Contribution à l'étude du comportement dynamique des rotors embarqués

Duchemin Matthieu

Description

ANNEXES 106ANNEXE 1 Calculs des fonctions t , t , t , et t 1 2 3 4 1. Calcul de t (y,t) 1 22 2 2 && & &t ()y, t = u + v + w =()X + u + β (Z + w ) - γ (Y + y )1 C C C S S (A1.1) 2 2& & && & & &+Y + γ X + u - α (Z + w)+Z + w + α ()Y + y - β()X + u S S S S 2 2& & & && & & & & & &t ()y,t =X + β Z - γ Y - γ y +(u + β w)+ ( (Y + γ X - α Z ) + γ()r u - α w )1 S S S S S S S S (A1.2) 2& && & & &+Z + α Y - β X + α y +w - β uS S S S 2 22 2& & & & & &t ()y,t =()X + β Z - γ& Y + γ& y + (u& + β w ) - 2 γ& (X + β Z - γ& Y)( y - 2 γ& u& + β w) y1 S S S S S S S S S2 2& & & && & & & &+ 2 X + β Z - γ Y (u& + β w) +()Y + γ X - α Z +()γ u - α wS S S S S S S2 22 2& & & && & & & & &+ 2 Y + γ X - α Z γ u - α w +Z + α Y - β X + α y + (w& - β u)S S S S S S S S& & & & & && & & &+ 2 α Z + α Y - β X y + 2 α (w& - β u) y + 2 Z + α Y - β X w& - β uS S S S S S S S(A1.3) 2 2 2 & & & && & & & & & & &t (y, t) = [ α + γ ] y + 2 []α ()Z + w + α Y - β (X + u ) − γ (X + u - γ Y + β ()Z + w ) y1 S S S S S S S S2 2 2& & & & && & & & ()& &+ X + u + β Z + w - γ Y +Y + γ ()X + u - α (Z + w) + Z + w + α Y - β ()X + uS S S S S S(A1.4) Ou en classant les termes par ordre de grandeur : 2 22& & & & &t ()y,t = [()X + β Z - γ& Y +()Y + γ& X - α& Z + (Z + α& Y - β X ) ]1 S S S S S S2 2 2& & & && & & & & + 2 []-r X + β Z - γ Y + α (Z + α Y - β X) y +[]α + γ yS S S S S S S& && & & &+ 2 - γ u + β w + α w - β u) yS S S S& & & & ...

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• Publié par: Nizeng
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Irish

Extrait

 

 

 

 

ANNEXES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

106

   

   

1. Calcul de t 1 (y,t)

ANNEXE 1

Calculs des fonctions t 1 , t 2 , t 3 , et t 4

 

    t 1  (y, t) =u 2 C +v 2 C +w 2 C  = & X+ & u+ β & S  (Z+w)-γ & S  (Y+y) 2 A            + & Y+ γ & S  (X+u)-α & S  (Z+w) 2 + & Z+ & w+ α & S  (Y+y)-β & S (X+u) 2  ( 1.1)    t(y,t) =X & + & βZ -γ & Y -γ & y+ & u+ β & w 2 + & Y+ γ & X -α & S Z+ γ & S (r u -α & S  w) 2  (A1.2) 1 S S S S S + & Z+ α & Y -β & X+ α & + & β & 2 S   S   S y w - S u   t 1  (y,t) = & X+ β & S Z -γ & S Y 2 + γ & S 2 y 2 + & u+ β & S w 2 - 2γ & S   & X+ β & S Z -γ & S Y y - 2γ & S  u & + β & S w y +2 X & + β & S Z -γ & S Y u & + β & S w+Y & + γ & S X -α & S Z 2 + (γ & S u -α & S  w) 2 +2 Y & + γ & S X -α & S Z(γ & S u -α & S w) +Z & + α & S Y -β & S X 2 + α & 2 S y 2 +  & w -β & S u 2 & & &  &  & & +2α & S  Z+ α & S Y -β S X y+2α & S  w & -β S u y+2 Z+ α & S Y -β S X & w -β S u (A1.3)   t 1 (y, t)= & α S 2 + & γ S 2 y 2 +2 & α S   & Z+ & w+ & α S Y - & β S  (X+u) − & γ S  X & +u & - & γ S Y+ & β S  (Z+w)y

