SCA-7212 Cours No.3 3D-VAR(2010)
9 pages
Français

SCA-7212 Cours No.3 3D-VAR(2010)

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2010Interpolation optimaleEquations de l’interpolation statistique• Résolution directe du problème1X  X  Ky HX T Ta b bX (p )  X (p )   BH R HBH  y HX a i b i i b1TT T X (p )   BH wK  BHR  HBH b i iKP  I KH B XX ((pp )  W wa b i  ik kk 1* Introduction de simplifications: sélection de donnéesMatrice de gain (ou poids statistiques): K* Conduit à des problèmes de petite dimension qui peuvent être résolus explicitementInnovations (ou écarts aux observation: y-HXb* Champ analysé à différents points de grille n’utilise pas nécessairement les mêmes données X X1 2  Formulation variationnelle de l’interpolation Impact de la sélection de donnéesstatistique (Lewis et al., 2006: sect. 20.2 et ch. 10 à 12))• Influence d’une observationAx  b• Résolution de systèmes T T11* TrTraitait plein:plein: 33DD-Var mini J (x )  xx Ax  x b2d’équations linéaires de * Tireté: interpolation J (x )  Ax  bgrande tailleoptimale* Méthode du gradient* Fig. 9 de Gauthier et al. (1999)Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 1SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2010Le 3D-Var Démonstration:• Fonction objective1 11 T 1 T 1 T TB  H R H H R  BH R  HBH T T1 11 1J(X) X X BX X HX y RHX y2 b b ...

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 60
Langue Français

SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Interpolation optimale
Equations de l’interpolation statistique
• Résolution directe du problème
1
X  X  Ky HX T T
a b b
X (p )  X (p )   BH R HBH  y HX 
a i b i i b
1
T
T T
 X (p )   BH w
K  BHR  HBH b i i
K
P  I KH B
 XX ((pp )  W w
a b i  ik k
k 1
* Introduction de simplifications: sélection de données
Matrice de gain (ou poids statistiques): K
* Conduit à des problèmes de petite dimension qui peuvent être résolus
explicitement
Innovations (ou écarts aux observation: y-HX
b
* Champ analysé à différents points de grille n’utilise pas nécessairement les
mêmes données






 


X X
1 2








  


Formulation variationnelle de l’interpolation
Impact de la sélection de données
statistique (Lewis et al., 2006: sect. 20.2 et ch. 10 à 12))
• Influence d’une
observation
Ax  b
• Résolution de systèmes
T T
11
* TraitTrait plein:plein: 33DD-Var mini J (x )  xx Ax  x b
2
d’équations linéaires de
* Tireté: interpolation J (x )  Ax  b
grande taille
optimale
* Méthode du gradient
* Fig. 9 de Gauthier et al.
(1999)
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 1SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Le 3D-Var Démonstration:
• Fonction objective
1 1
1 T 1 T 1 T T
B  H R H H R  BH R  HBH 
T T
1 1
1 1
J(X) X X BX X HX y RHX y
2 b b 2
1 T 1 • Multiplication, de part et d’autre, à gauche
J(X) BX X H RHX y
b
-1 T -1
papar (B + H R H) etet àdà drotoiteep pa ar (R +
T
HBH )
• Au minimum de J, X = X et J(X ) = 0:
a a
1 T 1 1 T 1 1
T 1 1 T 1 T T
B (X X ) H RHX y B (X X ) H R H X X   y HX  
a b a a b a b b H R  B  H R H BH R  HBH 
1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T
B H R HX X H Ry HX
H RR  HBH B  H R HBH
a b b
T T 1 T T T 1 T
H  H R HBH  H  H R HBH
0
• Incrément d’analyse (X - X ):
a b
1
1 T 1 T 1
X  X B  H R H H R (y  HX )
a b b
?
1
T T
BHR  HBH (y  HX )
b
• Montrer que:
?
1 1
1 T 1 T 1 T T
B  H R H H R  BH R  HBH 
Exemple pour l’analyse en un point
Matrice hessienne et covariance d’erreur
d’analyse
• Analyse de température en un point sur le dernier
2
 
 J
1 T 1 niveau du modèle utilisant une mesure de la
• Matrice hessienne:  
J"   B H R H
 
X X température à 10m
i j
 
ij
T
b Niveau du modèle
• Covariance d’erreur d’analyse P  (I  KH )B  B  KHB
a
T
obs. Niveau à 10 m
• Substitue K par l’expression donnée précédemment
1
1 T 1 T 1
 
