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Employabilité, métiers et formations

HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientiﬁque.

p Ceproble`meapourobjetl’´etudedespointsenlesquelsuneapplicationline´airedeRdansR atteintsonmaximumsurl’ensembledessolutionsd’unsyste`med’in´equationslin´eaires. p Pour tout entierpstrictement positif, on identiﬁeraRetMp,1(R).

PartieI:Pre´liminaires On dit qu’une partieKnon vide deRlee´rn’iqursloeustxileetsamoj´reeMtel que

∀x∈K, x≤M Unr´eelMdejomantraleppnuele´tia’sstneciraﬁgelais´nv´eK; on dit aussi queMmajoreK. Dans ce qui suit on suppose queKeeidnvnoiertpaneutsedeeroe´mtjaR. SoitMun majorant deKeta´el´untdeemenKs(tee´nﬁO.dnssiutielun)n∈Net (vn)n∈Npar    un+vnun+vn  n, vnmajore passi neK u0=a 2 2 et∀n∈N,(un+1, vn+1) =   un+vn v0=M un,sinon 2 1)On suppose, dans cette question seulement, queK= [0,1[∪[3,4[, a= 0 et queM= 10. De´terminer(un, vn) pour tout entiernpatrapanenat`{1,2,3,4}. 2).eraluasiamro´ne´gsacevnrOesd´ntie a)Montrer que :∀n∈N, un≤vn. b)Montrer que les deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Ntnseteocvnreegtnsontadjacelee´rnusrevb. c)Montrer que pour tout entier positifn,vnest un majorant deK, puis quebmajoreK. d)ntsde’´el´emeenustideelixtsueertr’iquonMKqui converge versb. 0 e)On suppose quebest un majorant deK. 0 •Montrer queb≥b. •ueireq´eduEndbenxdautinixioisehcapdsepdndee´aetMpourvu queairtanpepeana` Ket queMmajoreK. D´esormais,onnoteraαKle majorantbdeKainsi obtenu.

´ Partie II : Etude d’un exemple p 2 22 On munitRieﬁnrparonasedidcleume´eednnie||(x, y)||=x+ypour tout (x, y) appartenant 2 `aR. 1)sleer´esbromsnoitrreocsndie`nOa, b, c, tels que (a, b)6= (0,sioreltsolsrinat´dﬁe).On0 ensembles :   2 D= (x, y)∈R;ax+by+c= 0   2 2 R+= (x, y)∈R;ax+by+c >0 etR−= (x, y)∈R;ax+by+c <0 2 a)Montrer queR+est une partie ouverte deR.

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