SCA-7212 Cours No.3 3D-VAR(2010)

SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique
UQAM Hiver 2010
Interpolation optimale
Equations de l’interpolation statistique
• Résolution directe du problème
1
X  X  Ky HX T T
a b b
X (p )  X (p )   BH R HBH  y HX 
a i b i i b
1
T
T T
 X (p )   BH w
K  BHR  HBH b i i
K
P  I KH B
 XX ((pp )  W w
a b i  ik k
k 1
* Introduction de simplifications: sélection de données
Matrice de gain (ou poids statistiques): K
* Conduit à des problèmes de petite dimension qui peuvent être résolus
explicitement
Innovations (ou écarts aux observation: y-HX
b
* Champ analysé à différents points de grille n’utilise pas nécessairement les
mêmes données






 


X X
1 2








  


Formulation variationnelle de l’interpolation
Impact de la sélection de données
statistique (Lewis et al., 2006: sect. 20.2 et ch. 10 à 12))
• Influence d’une
observation
Ax  b
• Résolution de systèmes
T T
11
* TraitTrait plein:plein: 33DD-Var mini J (x )  xx Ax  x b
2
d’équations linéaires de
* Tireté: interpolation J (x )  Ax  b
grande taille
optimale
* Méthode du gradient
* Fig. 9 de Gauthier et al.
(1999)
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UQAM Hiver 2010
Le 3D-Var Démonstration:
• Fonction objective
1 1
1 T 1 T 1 T T
B  H R H H R  BH R  HBH 
T T
1 1
1 1
J(X) X X BX X HX y RHX y
2 b b 2
1 T 1 • Multiplication, de part et d’autre, à gauche
J(X) BX X H RHX y
b
-1 T -1
papar (B + H R H) etet àdà drotoiteep pa ar (R +
T
HBH )
• Au minimum de J, X = X et J(X ) = 0:
a a
1 T 1 1 T 1 1
T 1 1 T 1 T T
B (X X ) H RHX y B (X X ) H R H X X   y HX  
a b a a b a b b H R  B  H R H BH R  HBH 
1 T 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T
B H R HX X H Ry HX
H RR  HBH B  H R HBH
a b b
T T 1 T T T 1 T
H  H R HBH  H  H R HBH
0
• Incrément d’analyse (X - X ):
a b
1
1 T 1 T 1
X  X B  H R H H R (y  HX )
a b b
?
1
T T
BHR  HBH (y  HX )
b
• Montrer que:
?
1 1
1 T 1 T 1 T T
B  H R H H R  BH R  HBH 
Exemple pour l’analyse en un point
Matrice hessienne et covariance d’erreur
d’analyse
• Analyse de température en un point sur le dernier
2
 
 J
1 T 1 niveau du modèle utilisant une mesure de la
• Matrice hessienne:  
J"   B H R H
 
X X température à 10m
i j
 
ij
T
b Niveau du modèle
• Covariance d’erreur d’analyse P  (I  KH )B  B  KHB
a
T
obs. Niveau à 10 m
• Substitue K par l’expression donnée précédemment
1
1 T 1 T 1
 
P  B B  H R H H R HB
a
 
  Opérateur d’observation: HT =  T
1
1 T 1 1 T 1 TT 1
 B  H R H   BB  H R H B H RR HB 
T T  (T  T )
Valeur analysée:
a b obs. b
1
1 T 1 T 1 T 1
B  H R HI  H R HB H R HB
Estimé minimisant la variance d’erreur d’analyse:
1
1 T 1
2
B  H R H 
b
 
2 2 2
   
o b
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Formulation variationnelle: exemple pour l’analyse
Méthode du gradient
en un point
(k) (k+1) (k+1) (k)
• En partant du point X , trouver un point X tel que J(X ) < J(X )
• Minimiser la fonction coût:
T T
1
J(X)  X QX  X b C
2
2 2
1 (T T ) 1 ( T T )
T
b obs
Q est définie positive ce qui signifie que pour tout vecteur X, X QX > 0
J((T))  
2 2
2  2 
b o
Ceci nous assure qu’un minimum unique existe
J (T T ) ( T T )
(k ) (k )
b obs (k)
J (X )  QX  b
1/ Calculer J(X )
J(T)    
2 2
(k ) (k )
T   g  J (X )  QX  b
2/ Direction de recherche:
k
b o
2 (k)
f ( ) J(X  g ) J(X( ))
3/ Fouille linéaire k

b
T T  (T  T ) T
a b obs b ( )
2 2 2 df dX  
(k)
      ( )  J(X  g )
k
o b  
d  d 
 
