Rappels sur les suites - Algorithme

Description

Une suite (un) est une fonction définie de N (ou éventuellement N − [[0, k]]) dans R. À un rang donné n, on associe un nombre réel noté un.

Informations

• Publié par: Force_IT
• Nombre de lectures: 14
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

DERNIÈRE IMPRESSION LE30 octobre 2013à 11:05

Rappels sur les suites  Algorithme

Table des matières

1 Suite: généralités2
1.1 Définition2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemplesde suites2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Variationou monotonie d’une suite3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Commentmontrer la monotonie d’une suite4. . . . . . . . . . . . .
1.5 Visualisationd’une suite5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Suitearithmétique (rappels)6
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.2 Commentla reconnaîton ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2.3 Expressiondu terme général en fonction den. . . . . . . . . . . . .6
2.4 Sommedes premiers termes6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Suitegéométrique (rappels)7
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3.2 Commentla reconnaîton ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3.3 Expressiondu terme général en fonction den7. . . . . . . . . . . . .
3.4 Sommedes premiers termes7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Limited’une suite géométrique8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Algorithme8
4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
4.2 Conventionspour écrire un algorithme. . . . . . . . . . . . . . . .9
4.3 Lesvariables9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
4.3.2 Déclarationdes variables9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Affectationd’une variable numérique9. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Lectureet écriture d’une variable10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Lestests10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Lesboucles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
4.7.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
4.7.2 Laboucle conditionnelle12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Boucleren comptant12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAULMILAN

1

TERMINALES

1 SUITE: GÉNÉRALITÉS

1 Suite: généralités

1.1 Définition

Définition 1 :Une suite(un)est une fonction définie deN(ou éventuellement
N−[[0,k]]) dansR. À un rang donnén, on associe un nombre réel notéun.
(un):NouN−[[0,k]]−→R
n→−7un

Remarque :
•N−[[0,k]]est l’ensembleNprivé des premiers naturels jusqu’àk
•unest appelé le terme général de la suite(un).
•Bien faire la différence entre la suite noté(un)et le terme général notéun
•Si une suite est définie à partir du rangp, on la note(un)n>p

1.2 Exemplesde suites
a) Onpeut définir une suite defaçon explicite:un=f(n)
√
1
∗
un=n∈N,vn=n−3n>3
n
b) Onpeut aussi définir une suite defaçon récurrenteà un ou plusieurs termes :

•À un terme :un+1=f(un)•À deux termes :un+2=f(un+1,un):
( (
u0=1u0=1,u1=1
un+1=2un+1un+2=un+1+un
Pour calculer les premiers termes
Pour calculer les premiers termes
Variables
Variables
A,N,I,U,L1(liste),f(fonction)
A,B,N,I,U,V,W,L1(liste)
Algorithme
Algorithme
LireA,N
LireA,B,N
A→U
A→U
ListeL1remis à 0
B→V
U→L1(1)
ListeL1remis à 0
PourIvariant de 1 àN
U→L(1)
1
f(U)→U
V→L1(2)
U→L1(I+1)
PourIvariant de 2 àN
FinPour
U+V→W
AfficherL1
V→U
Acorrespond àu
0W→V
Il faut rentrerficif(x) =2x+1
W→L1(I+1)
Pour remettre à zéroL1faire "stats" puis
FinPour
"EffList"
AfficherL
1
Pour visualiser l’ensemble de la listeL1
faAetBcorrespondent àu0etu
ire "stats" puis "Edite"1
Remarque :la liste commence àL1(1)on ne peut rentrer une fonction de deux va, il y
a donc un décalage d’un termeriables dans la TI 82

PAULMILAN

2

TERMINALES

1.3 VARIATION OU MONOTONIE D’UNE SUITE

c) Onpeut encore définir une suite par l’intermédiaire d’une autre suite ou par
une somme de termes, etc.. .
(un)étant définie, on définit la suite(vn)par :vn=un−4
n
1 11 1
wn= =1+ + +∙ ∙ ∙+
∑
k2 3n
k=1
Si on veut déterminer une valeur approchée d’un terme particulier de(wn),
on peut écrire le programme suivant :

