ectral

norme
pr
Soient
opr
)
e
de
de
dép
La
sur
asso
norme

existe
à
Il
.
.
NIR kk M (IR)2 N
kk2
1t 2kAk = (ρ(A A)) .2
A∈M (IR)N
A λ ∈ Cl
Nx ∈ Cl x = 0 Ax = λx x A
λ A ρ(A) = max{|λ|; λ∈ Cl,
λ A}
A∈M (IR) kkN
ρ(A)≤kAk.
N
A∈M (IR) ε> 0 IR A εN
M (IR) kk kAk ≤ρ(A)+εN A,ε A,ε
A∈M (IR)N
N
(f ,...,f ) Cl (λ )1 N i,j i,j=1,...,N,j≤iP
Af = λ f . η ∈]0,1[ i = 1,...,N e =i i,j j ij≤i
Ni−1η f (e ) Cli i i=1,...,NPNN 1/2IR kxk = ( α α ) α xi i ii=1
(e ) . A ηi i=1,...,N
ε > 0 η kAk ≤ ρ(A) + εP
x = α e .i ii=1,...,N X
i−j
Ae = η λ e ,i i,j j
1≤j≤i
N N NX X X X
i−j i−jAx = η λ α e =. η λ α ei,j i j i,j i j
i=1 j=1 i=j1≤j≤i
N N NX X X
2 i−j i−jkAxk = η λ α η λ α ,i,j i i,j i
j=1 i=j i=jque
est
une

le
.
de

le
ve
A
aux
des
gaux
main
é
arr
e
du
matric
matriciel
la
2.
de
et
olonnes
la

e

utile
ve
8
les
ma-

onque,
,
1
lors
:
A
le
.
p
dans
e
diagonalisable
e
,
tel
e
e
dr
Soit
d'or
es.
e
est
é
our
arr



le
théorème
el
9
é
l'ob
r
e
e
e
matric
il
une
ase
Soit
oin
1.10
La
Lemme
de
6
une
.

our
toute
p
e,
que
la
tels
une

inversible
ément
la

que
for
les
as
de
(p
la
els
norme
é
)
r

des
De
et
des
ase
pr
b
dans
une
tard
existe
t,
il
l'étude
si
On
dans
Nous
diagonalisable
t
est
nous
que
page
Comme

dit
jet
On
une
.
tric
e

dr
é
d'or

e
alors
,
existe
on
b
en
fait

t
que
p
:
démonstration
é
1.
arr
Démonstration

.
le
et
el
famil
é
de
r
omplexes
e
norme
matric
our
une
alors
Soit
singulièr

forme
1.9
de
Dénition
matric
Matrices
Si
1.2.3
et
.
est
que
matric
t
lors
obtien
.
on
le
1.6,
tel
osition
que
prop
soit
la
identité
t
matric
utilisan
induite,
en
matriciel
D'où
une
le
1.
résultat,
forme
en
de
prenan
1.8
t
itérativ
donc
plus
tel
métho
que
l'étude
et
valeur
propre,
opr
aleur
de
v
p
est
tout
alors
plus
singulière,
ainsi
est
tionnemen
matrice
du
la
dans
.
.
Lemme
admettra
1.7
lemme.
(T
donnons
Si
tenan
d'une
un
matrice)
qui
Soit
sera
2.
42.
N NX X X
2 k+ −2jkAxk = λ λ α α + η λ λ α α .j,j j,j j j k,j ,j k
j=1 j=1 k, ≥j
(k, )=(j,j)
η∈]0,1[
2 2 3 2 2kAxk ≤ρ(A)kxk +N ρ(A) kxk η.
3 2η ηN ρ(A) <ε
riangularisation A∈M (IR)N
(f ,...,f ) Cl1 N P
(λ ) Af = λ f + λ f .i,j i=1,...,N,j=1,...,N,j<i i i,i i i,j jj<i
λ A i∈{1,...,N}i,i
Théorème Id+A
Id M (IR)N
A∈M (IR) kAk< 1 Id+AN
1−1k(Id+A) k≤ .
1−kAk
Id+A∈M (IR) kAk≥ 1N
kk
Id +A ∈ M (IR) λ = −1N
kAk ≥
ρ(A)≥ 1
diagonalisables
diagonalisable) A
n A IR (φ ,...,φ )1 n
λ ,...,λ Aφ = λ φ i =1 n i i i
1,...,n
A n
−1IR A =P diag(λ ,...,λ )P P1 n
φ ,...,φ1 n