P  B B  H R H H R HB
a
 
  Opérateur d’observation: HT =  T
1
1 T 1 1 T 1 TT 1
 B  H R H   BB  H R H B H RR HB 
T T  (T  T )
Valeur analysée:
a b obs. b
1
1 T 1 T 1 T 1
B  H R HI  H R HB H R HB
Estimé minimisant la variance d’erreur d’analyse:
1
1 T 1
2
B  H R H 
b
 
2 2 2
   
o b
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 2SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Formulation variationnelle: exemple pour l’analyse
Méthode du gradient
en un point
(k) (k+1) (k+1) (k)
• En partant du point X , trouver un point X tel que J(X ) < J(X )
• Minimiser la fonction coût:
T T
1
J(X)  X QX  X b C
2
2 2
1 (T T ) 1 ( T T )
T
b obs
Q est définie positive ce qui signifie que pour tout vecteur X, X QX > 0
J((T))  
2 2
2  2 
b o
Ceci nous assure qu’un minimum unique existe
J (T T ) ( T T )
(k ) (k )
b obs (k)
J (X )  QX  b
1/ Calculer J(X )
J(T)    
2 2
(k ) (k )
T   g  J (X )  QX  b
2/ Direction de recherche:
k
b o
2 (k)
f ( ) J(X  g ) J(X( ))
3/ Fouille linéaire k

b
T T  (T  T ) T
a b obs b ( )
2 2 2 df dX  
(k)
      ( )  J(X  g )
k
o b  
d  d 
 
T (k)
 gQX b  Qg
k k
Incrément d’analyse (T -T): changement apporté au champ T T
a b
 g Qg  g g  0
k k k k
d’essai pour s’ajuster à la valeur observée
T
g g
*
k k
 
T
g Qg
Equivalent modèle de l’observation ( T ): k k
b
état-modèle est converti en équivalent de l’observation.
(k 1) (k ) *
4/ Nouvel itéré:
X  X   g
k
Préconditionnement du 3D-Var par changement de
Convergence de la minimisation et
variables
préconditionnement
• Formulation originale
T 1 T 1
1 1
J(X)  X X  B X X   HX y  R HX y 
2 b b 2
• Minimisation de
T
1 T 1
J( ) = 1/2 (  .
   
J(X) B X XX H R HX y
b
1/ 2
• Changement de variables  B (X  X )
b
• Peu importe le point de 1/ 2
X  X B   X( )
b
départ, la minimisation
• Nouvelle forme:
converge en une seule
T
T 1
1 1
J( )     H(X( )) y  R H(X( )) y 
itération. 2 2
T
1/ 2 T 1
J( )   B H RH(X( )) y
• Algorithmes de minimisation
* Gradient conjugué (réf. Gollub et van Loan, 1996)
* Quasi-newton (Navon et Legler, 1987: Mon. Wea. Rev., 115,1479-1502)
* Lewis et al. (2006): ch.10 à 12
• Minimisation comprend généralement moins d’une centaine
d’itérations
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 3SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Opérateurs élémentaires de l’analyse Calcul du gradient
T
T 1 J (  )  J (   )  J (  )
1 1
0 0 0
J ( )    H(G )  y R H(X( ))  y 
• Formulation
2 2
T
1/ 2 T T 1
 
T H
J ( )    (B ) H RH(X( ))  y T 1 / 2 1
   B RH(X )  y
 
0 0
X
 X X 
 0 
1 / 2 T
• Changement dede vvaariablesriables
  B ((XX  X )   J (  ))
b 0
1 / 2
X  X  B   X (  )
b
T où X = X + G  .
1/ 2 1/ 2
0 b 0
B  B B
1/2
Variation de H(X) causée par une variation X = B  de l’état-modèle
H’(X ) est la matrice jacobienne de H évaluée en X .
0 0
Description du changement de variables
H
 
H(X  X)  H(X )  (X )  X  H'(X )  X
0 0 0 0
 
X
 
1/ 2 1
B H R
1
  X  X  X H(X)  y   R (H(X)  y)
b
Exemple: assimilation d’une mesure
Expression pour le gradient de J ( )
0
d’intensité de vent
T
• Intensité de vent V et composantes horizontales du vent u et v: 1 1
• Evaluation de J : J ( )   H(X( ))  y  R H(X( ))  y 
o 2
o
2 2
V  u  v
1/ 2 1
B H R 1
   X  X  XX  H(X)  y   RR (H(X)  y)
b
• Perturbation de V causée par un changement u et v:
V V
V  (u ,v ) u  (u ,v ) v
0 0 0 0
u v
• Evaluation du gradient de J :
u o
 V V   
  (u ,v ) (u ,v )   
0 0 0 0
  T
1 / 2 T
 u v  v
   J (  )   X /     J (X)  (B )  J (X)
 0 0 X o X o
 u  1 / 2 T T 1
 (B ) H' RH(X)  y
 H' (u ,v )    H' (X ) X
0 0   0 0
v
 