+X & +u & + & β S  (Z+w)- & γ S Y 2 +Y & + & γ S  (X+u)- & α S  (Z+w) 2 +Z & +w & + & α S Y - & β S  (X+ (A1.4)   Ou en classant les termes par ordre de grandeur :    

   

 

& &  & t 1   ( y,t ) =X & + β & S Z-γ & S Y 2 +Y+ γ & S X -α & S Z 2 +Z+ α & S Y -β S X 2 & &  &  &           +2 -r X+ β S Z-γ & S Y+ α & S  Z+ α & S Y -β S X y+ & α S 2 + & γ S 2 y 2 & & +2 - & γ S  u & + β S w+ & α S  w & -β S u y & & &  &           +2 X+ β S Z- & γ S Y & u+ β S w+Y+ & γ S X - & α S Z ( & γ S u - & α S w ) +           +u & + & βw 2 + ( & γu - & αw ) 2 + & w - & βu 2   S S S S

& Z

+

& & α & S Y -β S X w & -β S u

(A1.5)

107

u

)

2

2. Calcul de t 2 (y,t)     t 2  (y,t)=ω 2 x ω+ 2 z S & S & S & S ( S ) 2 = α &  cosψ + β sinψ + θcosΦ-α &  sinψ − βcosψsinθ + γ & ψ+ & cosθsinΦ & &  sin & cos sin ( ) cos cos 2 + α & S  cosψ + β S  sinψ + θsin αΦ + & S ψ − β S  + γψ θ & S +ψ & θ Φ (A1.6)   & & & t 2  (y,t) = & α S  cosψ + β S  sinψ + θ 2 + & α S  sinψ − β S cosψsinθ + ( & γ S + & ψ)cosθ 2  (A1.7)   Les anglesθetψet leurs dérivées sont des infiniment petits d’ordre 1. Les termes contenant des infiniment petits d’ordre supérieur à 2 sont supprimés. Ainsi les sinus et cosinus sont remplacés par leurs développement limités :   sinθ = θ +oθ 3 ≈ θ sinψψ≈ θ  (A1.8) cosθ =1−  2 +oθ 4 ≈1−  θ 2 cosψ ≈1−  ψ 2 2

2 2   t 2   ( y,t ⎜ ⎜ ⎛ α ⎝ = ) & S   ⎝ ⎜ ⎛ 1 ψ − 2 2 ⎠ ⎟ β+ ⎞ & S  ψ + θ & ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎜ + ⎜ ⎛ & α S  ψ − & β S    ⎜ ⎝ ⎛ 1− ψ 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞   θ + ( & γ S + & ψ)    ⎝ ⎛ ⎜ 1 θ − 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 2 (A1.9)   ⎞ t 2   ( y,t ⎝ ) = ⎜ α ⎛ & S  − α & S ψ 2 2 + β & S  ψ + θ & ⎞ ⎠ ⎟ 2 + ⎛ ⎜ α & S  ψ θ − β & S  θ + β & S ψ 2 2 θ + γ & S ψ+ &  − γ & S θ 2 2 −ψ &   θ 2 2 ⎟ 2   ⎝ ⎠

