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Description

Étude de l'influence d'une commandepar gradateur agissant par angle dephase sur la production d'harmoniqueet la qualité de l'énergie électriqueÉtude d'une commande [α ; π] + [α+π ; 2π] sur une charge résistive33022011000 1.570796327 3.141592654 4.71238898 6.283185307-110-220-330La tension (courbe bleu) est définit par : u(t) tel que :u(t) = U 2 sin ωtAvec U = 230 V, ω = 2πf, f = 50 HzLe courant (courbe mauve) est définit par : i(t) tel que :0 si ()kπ < θ < kπ + αi(t) =I 2sinωt si kπ + α < θ

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Extrait

Étude de l'influence d'une commande par gradateur agissant par angle de phase sur la production d'harmonique et la qualité de l'énergie électrique

Étude d'une commande [ α ; π ] + [ α + π ; 2 π ] sur une charge résistive 330

220

110

0 0

-110

-220

-330

1.570796327

3.141592654

4.71238898

La tension (courbe bleu) est définit par : u(t) tel que : u(t) = U 2 sin ω t Avec U = 230 V, ω = 2 π f, f = 50 Hz Le courant (courbe mauve) est définit par : i(t) tel que : < + ( )  i(t) =  I2si 0 n ( ω t si  s ( k i  π + k π < α < θ θ < k π k + α 1π )  ) ( ) avec θ = ω t, k ∈ Z, U = RI On peut écrit le courant : a =∞ i(t) = I 0 + I a 2 sin(a ω t −ϕ a ) ∑ a = 1 Dans la suite de l'étude, I 0 = 0, I a = A a 2 + B a 2 , et tan ϕ a = − A B a a Décomposition en série de Fourier du courant : A a = 2 2 π 2 π ∫ ( i(t).sin ( a θ d ) θ = 2 π   π ∫ I 2sin θ .sin ( a θ ) d θ + 2 π ∫ I 2sin θ .sin ( a θ ) d θ   0 2  0 π  A a = I 2  π ( sin θ .sin ( θ ) 2 π ( ( )    ∫ a d θ + ∫ sin θ .sin a θ d θ π  α α + π 

6.283185307

I 2 π 1 2 π A a =  ( cos ( θ − a θ ) cos θ ( a θ )   d θ + 1 cos ( θ − a θ ) − cos θ ( + a θ d θ    α ∫   −+  α + ∫ π    ( )       2 π 2 2 I 2   π cos 1 a θ − cos 1 + a θ d θ + 2 π ( cos 1 − a θ − cos 1 + a θ d ) θ   A a = 2 π  α ∫ ( ( − ) ) ( ( ) α + ∫ π ( ( ) ( ( 

A a = I 2 π 2         sin ( 1 1 − − a a θ )    ) π α −    sin ( 1 1 + + a a θ )    ) π α +    sin ( 1 1 − − a a θ )    ) 2 α + π π −    sin ( 1 1 + + a a θ )  )   α 2 + π π         sin ( 1 − a π ) ) − sin ( 1 ( − a α )   −   sin ( 1 + a π ) ) − sin ( 1 + ( a α )    I 2   1 − a   1 + a   A a = 2 π   sin ( 1 − a 2 ) π ) − sin ( 1 ( − a α ) + ( π )   − )   sin ( 1 + a 2 ) π ) − sin ( 1 + ( a α ) + ( π )   ) +    1 − a   1 + a      − sin ( 1 − a α ) )   −   − sin ( 1 + a α ) )    I 2   1 − a   1 + a    = A a 2 π  − sin ( 1 − a ) α ( + π ) − − sin ( 1 + a ) α ( + π )  +        1 − a   1 + a  A a = I 2    − sin ( 1 − a α ) ) − sin ( 1 ( − a α ) + ( π )   + )   sin ( 1 + a α ) + ) sin ( 1 + ( a α ) + ( π )  )    2 π  1 − a   1 + a   + +  2 si  ( 1 a α ) ) ( 1 + ( a α ) + ( π )  )  ( 1 + a α ) ) − ( 1 + ( a α ) + ( π )  )  n   cos    I 2 1 a  2   2   +  A a = 2 π − 2 sin  ( 1 a α ) ) ( 1 ( a α )( π )  co ) s  ( 1 a α ) ) ( )     − + − +     − − ( 1 − a α + ( π )  )  1 − a 2 2       + + + π + a α + a π   α + a α − α − π − a α − a π   2 sin  α a α α  cos    I 2  1 + a  2   2  A a    =   −++−−  −−−++  2 π − 2 sin  α a α α π a α a π  cos  α a α α π a α a π    1 − a  2   2    1 sin  α ( 2 + 2a + ) π 1 + ( a  ) − π ( 1 + a )    cos     A a = I 2 1 + a  ( 2 ) (  )  2 ( )   π  − 1 sin   α 2 - 2a + π 1 - a   cos − π 1 - a      1 − a  2   2   = A a   ( − 1 ( a ) + 1 ) I π 2   1 + 1 a sin   α ( 2 + 2a 2 + ) π 1 + ( a   ) − 1 − 1 a sin    α ( 2-2a 2 + ) π 1 - ( a     )        1   sin ( α ( 1 + a c ) os   π ( 1 + )   + sin   π ( 1 + a )   cos ( α 1 + ( a )    a A a = ( 1 ( ) a 1 ) I 2   1 + a   2   2    − + π  − 1   si ( α ( 1 -1 a c ) os   π ( 1 - a   ) + cos ( α 1 - ( 1 a s ) in   π ( 1 - a   )   n  1 − a   2   2    A = ( )  ( ) ( (   ) −   ( ( )   (   )    a   ( − 1 a ) + 1 I π 2  1 + 1 a    sin    2 π 1 + a    cos α 1 + a  1 − 1 a  cos α 1 -1 a sin  π 2 1 - a     A a =

