Abrégé des probabilit

Abrégé des probabilit'e et statistique

-

Documents
29 pages
Lire
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Abr´eg´e
des
probabilit´e et statistique
1Marc Bourdeau
´Ecole Polytechnique de Montr´eal
R´evis´e le 27 octobre 2001
1Marc.Bourdeau@polymtl.ca 2 Table des mati`eres
1 La probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Concept de variable al´eatoire : VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 VA discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 VA continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Lois de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Principales caract´eristiques des VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Les param`etres de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Les`etres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Vecteurs al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Fonctions d’une VA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Exemple important : la loi de Laplace-Gauss . . . . . . . . . . . . . . 12
2 La statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Concept d’´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 L’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 De l’usage du biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Test d’hypoth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Les lois de ...

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de visites sur la page 80
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page  €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Signaler un problème
Abre´ge´edsprobabilite´etstatistiqueMarcBourdeau1E´colePolytechniquedeMontre´alRe´vise´le27octobre20011Marc.Bourdeau@polymtl.ca
2
Tabledesmatie`res1Laprobabilite´..................................1.1Conceptdevariableale´atoire:VA....................1.1.1VAdiscre`te.............................1.1.2VAcontinue.............................1.1.3Loisdeprobabilite´.........................1.2Principalescaracte´ristiquesdesVA....................1.2.1Lesparame`tresdelocalisation..................1.2.2Lesparame`tresdedispersion...................1.3Vecteursale´atoires.............................1.4FonctionsduneVA.............................1.5Exempleimportant:laloideLaplace-Gauss..............2Lastatistique..................................2.1Conceptde´chantillon...........................2.2Lestimation.................................2.2.1Delusagedubiais.........................2.3Testdhypothe`se..............................2.4LesloisdeFisher-Snedecor,etlestestsdevariance...........2.5Lecturedeslistagesdordinateurpourlestests.............2.6Aproximationspourlesloie´chantillonnales...............Re´fe´rences......................................55567889010121515161911242526272
2Telbasedmatie`res
Avant-proposL’appr´ehension,jel’ailenteetembrouille´e.MontaigneLaprobabilite´estdel’ordredelamode´lisationthe´orique.Lesphe´nome`nesale´atoires,c’esta`direceuxdontlamesure,lere´sultat,estincertain,ontparfoisdesmode`lesmathe´matiquesouprobabilistesdestine´sa`endirene´anmoinsquelquechosedepre´cis,nonobstantlehasardenaction.Lehasardalongtempse´te´conside´re´enfaitcommerelevantdel’ordredu“divin”,etilafalluattendrelaquasie´liminationdeladivinite´delaNaturepourquelehasarddevienneunobjetvalided’investigations,apparaissesujeta`desloisscientifiques.Laprobabilite´estdoncl’unedesdernie`resne´esdessciencesnaturelles.ElleremonteauXVIIesie`clepresquedeuxmille´nairesapre`squenaquirentlesautresdansl’Antiquite´.Ilyalare´alite´structurelle,oumondedeslois,etlare´alite´naturelle.Laproba-bilite´rele`vedelapremie`re,lastatistiquedelaseconde.Maislasecondeestfonde´eelle-meˆmeavanttoutsurlaprobabilite´.C’estgraˆcea`laprobabilite´toutefoisquelastatistiques’ave`resiutile.Onmode´liseunphe´nome`neale´atoireparuneloideproba-bilite´.Desse´riesd’observationstire´esdelanaturepermettentlecalculapproximatifdesparame`tresdumode`le,dontlapre´cisionfaitelle-meˆmel’objetdeloisprobabi-listes.Nousdivisonscetravailendeuxsectionsprincipales,l’unee´videmmentconsacre´ea`laprobabilite´etl’autrea`lastatistique.Normalementondoitapprofondirchacundecessujetspendanttoutuncours,maisquiestsouventviteoublie´,etilconvientpourlescoursquisuiventdemettrea`dispositionunre´sume´allanta`l’essentieldecesdisciplines.quecere´sume´serautile.Nousdevonspre´venirlelecteurducaracte`repeuformeldecepetittexte.L’expose´noussemblesuffisantpourpermettrelescalculse´le´mentairesne´cessairesdanslaviecourante.