(A1.10)   En supprimant les infiniment petits d’ordre 3, il vient :   2 2  2  2 t 2  (y,t ⎝ =) ⎜ ⎛ & α S  − & α S ψ 2 + & β S  ψ + & θ ⎠ ⎟ ⎛⎞ + ⎜ ⎝ & α S  ψ θ − & β S  θ + & γ S + & ψ − & γ S θ 2 ⎠ ⎟ ⎞  (A1.11)   t 2   ( y,t ) = & α S 2 + & α S 2 ψ 4 4 + & β S 2  ψ 2 + & θ 2 −  & α 2 S ψ 2 +2 & α S   & β S  ψ +2 & α S   & θ −  & α S   & β S  ψ 3 −  & α S  ψ 2  θ & +2β & S  ψ θ & + α & S 2  ψ 2  θ 2 + β & 2 S  θ 2 + γ & S 2 +ψ & 2  + γ & S 2 θ 4 4 −2α & S  β & S  ψ θ 2 +2α & S  γ & S   ψ θ   & & & +2α & S  ψ θ ψ & − α & S  γ & S  ψ θ 3 −2β S  γ & S  θ −2β S  θ ψ & + β S   γ & S  θ 3 +2γ & S  ψ & − γ & 2 S  θ 2 − γ & S  θ 2  ψ & (A1.12)          

 

108

En ne gardant que les termes d’ordre 0, 1 et 2 :   t 2   ( y,t ) = α & S 2 + β & S 2  ψ 2 + & θ 2 −  & α S 2 ψ 2 +2 & α S   & β S  ψ +2 & α S   & θ +2 & β S  ψ  & θ + & β 2 S  θ 2 + & γ S 2 + & ψ 2     & & +2 & α S   & γ S   ψ θ −2β S   & γ S  θ −2β S  θ ψ & +2γ & S  ψ & − γ & S 2  θ 2 (A1.13)

  Soit t 2   ( y,t ) = α & 2 S + γ & S 2 + θ & 2 + ψ & 2 + θ 2 β & S 2 − γ & S 2 + ψ 2 β & S 2 − α & S 2 +2α & S  θ & + γ & S  ψ & + β & S  ψ θ &  − θ ψ & + β & S ( α & S  ψ − γ & S  θ ) + α & S  γ & S  ψ θ        Et en classant les termes par ordre de grandeur :    

   

& & t 2   ( y,t ) & 2 S + & γ 2 S +2β S   & α S  ψ − & γ S  θ ) + & α S  θ + & γ S   & ψ = α           + & β S θ+ ψ 2 + &  +β ψ & θ 2 − ( α ψ − γ θ ) 2 & & & S S S

  

 

(A1.14)

(A1.15)

3. Calcul de t 3 (y,t)     t 3   ( y, t ) ω= 2 y = − & α S sinψ − & β S cosψcos θ + ( & γ S + & ψ) sinθ + Φ & 2  (A1.16)   En remplaçant les sinus et cosinus par leurs développement limités et en prenant & Φ = Ω :   t 3  (y, t) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ −= ⎜ ⎜ ⎛ ⎝ & α S  ψ −  & β S   ⎝ ⎜ ⎛ 1 - ψ 2 2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎜ 1 - θ 2 2 ⎞ ⎟ + (γ & S ψ+ & )  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ +θΩ 2  (A1.17) ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2  2 & & & & t 3   ( y, t ) = ⎜ − ⎝ ⎛ & α S  ψ + β S − β S ψ 2 + & α S  ψ θ 2 − β S θ 2 + β S ψ 4 γ+ θ & S  θ + ψ &   ⎠ Ω+θ ⎟ ⎞  (A1.18)   Après suppression des termes d’ordre 3 et 4 dans la parenthèse et regroupement:   = β +  && & − − β (A1.19) t 3  (y, t ⎜ ⎜ ) ⎝ ⎛ & S  (γΩ + S  θ − α S  ψ) + ⎜ ψ ⎝ ⎛  θ & β S ψ 2 2 & S θ 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎠ ⎞ 2 & 2 & & 2 & & 2 & 2 2 & &  & t 3  (y, t β) = S + Ω (γ + S  θ − α S  ψ ⎛ ⎝ +) ⎜ ψ θ − β S ψ 2 − β S θ 2 ⎞ ⎠ ⎟ +2β S + Ω (γ S  θ − α S  ψ)   2 2 2 2 & & & & & +2β + Ω  ⎝ ⎛ ⎜ ψ &  β−− ψθ β ⎞ ⎠ θ ⎟ +2 ( & γ θ − α &   ψ)   ⎜ ⎝ ⎛ & ψ   θ  − βθ − β  ψ ⎟ ⎠ ⎞ S S 2 S 2 S S S 2 S 2 (A1.20)