T
1/ 2 T
B H' 11
Gradient de J parpar rrapportapport à X:
 J ( )      J (X)   R HH((X)  y 
0  o X o
T 1
 J (X )  H'(X ) R (H(X )  y)
X 0 0 0 0
2 2 2 2
  • Fonction coût est représentée par une composition de
u / u vu v V
0 0 0 0 0 obs.
 

2 changements de variables et le gradient peut être obtenue en
2 2
 

/ 
v u v o
0 0 0
 
applicant la règle de dérivation en chaîne
 Aucune correction sur la direction
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 4Σ
Σ
Λ
Λ
Σ
Λ
Λ
Σ
SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Cas général
• Considèrant que
1   1  
B  C   B   C 
T 1   TT
C  V V  C  V  V
• On peut donc écrire que
Modélisation des covariances d’erreur de
T
1     T  
B  V V 
prévision
B   V  V 
T
1/ 2 1/ 2   T 1/ 2    
V V   V   V 
T T
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
 B B  B B
-1
• On note qu’en factorisant  , les corrélations C
deviennent adimensionnelles
Opérations à réaliser Résumé
T
1 1
• Evaluation de J : J ( )  H(X( ))  y R H(X( ))  y  • Représentation des covariances d’erreur de
o 2
o
prévision comme composition d’une suite
1/ 2
~ ~
 V
1/2 1/2 1/2 1/2
        X  V    X  V   B  
d’opérateurs
1
H R 1
X  X H(X)  y   R (H(X)  y)
• Résultat est de ramener B à la matrice identité
b
* Signifie que les composantes de la variable sont
statistiquement indépendantes et d’égale variance
• Evaluation du gradient de J :
o
1/2
• Multiplication par  rétablit l’importance relative de
T
H' 1
g   J (X)  RH(X)  y chaque composante
0
X o
1/ 2 T
~ ~
1/2 TT T V
• Multiplication pparar VV nousnous ramènramène e aux vvaar riablesiables
 J ( )  VV g      V g   X  g  g
 o 0 0 0 0
physiques (e.g., T, u, v) normalisées par les écart-
types de l’erreur de prévision
• Multiplication rétablit les unités des variables et la
modulation spatiale de l’erreur de prévision
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 5SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Modèle de covariances d’erreur de prévision basé sur
Corrélations homogènes et isotropes
des corrélations homogènes et isotropes
• Forme matricielle des covariances: B =  C 
Représentation des covariances
T
où S est la matrice diagonale contenant les écarts-type.
B(x ,x )  (x ) (x )  
1 2 1 2
• Modèles de corrélations homogène et isotropes
où (x) est l’erreur de prévision au point x
C(x ,x ) = f(|x - x |)
Propriétés
1 2 1 2
B(x ,x ) B(x ,x ) Isotrope: fonction ne dépend que de la distance entre deux points
* Symétrique
2 1 1 2
T T T T 2
Homogène: cette dépendance est la même en tout point (la fonction de
* Définie positive x Bx  (x )(  x)  (x )  0
corrélation ne change pas)
2
* Variances B(x,x)   (x)
• Corrélations homogènes et isotropes n’impliquent pas que les
covariances le soient puisque les écarts-type peuvent varier d’un
B(x ,x )
1 2
C(x ,x ) 
Corrélations 1 2
point à un autre
(x ) (x )
1 2
C(x,x)  1
• Forme spectrale des corrélations homogènes et isotropes est une
Forme matricielle
matrice diagonale
1 C  C
  0  0      0  0 
1 12 1n 1
     
des covariances
C 1  
0    0   
 2   21   
2
B 
     
   0    C    0
(n 1)n

    
     
0  0  C  C 1 0  0 
n1 n(n 1)
 n     n 
Représentation spectrale des corrélations
L L
L
   
