Cours-FI-VII

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• Publié par: Lalip
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4.4. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN 147
Exercice 4.3.4 Dans le modele de marche decrit dans l’exercice 4.3.2, un agent nancier emet
une option de vente de fonction de paiement reactualisee

2
f = 7 S2
+
Determiner le prix de cette option, et son portefeuille de couverture.
4.4 Modele de Cox-Ross-Rubinstein
4.4.1 Introduction
Le modele de Cox-Ross-Rubinstein (en abrege CRR) est une simpli cation de modele
binomial etudie dans la section 4.3. Il represente un marche nancier elementaire, et
pour le moins simpliste, dans lequel le rendement instantane des actifs risques sont a
tout instant a valeurs dans le m^eme espace a deux points
1 2 2
S = U 2fb; hgdef.k k2Sk
Autrement dit, nous avons
2 2 2
S = S (1 + U )k k 1 k
Les valeurs b, et h, representent une baisse, ou une hausse du rendement. On conviendra que
ces uctuations sont telles que
0 < 1 + b < 1 + h
Comme dans le modele binomial, le rendement de l’actif sans risque est suppose constant,
avec
11 1 1S = 1 et S = U = rdef.0 k k1S
k
Autrement dit, nous avons
1 1 1 k80 k n S = S (1 + U ) = (1 + r)k k 1 k
2Ce modele CRR est bien un cas particulier du modele binomial, ou l’actif risque Sk
ne peut prendre que deux valeurs possibles, sachant l’information accumulee Fk 1
jusqu’ a cet instant
2 2 2S 2 fS (1 + b); S (1 + h)gk k 1 k 1 148 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES
Les valeurs reactualisees des actifs risques sont donnees par les formules de recurrence usuelles
2 2 2
S = S Sk k k 1
2 2 2 22S S S (1 + U ) Sk 1 k 1 k k 1k= =
k k 1 k 1 k 1(1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) 2 2S (1 + U )k 1 k= 1
k 1(1 + r) (1 + r)
2
2 U rk= S k 1 1 + r
ou encore
2
2 2 (1 + U ) 2 1k 2 2S = S = S (1 + U ) : : : (1 + U )k k 1 0 1 kk(1 + r) (1 + r)
4.4.2 Techniques d’arbitrage
Examinons le marche CRR lorsque les rendements des actifs satisfont l’une des
conditions suivantes :
1. r < b < h
2. b < h < r
Dans les deux cas, il est tres aise de gagner beaucoup d’argent a coup su^r, et sans
apport initial !
Par exemple dans la premiere situation, les actifs risques ont un rendement superieur a celui
des actifs sans risques. C’est le cas lorsque les comptes epargnes ont des taux plus faibles que
les rendements d’actions plus risquees. Dans ce cas, il faut emprunter a la banque, ou vendre a
decouvert le maximum d’actif non risques
1 2 2 = S1 1 0
2pour acheter le plus possible d’actifs risques. La valeur d’acquisition du portefeuille initial1
est tout simplement nulle
2 2 2 2
V ( ) = ( S ) 1 + S = 00 1 0 1 0
Sans reamenager notre portefeuille, on attend patiemment jusqu’ a la date n
1 2 2 2 281 k < n ( ; ) = ( S ; )k k 1 0 1
2 2 2A la date n, on revend nos parts d’actifs risques, pour rembourser les S parts d’actifs1 1 0
non risques empruntees initialement. Autrement dit, on utilise a nouveau la strategie
1 2 2 2 2( ; ) = ( S ; )n n 1 0 14.4. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN 149