 

109

En ne gardant que les termes d’ordre 0, 1 et 2 :  

t 3   ( y, t ) =  β & S + Ω 2 + (γ & S  θ − α & S   ψ) 2 +2β & S + Ω  (γ & S  θ − α & S   ψ) + 2β & S + Ω  ⎜ ψ ⎝ ⎛ &  θ − β & S ψ 2 2 − β & S θ 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ (A1.21)   Soit t 3 (y, t)= β & + Ω + γ &  θ − α &  ψ 2 + β & + Ω2ψ &  θ − β & ψ 2 + θ 2  (A1.22) S S S S   S     Et en classant les termes par ordre de grandeur :     t 3 (y, t)= & β S + Ω 2 +2 & β S  ( + Ω & γ S  θ − α & S   ψ) + (γ & S  θ − α & S   ψ) 2 + β & S + Ω 2ψ &  θ − β & S ψ 2 + θ 2 (A1.23)

   

4. Calcul de t 4 (y,t)     t 2  (y,tω=) 2 x ω− 2 z = α S  cosψ + & β S  sinψ + & θcosΦ- & α S  sinψ − & β S cosψsin θ + (γ & S ψ+ & ) cosθsinΦ 2 & − α & S  cosψ + β & S  sinψ + θ & sinΦ + α & S  sinψ − β & S cosψsin θ + (γ & S ψ+ & ) cosθcosΦ 2

(A1.24)   t 2  (y,t) = −4 & α S  cosψ + & β S  sinψ + & θ & α S  sinψ − & β S cosψsinθ + (γ & S + & ψ)cosθsinΦcosΦ + & α S  cosψ + & β S  sinψ + θ & 2 + α & S  sinψ − β & S cosψsin θ + (γ & S +ψ & ) cosθ 2 cos 2 Φ −sin 2 Φ (A1.25)   t 2  (y,t) = −4α & S  cosψ + & β S  sinψ + θ & α & S  sinψ − β & S cosψsinθ + (γ & S +ψ & )cosθsin 2Φ + & α cosψ + & β sinψ + & θ 2 + & α sinψ − & βcosψsin θ + ( & γ + & ψ) cosθ 2 cos 2Φ  

S S S S S (A1.26)     & Comme la vitesse angulaireΦest constante, on poseΩt :   t 2   ( y,t ) 4 S  cos & S  sin & S  sin & S cos sin ( S ) = − α &  α ψ + θψ + β &  + θ ψψ − β & γ + & ψcosθsin 2Ωt   α S ψ + & β S ψ + & θ 2 + α S ψ − β & S ψsiθ + (γ S + ψ)cosθ 2 Ωt & si &  sin & & cos 2 + n cos n cos (A1.27)      

 