~ 1
imKx inKx
1 1 2
imKx    
~ • Forme spectrale: C (m,n)  (x )e dx (x )e dx
1 1 2 2
2  
  (x)e dx  S     
• Séries de Fourier
m  L
 0   0 
L
0
unidimensionnelle L L
1
m  
imKx 1 inKx 2
imKx 1  dx e (x ) (x ) e dx
~ ~ 1 1 2 2
2  
(x)   e  S 
* où K = 2 /L  m L
0 0
m  
L L
1
* imKx inKx
~ ~ 1 2
 dx e f (| x  x |)e dx
  
 m m 2  1  1 2 2
L
0 0
* Propriété:
• Changement de variable:  =x -x
• Forme spectrale d’une matrice 1 2
L L
~ 1
imKx inK (x  )
1 1
~
~ ~ ~ ~ T C (m,n)  dx e f ( )e d 
1
2  
C (m ,n)   (m )  ( n)   
L
0 0
T T T T T
L L
 (S )(S )  S (  )S  S  S
1
i (m n )Kx inK 
1
 dx e f ( )e d 
2 1
 
T
L
 SCS
0 0
L
~ 1 ~
i (m n )Kx
1
 f dx e  f (m n)
~
1 1 T n 1 n

• Relation inverse:
C  S C(S )
L
0
• La forme spectrale de la matrice des corrélations conduit à
une matrice diagonale dont les éléments sont obtenus des
coefficients spectraux de la fonction de corrélation f( )
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 6SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Remarques Opérateurs élémentaires de l’analyse
T
T 1
1 1
• Cas 2D sur le plan J ( )     H(G )  y  R H(X( ))  y 
• Formulation
2 2
1/ 2 T T 1
J ( )    (B ) H RH(X( ))  y
* Passage en coordonnées polaires: (x,y)  (r, )
* Transformée de Hankel unidimensionnelle
1 / 2
• Changement de vvaariablesriables
  B (X  X ))
b
(c.f. Dalley (1991)(1991), ch.4, sect. 44.33 et Annexe GG) )
1 / 2
X  X  B   X (  )
développement en termes de fonctions de Bessel b
1/2
• Décomposition de B :
• Cas 2D sur la sphère
T
~ T ~ ~
1 1 1 1 / 2 1 1 / 2
B  S C S    S C  S C 
* Représentation spectrale est basée sur les harmoniques
T
1 / 2 1 / 2
sphériques (zonales)
 B B
~
1 / 2 1 1 / 2
* Fonctions de corrélations sont représentées en termes des
B  S C
composantes zonales seulement (((Boer (1983); Gauthier et
al. (1993))
Description du changement de variables
* Gauthier et al. (1998):modèle de corrélation homogène et
isotrope sur la sphère (utilisé dans le 3D-Var du SMC)
~
1/ 2 1 1
C S  H R 1
• Modèle de covariance dont la représentation est compacte
    X  X  X  X  H(X)  y R (H(X)  y)
1 1 b
(e.g., 2N coefficients au lieu de N(N+1)/2
Exemple: assimilation d’une mesure
Calcul du gradient
d’intensité de vent
J (  )  J (    )  J (  )
0 0 0
• Intensité de vent V et composantes horizontales
T
 
T H
T 1 / 2 1
du vent u et v:
   B RH(X )  y
  2 2
0 0
V  u  v
X
 X X 
0
 
T
  J (  )
0
Perturbation de V causée par un changement u
T ~ T ~ V V
et v:
1 / 2 1 / 2 1 T 1 / 2
V  (u ,v ) u  (u ,v ) v
On a tout d’abord que: B  C S   C S  0 0 0 0
u v
u
-1 T  V V   
En effet, (S ) = S. Ceci découle du fait que S est une transformation unitaire.
  (u ,v ) (u ,v )   
0 0 0 0
 
v
 u v 
 
1~ 1~ ~ ~
S v ,S v  v ,v
1 2 1 2
S
G  u 
 H' (u ,v )    H' (X ) X
0 0   0 0
~T 1 T 1~ ~T ~
v
 
v (S ) S v  v v
1 2 1 2
1 T 1
GrGradientadient de J par rapporapport à XX: :
(S ) S  Id 0
T 1
1/2
 J (X )  H'(X ) R (H(X )  y)
Variation de H(X) causée par une variation X = B  de l’état-
X 0 0 0 0
modèle 2 2 2 2
 
H
  u / u v  u v V 
0 0 0 0 0 obs.
 
