Cours 2

Description

MATH 5.3 Alg`ebre 4 E. EdoChapitre 2 : Groupe op´erant sur un ensemble1. Op´eration d’un groupe sur un ensemble.Soit G un groupe et soit X un ensemble. On dit que G op`ere dans X lorsqu’est d´efini un morphisme degroupe ` de G vers S(X).Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguit´e sur `, on note g:x = (`(g))(x) pour g 2 G et x2 X. Le fait que ` soitun morphisme s’exprime alors de la fa¸con suivante : pour tout g;h2G et x;y2X on a :1:x=x `(1)=Id,(gh):x=g:(h:x) `(gh)=`(g)–`(h),¡1 ¡1 ¡1g:x=y () x=g :y `(g )=`(g) .Si ` est injective, on dit que G op`ere fid`element sur X.Remarques : Soit ` une action d’un groupe G sur un ensemble X alors :1) G= op`ere fid`element sur X,ker(`)2) Si G op`ere fid`element sur X alors `(G) est isomorphe `a un sous-groupe de S(X).2. Stabilisateur et orbite.Soit G un groupe op´erant sur un ensemble X.Soit x2X. On note : Stab (x)=fg2G; g:x=xg‰G (le stabilisateur de x sous l’action de G)Get Ω (x)=fg:x; g2Gg‰X (l’orbite de x sous l’action de G).GTh´eor`eme L’ensemble des orbites forment une partition de X.Si X ne contient qu’une seule orbite (autrement dit si Ω(x) = Ω(y) pour tout x;y 2 X) on dit que Gop`ere transitivement sur X.Une orbite de cardinal 1 est dite ponctuelle. On note X =fx2 X; (8g 2 G)g:x = xg l’ensemble desGx2X dont l’orbite est ponctuelle.Exemples :1) Soit X un ensemble, le groupe sym´etrique S(X) op`ere (fid`element) sur X par l’identit´e.2) Soit G un groupe op´erant sur un ensemble X. Soit H un sous-groupe de G. Alors H ...

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MATH5.3Algebre4 Chapitre2:Groupeoperantsurunensemble

1.Operationd’ungroupesurunensemble.

E. Edo

SoitGun groupe et soitXun ensemble. On dit queGpredenasoXmsihedenuinprom’estdelorsqu groupeφdeGversS(X). Lorsqu’iln’yapasd’ambiguitesurφ, on noteg.x= (φ(g))(x) pourg∈Getx∈X. Le fait queφsoit unmorphismes’exprimealorsdelafaconsuivante:pourtoutg, h∈Getx, y∈Xon a : 1.x=x φ(1) = Id, (gh).x=g.(h.x)φ(gh) =φ(g)◦φ(h), −1−1−1 g.x=y⇐⇒x=φg .y(g) =φ(g) .

Siφest injective, on dit queGeredeloptnemesurX.

Remarques : Soitφune action d’un groupeGsur un ensembleXalors : 1)G/perolemeedrunestX, ker(φ) 2) SiGpoeldeerrustnemeXalorsφ(G)estisomorpheanuossug-orpudeeS(X).

2. Stabilisateur et orbite.

SoitGrenaoeporpuugnlesembunentsurX.

Soitx∈X. On note : Stab G (x) ={g∈G;g.x=x} ⊂G(le stabilisateurdexsous l’action deG) et  G (x) ={g.x;g∈G} ⊂X(l’orbitedexsous l’action deG).

TheoremeL’ensemble des orbites forment une partition deX.

SiXne contient qu’une seule orbite (autrement dit si (x) = (y) pour toutx, y∈X) on dit queG operetransitivementsurX. Une orbite de cardinal 1 est diteponctuelle. On noteX G ={x∈X; (∀g∈G)g.x=x}l’ensemble des x∈Xdont l’orbite est ponctuelle.

Exemples : 1) SoitXqueetrisymneurgelepuomesn,elbS(X)our)semtneel(edpreXtienidl’arp.et 2) SoitGpuoeprenastrunuensembleorgnuX. SoitHun sous-groupe deG. AlorsHopreersuXpar restriction de l’action deG. Soitx∈X, notons Stab G (x) et Stab H (x) les stabilisateurs dexsous chacune de ces actions, alors Stab H (x) = Stab G (x)∩Het, par ailleurs,x∈X H si et seulement siH⊂Stab G (x). 3) Soitσ∈S n , notons< σ >le sous-groupe deS n enndgeeprarσ. Les orbites de l’action de< σ >sur X={1, . . . , n}detsorppsdleycscsusseltnondeeocledatioipmsoσretnspruppotsdeacsoydculie disjoints. On a : ord(σ) = ppcm{card((x)) ;x∈X}. 4) SoitR 0 le sous-groupe (deS(C)) des rotations de centre 0. Les orbites de l’action deR 0 surCsont descerclesdecentre0.Larelationd’equivalence”eˆtredanslamˆemeorbite”equivauta”avoirmeˆme module”. ∗ 5) SoitKun corps et soitEunK-espace vectoriel. L’applicationφ:K→S(E)deaprneiφ(λ)(x) =λx ∗ ∗ pourλ∈Ketx∈EdnoeleenutitcaesdeKsurE. Six∈Er{0}, alors (x) est la droite vec- torielle passant parxtuaˆ”teerormetebieq”vauieˆ”edertlsnaeˆma’eqiondlencuivade0evieletaL.rapr colineaires”. 6) SoitGpiilacitevemtn.ungroupenotemult

L’applicationφ:G→S(Garepnied)φ(g)(x) =gxpour toutg, x∈GeeactstundeleidoenG ˆ 