110

En remplaçant les sinus et cosinus par leurs développements limités:   2 2 2 t 4  y,t S S ⎜ ⎛  SS S ⎜ ⎛ θ − ⎟ ⎞ ( ) = −2 ⎜ α ⎜ ⎛ ⎝ &   ⎛ ⎜ ⎝ 1− ψ 2 ⎞ ⎟ ⎠ +β &  ψ + θ & ⎟ ⎟ ⎞ ⎠   ⎝ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ & α ψ − & β   ⎜ ⎛ ⎝ 1− ψ 2 ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟  θ + ( & γ + & ψ)   ⎝ 2 1 ⎠ ⎟ ⎠ ⎟ ⎞ cos 2Ωt θ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎝ α ⎝ ⎛ & S   ⎝ ⎜ ⎛ 1 ψ − 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ +β & S  ψ + θ & ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 2 ⎛ α ⎝ ⎜ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎝ & S  ψ − β & S    ⎛ ⎝ ⎜ 1 ψ − 2 2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟   θ + (γ & S ψ+ & )    ⎜ ⎝ ⎛ 1− 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎠ ⎞ ⎠ 2 ⎞ ⎟ ⎠ ⎟ cos 2Ωt (A1.28)   4 S S S S S  βθ −  SS S t(y,t) = −2 ⎝ ⎜ ⎛ α &  − α & ψ 2 2 + β &  ψ + θ & ⎠ ⎟ ⎞   ⎜ ⎝ ⎛ α &  ψ θ − β &    & ψ 2 2 θ + & γ + & ψ −  & θ γ 2 2 − & θ ψ 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ cos 2Ωt ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎜ ⎛ & α S  − & α S ψ 2 2 + & β S  ψ + & θ ⎞ ⎟ ⎠ 2 ⎛ − ⎜ α & S  ψ θ − β & S  θ − β & S ψ 2 2 θ + γ & S +ψ & − γ & S θ 2 2 − & θ 2 2 ⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ cos 2Ωt ⎝ ψ ⎠ (A1.29)     Après suppression des termes d’ordre 3 et 4 dans les parenthèses:   & & & & & & t 4   ( y,t ) =  −2 ⎜ ⎝ ⎛ α S  − α S ψ 2 2 + β & S  ψ + θ & ⎟ ⎠ ⎞   ⎛ ⎝ ⎜ α S  ψ θ − β & S  θ + γ S + ψ − γ S θ 2 2⎞ ⎠ ⎟ cos 2Ωt  (A1.30)   +  ψ − α  &     & &   & cos 2 t & & & & & ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ α S S 2 2 β S ψθ+ ⎠ ⎞ ⎟ 2 − ⎜ α ⎛ ⎝ S ψ θ − β S  γθ + S + ψ − γ S θ 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ 2 Ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞  

 = α 4 ⎝ ( ⎛ ) ⎜ S 2 + α S 2 ψ 4 + β & 2 S ψ 2 + θ & 2 − α 2 S ψ 2 + α S β & S  αψ + S θ & − α S β & S ψ 3 − α S ψ 2 θ & t y,t & & 4 & 2 &  2 &    &     &    & & & & 2 & & & & & & & & +2β S  ψ θ − α 2 S  ψ 2  θ 2 − β 2 S  θ 2 − γ 2 S −ψ 2  +2α S  β S  ψ θ −2α S  γ S   ψ θ −2α S  ψ θ ψ 4 & & & & & 3  && & 3 & 2 & & & 2 2 & 2 & + α S  γ S  ψ θ +2β S  γ S  θ +2β S  θ ψ − β S   γ S  θ − γ S θ 4 −2γ S  ψ + γ S   γθ + S  θ ψ ⎟ ⎠ ⎞ cos 2Ω t 2 & & ⎛ ⎜ α & 2 S ψ θ − α & S β S θ + α & S γ & S + α & S ψ & − α & S γ & S θ 2 − α & S 2 ψ 3 θ + α & S β S ψ 2 θ − α & S γ & ψ -2 ⎝               S   2 2 2 2 2 2 2 2 − α & ψ ψ & + α & γ & ψ θ + & α & βψ 2 θ − & β 2 ψ θ + & β & γ ψ + & ψβ & ψ − & β &  +  θ γ ψ & α ψθ & θ       S S S   S   S    S    S   S   S     S   S  2 S    2 4 2 − β & θ θ & & & θ & θ ⎞ ⎟ Ω S   + γ & S  θ+ψ &  θ − γ & S  2 ⎠  tsin 2 (A1.31)  

     

 

111