H(X  X)  H(X )  (X )  X  H'(X )  X
0 0 0 0 
 
2
2 2
X  
  
v / u v
o
0 0 0
 
où X = X + G  .
0 b 0
H’(X ) est la matrice jacobienne de H évaluée en X .
Aucune correction sur la direction
0 0
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 7SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Expression pour le gradient de J ( ) Forme duale du 3D-Var: le 3D-PSAS
0
T
1
1
J ( )  H(X( ))  y R H(X( ))  y 
Cohn et al., 1998; Courtier, 1997; El Akkraoui et al., 2008:
o
2
• Evaluation de J :
o
~
1/ 2 1 1
1
C S  H R 1 T T
     X  X  X  X  H(X)  y R (H(X)  y) X  X  BH R  HBH  y  HX 
1 1 b a b b
T
 X  BH w
b
T
où w est tel que
R  HBH w  y  HX 
b
• Evaluation du gradient de J :
o
Minimisation dans l’espace des observations
T
1 / 2 T
 J (  ) X /    J (X)  (B )  J (X)
 0 0 X o X o
TTT
1 / 2 T T 1 1
 (B ) H' RH(X)  y J()ww R HBH ww yHX 
 
2 b
• Remarque
~
1/ 2 T
C S  H' 1
 J ( )     J (  )    J (X )    J (X)   R H(X)  y 
 o  o 1 X o 1 X o * Nombre d’observations est moindre que le nombre de degrés de liberté de X
1 1
* Formulation similaire à celle de schémas comme l’interpolation optimale ce
• Fonction coût est représentée par une composition de qui facilite son implémentation
changements de variables et le gradient peut être obtenue en
* Equivalence n’est vraie qu’en autant que H soit linéaire.
applicant la règle de dérivation en chaîne
* Préconditionnement de la minimisation est plus difficile.
* Opérateurs sont les mêmes que pour le 3D-Var.
Classification qualitative des non linéarités
• Incrément d’analyse résultant de l’assimilation des données
d’un radiosondage complet
• Problème inverse linéaire
* Opérateur d’observation est de la forme y  Hx
* L’estimé a priori a une distribution Gaussienne et les équations de l’analyse sont alors
purement linéaires
* Peu de problèmes réels d’inversion sont dans cette catégorie
• Problèmes quasi-linéaires
* Problèmes non linéaires mais qui peuvent être résolus à l’aide d’une linéarisation au
voisinage d’un état raisonnable pour une plage de variations typiques pour une variable
(e.g., température, humidité)
• Problèmes modérément non linéaires
* Linéarisation peut être adaptée pour une estimation de l’erreur d’analyse mais pas pour
résoudre le problème directement
* Approche par linéarisations successives doit être adoptée
 Approche incrémentale
* Plusieurs problèmes d’assimilation sont dans cette catégorie
• Problèmes hautement non linéaires
* Situations pour lesquelles des variations de l’ordre des erreurs de prévision et d’observation
nécessitent la prise en compte des non linéarites
* Situations avec processus de seuil comme le déclenchement de la précipitation, la présence
d’un nuage ou non.
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 8SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Approche incrémentale Approche incrémentale (suite)
• Formulation originale
• Nouvelle forme de la fonction objective devient
T T
1 1
1 1
J(X) X X BX X  HX y  R HX y 
2 b b 2 T
T 1/ 2 1 1/ 2
1 1
J ( )     H'B   y'  R HB   y' 
1 T 1 L 2 2
J(X) BX X H RHX y
b
T
1/ 22 TT 1 1/ 2
J      B HH'' R HB   y' 
L
1/ 2 1/ 2
• Changement de variables   B (X  X )  B x
b
1/ 2

y'  y H X 
X  X  B   X(  )
b b
• Nouvelle forme:
T
T 1
1 1
• Forme est similaire au problème original sauf que
J( )    H(X( )) y R H(X( )) y 
2 2
T
1/ 2 T 1 * Les observations sont remplacées par les innovations
J( )   B H RH(X( )) y
* LL’opérateuropérateur d’observationtion estest remplremplacé acé par son approxapproximation
linéaire tangente linéarisée autour de l’état courant défini par X
b
• On constate que la variable est reliée à l’incrément d’analyse x
* Approximations peuvent être justifiées pour les incréments mais pas
H
nécessairement pour un état modèle complet
 
H X(  )  H X  x  H X  X  x  
b b b
X
 H'(X )  x
b
Résumé
Relation entre fonction de coût et les approximations
quadratique successives (Laroche et Gauthier, 1997)
• Estimateur de variance minimale est
 
X  X K y HX
a b b
• Méthode variationnelle ramènramène e le problèmeproblème à la
minimisation d’une fonction coût
T
T 1
1 1
J( )     H(X( )) y  R H(X( )) y 
2 2
T
1/ 2 T 1
J( )   B H RH(X( )) y
• Modélisation des covariances d’erreur basée sur des corrélations
homogènes etet isotrisotropes
• Forme variationnelle 3D décrit le problème comme une succession
de changement de variables dont la transposée (adjoint) permet
d’obtenir le gradient de la fonction coût
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 9