ENS BCPST Cursus et débouchés

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

porthos

Nombre de lectures

352

Langue

Français

ENS BCPST Cursus et débouchés

Voir

Publié par

porthos

Nombre de lectures

352

Langue

Français

Employabilité, métiers et formations

HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientiﬁque.

p Ceproble`meapourobjetl’´etudedespointsenlesquelsuneapplicationline´airedeRdansR atteintsonmaximumsurl’ensembledessolutionsd’unsyste`med’in´equationslin´eaires. p Pour tout entierpstrictement positif, on identiﬁeraRetMp,1(R).

PartieI:Pre´liminaires On dit qu’une partieKnon vide deRlee´rn’iqursloeustxileetsamoj´reeMtel que

∀x∈K, x≤M Unr´eelMdejomantraleppnuele´tia’sstneciraﬁgelais´nv´eK; on dit aussi queMmajoreK. Dans ce qui suit on suppose queKeeidnvnoiertpaneutsedeeroe´mtjaR. SoitMun majorant deKeta´el´untdeemenKs(tee´nﬁO.dnssiutielun)n∈Net (vn)n∈Npar    un+vnun+vn  n, vnmajore passi neK u0=a 2 2 et∀n∈N,(un+1, vn+1) =   un+vn v0=M un,sinon 2 1)On suppose, dans cette question seulement, queK= [0,1[∪[3,4[, a= 0 et queM= 10. De´terminer(un, vn) pour tout entiernpatrapanenat`{1,2,3,4}. 2).eraluasiamro´ne´gsacevnrOesd´ntie a)Montrer que :∀n∈N, un≤vn. b)Montrer que les deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Ntnseteocvnreegtnsontadjacelee´rnusrevb. c)Montrer que pour tout entier positifn,vnest un majorant deK, puis quebmajoreK. d)ntsde’´el´emeenustideelixtsueertr’iquonMKqui converge versb. 0 e)On suppose quebest un majorant deK. 0 •Montrer queb≥b. •ueireq´eduEndbenxdautinixioisehcapdsepdndee´aetMpourvu queairtanpepeana` Ket queMmajoreK. D´esormais,onnoteraαKle majorantbdeKainsi obtenu.

´ Partie II : Etude d’un exemple p 2 22 On munitRieﬁnrparonasedidcleume´eednnie||(x, y)||=x+ypour tout (x, y) appartenant 2 `aR. 1)sleer´esbromsnoitrreocsndie`nOa, b, c, tels que (a, b)6= (0,sioreltsolsrinat´dﬁe).On0 ensembles :   2 D= (x, y)∈R;ax+by+c= 0   2 2 R+= (x, y)∈R;ax+by+c >0 etR−= (x, y)∈R;ax+by+c <0 2 a)Montrer queR+est une partie ouverte deR.

Voir