ℓ ℓ
ℓSoit
tel
que
Soit
applic
.
duit
la
immédiate
matrice
(ou
dénie
outil
(de
o
manière
9
unique)
pro
par
a
.
une
.
On
:
La
donc
suite,
a
sur
On
ar
,
dans

déni
.
nique
diagonaux

ts
our

et

e
de
A
diagonale
est
matrice
e
la
sur
désigne
réelles

en
,
les
alors
ac
est
dimension
la
air
base
muni

i.e.
de
et
a
.
On
de
.
et
,
scalaire

,
que
Dans
:
.
a
que
On
bien
.
que
dans
de
de
ase
ordonnées
il

,
des


ose
.
dans
La
liné
matrice
Soit
est
une
est
des
app
est
elée
utilisera
matrice
dans
de
particulier
passage
Lemme
de
un
la
ve
base
sc
de
:

Ce
première
liné
la
dénie
t
pr
don
alair
dans
applic

ation
base
vérie
de
Si
passage
par
de
est
matrice
sorte
à
:
la
de
base

une
duit
existe
le
Il

:
le
algébrique
:
terprétation
Conséquence
In
tout
.
p
et
On
que
donc
tels
tels
et
)
existe
le
;
(c.à.d.
la
Démonstration
il
orthonormé
-ème
b

existe
de
lors
t,
.
est
que


des
symétrique,

que
osan
supp
tes
.
de
de
précéden
air
lemme
ation
dans
une
la
,
base
norme

).
le
induit
ar
matrices
P
symétriques
symétrique.
un
linéaire
qu'on
est
souv
Donc
t
:
la
et
en
linéaire,
dans
est

.
1.11
La
e
matrice
esp
:
e
est

évidemmen
alair
t
de
in
nie
v
duit
ersible,
pr
et
e
on
,
p
est
eut
p
écrire
,
:
d'un
par
o
dans
sc
de
e
nie
d'une
dé-
ation
l'application
de
alors
l'applic
symétrique,
:
matrice
qui
une
est
P Pe =φi i
n(e ) IR (e ) =δi i=1,...,n i j i,j
P (e ) (φ )i i=1,...,n i i=1,...,n
i P φi
(e ,...,e )1 N
P
−1Aφ =AP e =λ φ ,i i i i
−1 −1
PAP e =λ P φ =λ e .i i i i i
−1 −1PAP = diag(λ ,...,λ ) A =P diag(λ ,...,λ )P1 n 1 n
diagonalisation
E IR dimE =n

n∈ IN
E×E→ IR,
(x,y)→ (x|y) ,E
∀x∈E,(x|x) ≥ 0 (x|x) = 0⇔x = 0,E E
2∀(x,y)∈E ,(x|y) = (y|x) ,E E
∀y∈E, E IR, x→ (x|y) .Ep
E kxk = (x|x) .E
T E E T
2(T(x) | y) = (x | T(y)) ∀(x,y) ∈ EE E
(f ...f ) E (f ,f ) = δ (λ ...λ ) ∈1 n i j E i,j 1 n
n
IR T(f ) =λ f i∈{1...n}i i i
N
E = IR
t tx = (x ,...,x ) y = (y ,...,y ) (x|y) =xy =1 N 1 N EPN
x y A∈M (IR) Ti i Ni=1
tE E T(x) =Ax (Tx|y) =Axy =xA y =
xAy = (x | Ty). T
(f ...f ) (λ ...λ )∈ IR Tf = Af = λ f ∀i∈{1,...,N}1 N 1 N i i i i
2f f =δ ,∀(i,j)∈{1,...,N}i j i,j
P (e ,...,e )1 N
(f ,...,f ) P1 N
−1f (e ...e ) Pe =f P APe =i 1 N i i i
−1 −1P Af = P (λ f ) = λ e = diag(λ ,...,λ )e diag(λ ,...,λ )i i i i i 1 N i 1 N
λ ,...,λ1 N 
λ 0i −1P AP = =D. 
0 λN