Par exemple, on trouve les valeurs
suivantes pourw,w,w.
5 10 50
Si l’on veut trouver le résultat exact en
fraction avec la TI 82, écrire :
"Disp W⊲Frac"
On trouve les valeurs suivantes :
137
•w5=≃2, 283
60
•w10≃2, 923,w50≃4, 499

Variables
N,I,W
Algorithme
LireN
0→W
PourIvariant de 1 àN
1
W+→W
I
FinPour
AfficherW

d) Onpeut aussi définir une suite par une assertion explicite sans pour autant
être capable de préciser la valeur d’un terme quelconque.
Par exemple la suite(dn)qui au rangn>1 associednla nième décimale du
nombreπ=3,141 592 . . .:d1=1,d2=4,d3=1,d4=5,d5=9,d6=. .2 .

1.3 Variationou monotonie d’une suite

Définition 2 :Soit(un)une suite numérique. On dit que :
•la suite(un)est strictementcroissante(à partir d’un certain rangk) lorsque
un+1>unpour tout entiern>k

•la suite(un)est strictementdécroissante(à partir d’un certain rangk) lorsque
un+1<unpour tout entiern>k

•la suite(un)estmonotone(à partir d’un certain rangk) si elle est croissante ou
décroissante à partir d’un certain rangk
•la suite(un)eststationnaires’il existe unktel que
u=upour tout entiern>k
n+1n

•la suite(un)estconstantelorsqueun+1=unpour tout entierndu domaine de
définition

Remarque :
n
Il existe des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes :un= (−1)
Les premiers termes de la suite n’entrent pas nécessairement en compte dans
la variation d’une suite. Ils peuvent cependant donner une indication pour la
monotonie de la suite

PAULMILAN

3

TERMINALES

1 SUITE: GÉNÉRALITÉS

1.4 Commentmontrer la monotonie d’une suite

Règle 1 :Pour montrer la monotonie d’une suite,
•on étudie le signe de la quantitéun+1−un
si la quantité est positive (resp négative) à partir d’un certain rangk, la suite est
croissante (resp décroissante) pourn>k
•si tous les termes de la suite sont strictement positifs à partir d’un certain rang
un+1
k, on compare la quantitéà 1
un
si la quantité est supérieure à 1 (resp inférieure à 1) à partir d’un certain rangk,
la suite est croissante (resp décroissante) pourn>k
•si la suite est définie de façon explicite, on étudie les variations de la fonctionf
surR+
•(voir chapitre suivant) on utilise un raisonnement par récurrence

Exemples :
2
•Montrer que la suite(un)définie pour toutnpar :un=n−nest croissante.
Étudions le signe de la quantité :un+1−un
2 2
u−u= (n+1)−(n+1)−(n−n)
n+1n
2 2
=n+2n+1−n−1−n+n
=2n
Or pour toutn∈N, on a 2n>0, doncun+1−un>0. La suite(un)est
croissante à partir du rang 0.
n
2
∗
•Montrer que la suite(un)définie pour toutn∈Npar :un=est croissante.
n
u
n+1
∗
Comme pour toutn∈Nun>0, comparons le rapportà 1 :
un
n+1
2
n+1
u2n2n
n+1n+1
= =×=
n
n
un2n+1 2n+1
n
Orn>1, en ajoutantnde chaque côté de l’inégalité, 2n>n+1, donc :
2n
>1
n+1
u
n+1
Comme∀n>1>suite1, la(un)est croissante à partir du rang 1.
un
2n+1
•Montrer que la suite(un)définie pour toutn>2 par :un=est décrois
n−1
sante.
2x+1
On étudie la fonction associéefdéfinie surI= [2;+∞[parf(x) =.
x−1
Cette fonction est dérivable surI, donc