cours sur les systèmes asservis

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6Systemes Asservis EchantillonnesJ.P. ChemlaMars 2002Jusqu’ a present, les systemes asservis ont ete etudies dans leur etat na-turel : a temps continu. Nous les avons commandes a l’aide de correcteursde m^eme nature (avance et retard de phase, PID, retour d’etat sont descorrecteurs a temps continu).L’avenement du numerique nous pousse a revoir l’automatique sous unautre angle : la commande par calculateur. Plut^ ot que de limiter cettecommande a une imitation de correcteurs analogiques, il est plus interessantde tout revoir sous les aspects numeriques et echantillonnes.1 Rappels sur les systemes numeriques1.1 representation des signaux a temps discrets1.1.1 De nition (simpli ee)Un signal a temps discret est une suite s (k); k 2 Z. Lorsque ce signal estdl’echantillonnage d’un signal continu s (t) a une periode , on a :cs (k) = s (k: )d cRemarque : nous ne considererons dans la suite du cours que les signauxcausals, c’est a dire : s (k) = 0 8k < 0.d1.2 Signaux numeriques fondamentauxDirac centre Cette fonction est de nie par :(k) = 0 8k = 0; (0) = 116d(k)1kFigure 1: representation d’un diracEchelon unitaire Cette fonction est de nie par : ( k) = 0 8k < 0; ( k) = 1 8k 0G(k)1kFigure 2: representation d’un echelonRampe Cette fonction est de nie par :r(k) = 0 8k = 0; r(k) = k 8k > 02r(k)kFigure 3: representation d’une rampe1.3 La transformee en z1.3.1 De nitionPar de nition, la ...

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´ Syst`emesAsservisEchantillonn´es J.P. Chemla Mars 2002

Jusqu’a`pre´sent,lessyst`emesasservisonte´t´ee´tudi´esdansleure´tatna- turel:a`tempscontinu.Nouslesavonscommande´sa`l’aidedecorrecteurs demeˆmenature(avanceetretarddephase,PID,retourd’e´tatsontdes correcteursa`tempscontinu). L’ave`nementdunum´eriquenouspousse`arevoirl’automatiquesousun autreangle:lacommandeparcalculateur.Plutoˆtquedelimitercette commande`auneimitationdecorrecteursanalogiques,ilestplusinte´ressant detoutrevoirsouslesaspectsnume´riqueset´echantillonn´es.

1Rappelssurlessyste`mesnum´eriques 1.1representationdessignaux`atempsdiscrets ´ 1.1.1D´efinition(simplifi´ee) Unsignala`tempsdiscretestunesuite s d ( k ) , k ∈ Z . Lorsque ce signal est l’echantillonnage d’un signal continu s c ( t )`aunep´eriodeΔ,ona: ´ s d ( k ) = s c ( k. Δ) Remarque:nousneconsid´ereronsdanslasuiteducoursquelessignaux causals,c’esta`dire: s d ( k ) = 0 ∀ k < 0. 1.2Signauxnume´riquesfondamentaux Diraccentre´ Cettefonctionestde´finiepar: δ ( k ) = 0 ∀ k 6 = 0; δ (0) = 1

1

1

≅ (k)

k

Figure1:repr´esentationd’undirac

Echelon unitaire Cettefonctionestde´finiepar: Γ( k ) = 0 ∀ k < 0; Γ( k ) = 1 ∀ k ≥ 0

1

9 (k)

k

Figure 2: representation d’un echelon ´

Rampe Cettefonctionestd´efiniepar: r ( k ) = 0 ∀ k 6 = 0; r ( k ) = k ∀ k > 0

2

r(k)

k

Figure3:repre´sentationd’unerampe

1.3 La transf ´ ormee en z 1.3.1D´efinition Parde´finition,latransform´eeen z est : ∞ S ( z ) = X s ( k ) .z − k k =0 Exemple : si S ( z ) = 1 − z − 1 + 0 . 5 z − 2 , on a s ( k ) = 0 ∀ k < 0 ou ∀ k > 2; s (0) = 1; s (1) = − 1; s (2) = 0 . 5 Autre exemple : pour s ( k ) = a k , ∀ k ≥ 0, ∞ S ( z ) = X 0 a z k = 1 − 1 z a = z − z a si  a z  < 1 k = Cetexempleestimportant`aretenircarilpeutpermetd’avoirlatransforme´e en z desr´eponsesdessyste`mescontinusdupremierordreen s ( t ) = e − t/τ . En e´chantillonne´,cettere´ponsedevient: s ( k ) = e − δ.k/τ . En posant a = e − δ/τ , on retrouve la transformee en z decetter´eponse: ´ S ( z ) = z δ − z − e τ

1.3.2Propri´et´es Soient f et g deuxfonctionse´chantillonn´eeset F et G leurtransforme´esen z . On notera T z ()l’ope´rateurtransforme´een z .