T (k)
 gQX b  Qg
k k
Incrément d’analyse (T -T): changement apporté au champ T T
a b
 g Qg  g g  0
k k k k
d’essai pour s’ajuster à la valeur observée
T
g g
*
k k
 
T
g Qg
Equivalent modèle de l’observation ( T ): k k
b
état-modèle est converti en équivalent de l’observation.
(k 1) (k ) *
4/ Nouvel itéré:
X  X   g
k
Préconditionnement du 3D-Var par changement de
Convergence de la minimisation et
variables
préconditionnement
• Formulation originale
T 1 T 1
1 1
J(X)  X X  B X X   HX y  R HX y 
2 b b 2
• Minimisation de
T
1 T 1
J( ) = 1/2 (  .
   
J(X) B X XX H R HX y
b
1/ 2
• Changement de variables  B (X  X )
b
• Peu importe le point de 1/ 2
X  X B   X( )
b
départ, la minimisation
• Nouvelle forme:
converge en une seule
T
T 1
1 1
J( )     H(X( )) y  R H(X( )) y 
itération. 2 2
T
1/ 2 T 1
J( )   B H RH(X( )) y
• Algorithmes de minimisation
* Gradient conjugué (réf. Gollub et van Loan, 1996)
* Quasi-newton (Navon et Legler, 1987: Mon. Wea. Rev., 115,1479-1502)
* Lewis et al. (2006): ch.10 à 12
• Minimisation comprend généralement moins d’une centaine
d’itérations
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Opérateurs élémentaires de l’analyse Calcul du gradient
T
T 1 J (  )  J (   )  J (  )
1 1
0 0 0
J ( )    H(G )  y R H(X( ))  y 
• Formulation
2 2
T
1/ 2 T T 1
 
T H
J ( )    (B ) H RH(X( ))  y T 1 / 2 1
   B RH(X )  y
 
0 0
X
 X X 
 0 
1 / 2 T
• Changement dede vvaariablesriables
  B ((XX  X )   J (  ))
b 0
1 / 2
X  X  B   X (  )
b
T où X = X + G  .
1/ 2 1/ 2
0 b 0
B  B B
1/2
Variation de H(X) causée par une variation X = B  de l’état-modèle
H’(X ) est la matrice jacobienne de H évaluée en X .
0 0
Description du changement de variables
H
 
H(X  X)  H(X )  (X )  X  H'(X )  X
0 0 0 0
 
X
 
1/ 2 1
B H R
1
  X  X  X H(X)  y   R (H(X)  y)
b
Exemple: assimilation d’une mesure
Expression pour le gradient de J ( )
0
d’intensité de vent
T
• Intensité de vent V et composantes horizontales du vent u et v: 1 1
• Evaluation de J : J ( )   H(X( ))  y  R H(X( ))  y 
o 2
o
2 2
V  u  v
1/ 2 1
B H R 1
   X  X  XX  H(X)  y   RR (H(X)  y)
b
• Perturbation de V causée par un changement u et v:
V V
V  (u ,v ) u  (u ,v ) v
0 0 0 0
u v
• Evaluation du gradient de J :
u o
 V V   
  (u ,v ) (u ,v )   
0 0 0 0
  T
1 / 2 T
 u v  v
   J (  )   X /     J (X)  (B )  J (X)
 0 0 X o X o
 u  1 / 2 T T 1
 (B ) H' RH(X)  y
 H' (u ,v )    H' (X ) X
0 0   0 0
v
 
T
1/ 2 T
B H' 11
Gradient de J parpar rrapportapport à X:
 J ( )      J (X)   R HH((X)  y 
0  o X o
T 1
 J (X )  H'(X ) R (H(X )  y)
X 0 0 0 0
2 2 2 2
  • Fonction coût est représentée par une composition de
u / u vu v V
0 0 0 0 0 obs.
 

2 changements de variables et le gradient peut être obtenue en
2 2
 

/ 
v u v o
0 0 0
 
applicant la règle de dérivation en chaîne
 Aucune correction sur la direction
Prof. Pierre Gauthier UQAM 2010 4Σ
Σ
Λ
Λ
Σ
Λ
Λ
Σ
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UQAM Hiver 2010
Cas général
• Considèrant que
1   1  
B  C   B   C 
T 1   TT
C  V V  C  V  V
• On peut donc écrire que
Modélisation des covariances d’erreur de
T