La valeur du portefeuille au temps n est donnee par la formule
2 2 n 2 2 2 2V ( ) = ( S ) (1 + r) + (S (1 + U ) : : :(1 + U ))n 1 0 1 0 1 n
2 2 n n S ((1 + b) (1 + r) )1 0
2 2 n 1 n S (1 + b) (b r)1 0
La derniere sous estimation est deduite de la minoration
2 n n n 18(x; y)2 R x y + n x (x y)+
4.4.3 Neutralisation des risques
On conviendra dans cette section que les rendements des actifs sont tels que
b < r < h
On convient que l’actif risque a une valeur initiale connue
2S = s00
nOn note
= fh; bg l’ensemble des aleas elementaires associes aux tendances aleatoires des
2rendements des actifs risques. Les v.a. ( U ) sont de nies par les fonctions coordonnees1knk
canoniques
28! = (! ) 2
81 k n U (!) = !k 1kn kk
On note en n
2 2F = ( U ; : : : ; U )k 1 k
la ltration d’information connue a chaque instant 1 k n, avec la conventionF =f;;
g.0
?Proposition 4.4.1 Il existe une seule probabilite P sur l’espace des aleas ltr e
2
( ; (F ) ) sous laquelle les prix reactualises de actifs risques (S )k 0kn 0knk
? 2forment une martingale. De plus, sous P , les v.a. de rendement ( U ) sont0knk
independantes et equidistribuees selon la loi
h r? 2 ? 2
P ( U = b) = 1 P ( U = h) =1 1
h b 150 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES
Preuve:
?L’existence de P resulte de la serie d’equivalences suivantes

22 2 2U r? ? kE (S jF ) = E S jF = Sk 1 k 1k k 1 k 11+r
? 2() E ( U jF ) = rk 1k
? 2 ? 2() b P ( U = bjF ) + h P ( U = hjF ) = rk 1 k 1k k
? 2 r h h rP ( U = bjF ) = =k 1k b h h b() ? 2 h r r b
P ( U = hjF ) = 1 =k 1k h b h b
? 2La construction de P decrite ci-dessus souligne le fait que U est une v.a. independante dek
2 2F , et a fortiori des v.a. de rendements passes U ; : : :; U . Ceci demontre l’unicite dek 1 1 k 1
?
P , et acheve ainsi la preuve de la proposition.
4.4.4 Couverture d’options
On se place dans le marche nancier CRR neutralise decrit dans la section 4.4.3. Un emetteur
d’une option propose une option, de fonction de paiement reactualisee a l’echeance n, et donnee
par
f 2
f = = g(S )nn(1 + r)
ou g designe une fonction de R dans lui m^eme. A n d’honorer son contrat, il souhaite trouver+
2un portefeuille de couverture (previsible et auto nanc e) ( ) , ainsi qu’un portefeuille1knk
initial V ( ), tels que0
nX 2 22V ( ) = V ( ) + S = g(S )n 0 k k n
k=1
Pour construire ce portefeuille, on utilise les techniques de contr^ ole de martingales
developpees dans la section 3.2, du premier chapitre. On commence donc par introduire la
suite de fonctions (g ) de nies par les formules de recurrence inversek 0kn
2 2
g (S ) = g(S )n n n
2 2 2 2 2? ?g (S ) = E g (S )j S = E g(S )j Sk k+1k k+1 k n k4.4. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN 151
Ces fonctions peuvent ^etre decrites explicitement, selon les formules
2 2 2?g (S ) = E g (S )j Sk k+1k k+1 k 21 + U2 2k+1?= E g S j Sk+1 k k1 + r
1 + b h r 1 + h r b2 2
= g S + g S k+1 k+1k k1 + r h b 1 + r h b
(4.2)
Plus precisement, en terme de la loi binomiale de comptage des hausses et baisses, on a pour
tout indice temporel 0 k n