3

Lin´earite´ T z ( a.f + b.g ) = a.F + b.G Transforme la convolution en produit T z ( f ∗ g ) = F.G Retard T z ( f ( k − k 0 ) = z − k 0 .F ( z ) Avance Si y ( k ) = x ( k + k 0 ); on a Y ( z ) = z k 0 [ X ( z ) − x (0) .z 0 − x (1) .z 1 − . . . x ( k 0 − 1) .z − k 0 +1 ] Multiplication par a k T z ( a k .f ( k )) = F ( a z ) 1.3.3Transform´eeen z de fonctions classiques T z ( δ ( k )) = 1 T z (Γ( k )) z = z − 1 T z ( r ( k )) =  ( z 2 z − 1) z T z ( a k ) = z − a Pourplusdetransform´ees,voirtabledestransform´eesusuellessurfeuille `apart. 1.3.4Th´eor`emesdesvaleursinitialesetfinales • s (0) = lim z → + ∞ S ( z ) • lim k → + ∞ s ( k ) = lim z → 1 ( z − 1) .S ( z ) 1.3.5 Recherche de l’original Lecalculdelatransforme´einverse s ( k ) d’une fonction en S ( z ) peut se faire selon deux methodes : ´ 1.Parde´compositionene´le´mentssimplesde S ( z z ) puis en utilisant la table de t ansf ´ Exemple : r ormees. S ( z )= ( z − 1) 2 ( z z − 0 , 5) S ( z ) 4 4 = − z z − 1 z − 0 , 5 s ( k ) = 4 − 4 . (0 , 5) k 4

2.Onpeutaussicalculerlespremi`eresvaleursde s ( k ) en effectuant une divisiondepolynˆomes: S ( z ) = z z − 2 (onsaitque s ( k ) = 2 k ) La division polynomiale donne : z z − 2 − z +2 1 + 2 .z − 1 + 4 .z − 2 . . . 2 − 2 +4 z − 1 4 z − 1 Onretrouvelespremie`resvaleursde s ( k ) : s (0) = 1; s (1) = 2; s (2) = 4.

2 Fonction de transfert en z d’unsyste`me nume´rique 2.1D´efinition,ordreetre´ponsed’unsyst`eme Unsyste`menum´eriqueestde´finitparunee´quationder´ecurrenceentreson entr´ee e ( k ) et sa sortie s ( k ).Cettee´quationestdelaforme: s ( k + n )+ a n − 1 s ( k + n − 1)+ . . . + a 1 s ( k +1)+ a 0 s ( k ) = b 0 e ( k )+ b 1 e ( k +1)+ . . . + b m e ( k + m ) n m s ( k + n ) + X a i s ( k + i ) = X b j e ( k + j ) i =0 j =0 Commelesyste`meestcausal,lasortie`al’instant k + n ne peut pas d´ependredel’entr´eeauxinstantsd’apre`s.Onende´duitque m ≤ n . On remarque que l’on peut connaˆıtre de proche en proche toutes les valeurs de la sortie s ( k )sil’onconnaitl’entre´e e ( k ) et les conditions ini- tiales. On appelle fonction de transfert G ( z )dusyste`melerapportentrela transform´eeen z , S ( z ), de la sortie et E ( z ),celledel’entre´e. On obtient : S ( z ) b 0 + b 1 .z + . . . + b m G ( z ) E ( z ) z n + a n − 1 .z n − 1 + . . . + a . 1 z .z m + a 0 = = Onappellel’ordred’unsyst`emel’ordredel’e´quationdere´currence.C’est ladiffe´rencemaximaled’indicedanslestermesdesortie.C’estaussiledegr´e dud´enominateurdelafonctiondetransfert. 5

Comme pour les fonctions de transfert continues, cette fonction de trans- fertestunefonctionrationnelledontledegr´edud´enominateurestsupe´rieur audegr´edunum´erateur. Onpeutconnaitrelar´eponsed’unsyste`mea`uneentr´eedonne´eenformant latransforme´een z inverse de T ( z ) .E ( z ).Rappel:latransform´eeinverse d’une fonction de transfert seule n’a aucune signification. Exemple :Soitunsyst`emede´finiparson´ationdere´currence: equ s ( k + 1) − 0 , 5 .s ( k ) = e ( k ) On connait les conditions initiales : s (0)=0.L’entr´eeestun´echelon unitaire. Pour calculer la sortie s ( k ) ∀ k ,onpeututiliserl’e´quationde r´ecurrencedeprocheenprocheouutiliserlatransforme´een z . De proche en proche : s (1) = 0 , 5 .s (0) + e (0) = 1 s (2) = 0 , 5 .s (1) + e (1) = 1 , 5 s (3) = 0 , 5 .s (2) + e (2) = 1 , 75 . . . Aveclatransforme´een z : La fonction de transfert est : G ( z ) = z − 1 0 , 5 ⇒ S ( z ) =  ( z − 1)( z z − 0 , 5) Ende´composantene´le´mentssimples S z z , on trouve 2 .z S ( z ) = z 2 .z − 0 , 5 ⇒ s ( k ) = 2 − 2 . (0 , 5) k − 1 z − 2.2 Retards purs Lessyste`mespeuventpr´esenterunretardpur.Ilssemanifestentdansl’e´quation dere´currenceparl’apparitiondetermesen e ( k − r )o`u r est le retard en nom- bredepasd’e´chantiollonnage. Exemple 1 Unsyste`med´efinitpar: s ( k + 2) + a 1 .s ( k + 1) + a 2 .s ( k ) = b.e ( k − 5) avecdesconditionsinitialesnullesnedonneraitunr´esultat( s ( k ) > 0) que pour k ≥ 5. Exemple 2 Unsyst`emede´finitpar: s ( k + 3) + 3 .s ( k + 2) + 2 .s ( k + 1) + s ( k ) = e ( k + 1) + 2 .e ( k ) + e ( k − 1) + e ( k − 2) estd’ordre3etpre´senteunretardde2pasd’e´chantillnnage(parlap´ o resence du terme e ( k − 2).

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