2 2 π ) 1  π 2 π  = ) ( ) ( )  B a    ∫ ( i(t .cos ( a θ d θ =  ∫ I 2sin θ .cos a θ d θ + ∫ I 2sin θ .cos a θ d θ 2 π 0 π  0 π   π 2 π   B a = I π 2 ∫ ( sin θ .cos ( a θ d ) θ + ∫ ( sin θ .cos a ( θ d ) θ   α α + π 

I 2   π   1 sin θ a θ sin θ − a θ   d θ + 2 π   1 sin θ + a θ + sin θ − a θ   d θ  π ∫ + + ∫ B a =  α  2 ( ( ) (  ) α + π  2 ( ( ) (  )    π π 2 π 2 π  B a = I 2  ∫ ( sin ( 1 + a θ ) d ) θ + ∫ ( sin 1 ( − a θ d ) θ + ∫ ( sin 1 + ( a θ d ) θ + ∫ ( sin 1 ( − a θ d ) θ  π  α α α + π α + π 

I 2 − cos ( 1 + a θ )  π − cos 1 − a θ  π − cos 1 + a θ 2 π cos 1 a θ 2 π =   + + B a π        1 + a   α  1 − ( a )   α    1 + ( a )    α + π +    − 1 − ( a − )    α π      +   cos ( 1 + a α ) ) − cos ( 1 + ( a π )   cos ( 1 − a α ) ) − cos ( 1 ( − a π )    +    I 2  1 a 1 a  B a =    +     −   π   cos ( 1 + a ) α ( + π ) − cos ( 1 + ( a 2 π ))   cos ( 1 − a ) α ( + π ) − cos ( 1 ( − a 2 π ))  +  +       1 + a   1 − a     cos ( 1 + a α ) ) − − ( 1 ( a + ) 1 )     cos ( 1 − a α ) ) − − ( 1 ( a + ) 1 )    + I 2  1 + a 1 a  B a        −   = π   cos ( 1 + a ) α ( + π ) − 1   cos ( 1 − a ) α ( + π ) − 1   +    +      1 + a   1 − a   s α    co ( 1 + a ) + ) − ( 1 a + ) cos ( 1 + ( a α + ) π ( ) − 1   )  B a = I 2   1 + a   π    cos ( 1 − a α ) + ) − ( 1 a + ) cos ( 1 − ( a α + ) π ( ) − 1   ) +   1 − a    1   2cos   ( 1 + a α ) + 1 + ( a α ) + ( π   co ) s   ( 1 + a α ) − 1 + ( a α ) + ( π   + ) ( − 1 a ) − 1      B a = I π 2  + 1 + a 1    2co  s   ( 1 − a α ) 2 + ) ( 1 ( − a α ) +  ( π  )   c ) os  ( 1 − a 2 α ) ) − ( 1 ( − a  α )( π )   + ) ( −  1 a ) − 1   +   1 − a   2   2     1   2cos   α + α a + α + π + a α + a π   cos  α + a α − α − π − a α − a π  + ( − 1 a ) − 1      B a = I 2   1 + a   2   2     − + + − −  α − a α − α − π + a α a π π  + 1   2cos  α a α α π a α a π  cos   +   + ( − 1 a ) − 1    1 − a   2   2     1   2cos   ( 2 α + π ) 1 + ( a   c ) os   − π ( 1 + a )   + ( − 1 a ) − 1     B I 2 1 + a   2   2   =  a    ( )( ) ( )  ( a )   π  + 1 2cos   2 α + π 1 - a   cos   − π 1 - a + − 1 − 1  1 − a   2   2   