2 2 2?g (S ) = E g (S )j Sk nk n k 2 2 21 + U 1 + U 1 + U2 2? k+1 k+2 n= E g S : : : j Sn k k1 + r 1 + r 1 + r ! n k l (n k) lX 1 + b 1 + h2
= g Sk 1 + r 1 + r
l=0 l (n k) l
h r r bl Cn k h b h b
D’apres le theoreme 3.2.1, le portefeuille de couverture, et la valeur initiale du
portefeuille, sont donnes par les formules8 2> V ( ) = g (S ) = g (s )0 0 0 0 0><
2 2 (4.3)1+h 1+bg S g Sk k> k 1 k 11+r 1+r 2> = k 2: h bSk 1 1+r
Comme d’habitude, la condition d’auto nancemen t permet de trouver les parts d’actifs non
risques qu’il convient d’acquerir pour couvrir l’option
2 21 2 1 2V ( ) = + S = + Sk 1 k 1 k 1k 1 k 1 k k
21 2=) = V ( ) Sk 1k k k 1
D’autre part, d’apres le theoreme 3.2.1, les valeurs du portefeuille de couverture reactualise sont
donnees par les fonctions (g ) . Plus precisement, nous avonsk 0kn
280 k n V ( ) = g (S )k k k 152 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES
On en conclut que
2 21 2 = g (S ) Sk 1k k 1 k k 1
1 + r 1 + h 1 + b2 2 2
= g (S ) g S g Sk 1 k kk 1 k 1 k 1
h b 1 + r 1 + r
En utilisant les formules de recurrence inverse (4.2), on a aussi
2 1 + b h r 2 1 + h r b1 = g S + g S k kk k 1 k 1
1 + r h b 1 + r h b
1 + r 2 1 + h 2 1 + b
g S g Sk kk 1 k 1h b 1 + r 1 + r
1 2 1 + b 2 1 + h
= (h + 1) g S (b + 1) g Sk kk 1 k 1h b 1 + r 1 + r
4.4.5 Prix d’options
?Comme le portefeuille reactualise est une P -martingale, nous avons
2? ?V ( ) = E (V ( )) = E (g(S ))0 n n
0 0 2D’autre part, pour toute strategie (V ( ); ( ) ), nous avons0 1knk
2 20 0 ? 0 ?V ( ) g(S ) =) V ( ) = E (V ( )) E (g(S ))n 0 nn n
2 20 0 ? 0 ?V ( ) g(S ) =) V ( ) = E (V ( )) E (g(S ))n 0 nn n
Il en decoule les majorations suivantesn o
2
C (f) = sup x2 [0;1) : 9( ) t.q. V ( ) = x et V ( ) g(S )? k 0kn 0 n n
2? E (g(S ))n
et
2? ?
E (g(S )) C (f)n n o
2
= inf x2 [0;1) : 9( ) t.q. V ( ) = x et V ( ) g(S )k 0kn 0 n n
Ceci entra^ ne que
2? ?C (f) E (g(S )) C (f)? n
La strategie de couverture
2(V ( ) ; ( ) )0 1knk
construite dans la section 4.4.4, veri e ces deux jeux de sous/sur couverture. Par consequent,
nous avons
2? ?C (f) V ( ) = E (g(S )) C (f)0 ?n4.4. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN 153
Finalement, on en conclut que
2? ?
V ( ) = E (g(S )) = C (f) = C (f) = g (s )0 ? 0 0n
4.4.6 Exercices
Exercice 4.4.1 On considere un marche nancier CRR ou les actifs non risques sont plus
rentables que les actif risques (i.e. b < h < r). C’est le cas de conjonctures economiques ou les
comptes epargnes bancaires ont des taux plus eleves que les rendements d’actions plus risquees.
Developper une strategie d’arbitrage dans ce marche nancier.
Exercice 4.4.2 On considere un marche nancier CRR ou les actifs non risques et risques
sont tels que
b < r < h
?Decrire explicitement la mesure martingale P sur
.
?Exercice 4.4.3 Montrer que l’existence de P entraine qu’un investisseur ne peut arbitrer le
marche nancier.
Exercice 4.4.4 On considere un marche nancier CRR avec des rendements d’actifs tels que
b < r < h. La statistique d’evolution des prix d’actifs associees a une conjoncture economique
a tendance a la hausse, est representee par