1

0.75

0.5

0.25

B a = I 2  1 ( − 1 a ) − 1 + 1 ( − 1 a ) − 1  π  1 + a 1 − a  

Puissance instantanée p(t) : La puissance instantanée est définie par : p(t) = u(t) . i(t) Puissance moyenne P : La puissance moyenne est définit par : p(t) 1 2 π .i(t) dt P = = 2 π 0 ∫ ( u(t) ) 1 2 0 π ) d θ 2 2 π u(t).i(t) d θ 1 π π u(t).i(t) d θ P = p(t) = ∫ ( u(t).i(t ) = ∫ ( ) = ∫ ( ) 2 π π 0 α P 1 π U 2 sin θ .I 2 sin θ d θ = 2UI π sin 2 θ d θ = 2UI π 1 − cos ( 2 θ ) d θ = π ∫ π ∫ π ∫ 2 α α α P UI  θ − sin ( 2 θ  ) π = UI  π − sin ( 2 π ) − α + sin ( 2 α )  = UI  π − α + sin ( 2 α )  =  π  2   α π  2 2   π  2  P UI  − sin ( 2 α  ) = π α + π  2   Courbe de la puissance réduite en fonction de l'angle de commande α P

0 0 Valeur efficace Y eff :

1.570796327

3.141592654

La valeur efficace d'un signal périodique alternatif est définie par : I eff = a =∞ (   I 2 ) ∑ a a = 1

Taux du rang d'harmonique H a : La valeur du taux du rang d'harmonique est définie par : H a = I a I eff

Taux de distorsion THD : La valeur du taux de distorsion est définie par : a =∞ 2 ∑ I a a = 2 THD = a =∞ I 2 ∑ a a = 1

Puissance apparente S : La puissance apparente est définie par : S = U eff . I eff = U . I eff

Facteur de puissance FP : Le facteur de puissance FP est défini par : FP = P S

Facteur de déphasage cos ϕ : Le facteur de puissance est définit par : = P 1    cos ϕ 1 S 1

et par

tan ϕ 1 =  B A 1 = 1

Étude d'une commande [0 ; α ] + [ π ; π + α ] sur une charge résistive 330

220

110

0 0

-110

-220

-330

1.570796327

3.141592654

4.71238898

La tension (courbe bleu) est définit par : u(t) tel que : u(t) = U 2 sin ω t   Avec U = 230 V, ω = 2 π f, f = 50 Hz Le courant (courbe mauve) est définit par : i(t) tel que : i(t) =   I 2sin ( ω t ) si ( k π < θ < k π ( + α ) )  0 si ( k π + α < θ < k + 1 π ) avec θ = ω t, k ∈ Z, U = RI On peut écrit le courant : a =∞ i(t) = I 0 + ∑ I a 2 sin(a ω t −ϕ a ) a = 1 Dans la suite de l'étude, I 0 = 0, Décomposition en série de Fourier : 2 π = A a    2 2 π ∫ ( i(t).sin ( a θ d ) θ 0

2 2 π i s θ B a = 2 π 0 ∫ ( (t).co ( a d ) θ

Puissance instantanée p(t) : La puissance instantanée est définie par :

6.283185307

1

0.75

0.5

0.25

p(t) = u(t) . i(t) Puissance moyenne P : La puissance moyenne est définit par : ) 1 2 π P = = ( u(t).i(t) d ) t p(t 2 π 0 ∫ 2 π π α P = p(t) = 2 1 π ∫ ( u(t).i(t) d ) θ = 2 2 π ∫ ( u(t).i(t) d ) θ = 1 π ∫ ( u(t).i(t) d ) θ 0 0 0 1 α U 2 sin θ .I 2 sin θ d θ = 2UI α sin 2 θ d θ = 2UI α 1 − cos ( 2 θ ) d θ P = π 0 ∫ π 0 ∫ π 0 ∫ 2 P = UI  θ − sin ( 2 θ  ) α = UI  α − sin ( 2 α ) − 0 + sin ( 2 × 0  ) = UI   α − sin ( 2 α )   π  2   0 π  2 2   π  2  P= UI  α − sin ( 2 α )    π  2  Courbe de la puissance réduite en fonction de l'angle de commande α P

0 0

1.570796327

Valeur efficace Y eff : La valeur efficace d'un signal périodique alternatif est définie par : a =∞ I eff = ( I 2 ) ∑ a a = 1 Taux du rang d'harmonique H a : La valeur du taux du rang d'harmonique est définie par :

3.141592654

H a = I a I eff

Taux de distorsion THD : La valeur du taux de distorsion est définie par : a =∞ ∑ I a 2 THD = a = 2 a =∞ ∑ I a 2 a = 1

Puissance apparente S : La puissance apparente est définie par : S = U eff . I eff

Facteur de puissance FP : Le facteur de puissance FP est défini par : FP = P   S

Facteur de déphasage cos ϕ : Le facteur de puissance est définit par : cos ϕ = P 1 S 1 et par

tan ϕ 1 = − A B 1 = 1