4elbaTdsematie`res
1.Laprobabilite´Danscechapitrenousverronslesconceptsdevariableale´atoire,discre`teetconti-nue;deleursprincipalescaracte´ristiques;devecteurale´atoire;etdefonctiond’unevariableale´atoire.Noustermineronsparunexamenducasd’unevariablegaussienne,leplusimportantenpratique.1.1Conceptdevariableale´atoire:VASoitunepopulationquelconquePetuncaracte`requantitatifqu’onde´sireconnaıˆtredecettepopulation.Onsupposequelapopulationesttropgrandepourqu’onpuisseleconnaıˆtreexactement.Enpluspresquetoutemesureestentache´ed’er-reur,onladitale´atoire.Onconc¸oitainsicetteope´rationdemesured’uncaracte`recommeunefonctiondePdanslesre´els,quittee´ventuellementacodernume´riquementlesvaleursducaracte`res(e.g.lacouleurdesyeux,etc.).Cettefonctionestnote´epardeslettresmajusculesX,Y,etc.,sesvaleursenminuscules:X:P−→Rω7−→X(ω)=xR.Unetellefonctionpeuteˆtresoitcontinue,touteslesvaleursdansuneplagedere´elssontpossibles,oudiscre`te,quequelquesvaleurssontpossibles.Lafonctionpeuteˆtrevuecommeale´atoirecommesil’e´le´mentchoisi,ω∈Pe´tait“unebouledansuneurne”,etlavaleurdeXmesure´esurcete´le´ment.Enfait,onnotequelapopulation,P,nejoueplusqu’unroˆlelointain,puisquec’estmaintenantunchargesurledroitere´elle,ouunepartiedecelle-cimquide´finitlaprobabilite´associe´ea`uneVA.Lessectionssuivantesillustrerontceconcept.1.1.1VAdiscre`teSeulesquelquesvaleurssontpossibles,parexemplelesexeouunetranched’aˆge,oulestroisqualite´s“excellent”,“bon”ou“inacceptable”pourunproduit.Soinlenombredevaleurspossibles.Onlescodetoujourspardesnombresre´els,parexemple:2,1,0.Lapopulatione´tantvuecommeinfinie,onpeuttirerautantd’observationsqu’onde´sire,etsiN,cenombre,estassezgrand,lesproportionsdesfoisou`chaquevaleurestatteintedonneunbonneapproximationsdesproportionsdecesvaleursdanslapopulation.Onnoteles“vraies”proportions:
61.Laprobabilite´P[X=x1],∙∙∙,P[X=xn],etonabiennXP[X=xi]=1.1Onconc¸oitainsiqu’unefonctiondeprobabilite´discre`teestladonne´ed’uncertainnombredemassesponctuelleschargeantdespointsdeladroitere´elle.Lamassetotaleestnormalise´ea`l’unite´.L’analogiedelamasseavecunefonctiondeprobabilite´estfondamentale.Onpeutillustrerlesprobabilite´sdiscre`tesparundiagrammeenbaˆton(cf.Figure1.1)Exemple1.1Laloibinoˆmiale.Onadesboulesdedeuxcouleursdansuneurnedanslesproportionspet1p.Ontireavecremplacementnboulesdansl’urne.OnposeXlavariableale´atoire“nombredeboulesdelapremie`recouleurchoisiparmilesn”.Onvoitaise´mentquebiendessituationsdelaviecourantesontmode´lise´espardetellesVA.Ainsie´chantillonnernproduitsa`lasortied’unechaıˆnedeproductionpourenve´rifierlaconformite´ounonauxnormes.Meˆmesionneremetpaslabouledansl’urne,pourutiliseruneimage,lorsquelenombredeboulesestassezgrand(encorelameˆmeimage)laloibinomialeestunebonneapproximation.One´critX∼B(n;p),Xsuituneloibinomialedeparame`tresnetp.OnpeutvoirquelesvaleursdeXsontk=0,1,∙∙∙,n.Lapopulationestl’ensembledes(a1,...,an)avecai=0ou1,ou`onanote´conventionnellement0pourlapremie`recouleuret1pourlaseconde.OnmontrequeP[X=k]=npk(1p)nk.kLaformuleditedubinoˆmenousdonneimme´diatementlaraisondutermebinomialpourde´crirecetteloiouvariableale´atoire:nnXpk(1p)nk=(p+1p)n=1.k1=kOnpeutillustrerlesprobabilite´sdiscre`tesparundiagrammeenbaˆton(cf.Figure.)1.11.1.2VAcontinueDesexemplessontlesdure´esdevie(utile)d’unobjetoud’unoutil,ouencorelediame`tredeboulonsa`lasortiedelaproduction.Lesvaleursdesmesuresontalorsdesunite´sinfinimentdivisibles.Danscecaslaprobabilite´d’unevaleurparticulie`reestnulle,toutcequ’onpeutmesurerc’estlaprobabilite´d’unintervallesitue´danslaplagedesvaleursadmissibles.Enfaitsionse´parecelle-cienintervallesdegrandeurse´gales,etqu’ontireungrandnombredevaleurs,chaqueintervallerec¸oituneproportiondeX(ω)pre`sdelavraieproportion,etonpeutillustrerlaVAparunhistogramme,i.e.unefonctionenescalier,doncconstanteparintervalles,ou`chaqueintervallepre´fixe´acesproportionscommehauteur.Ilestcoutumierdelaisserlesnombresenvaleurabsolueetnonenproportioncommesurlafigure1.2,maispournotreillustrationon
55.53.51.x11.1Conceptdevariableale´atoire:VA7xx23Fig.1.1.–UndiagrammeenbaˆtonpouruneVAdiscre`tedevaleursx1,x2,x3doitcalculerentermesproportionnels.Lorsqu’onaugmentelenombred’observationsonpeutavoirdeshistogrammesavecdesmarchesdeplusenpluse´troites,etonconc¸oitqu’`alalimiteonobtienneune“fonctiondemasse”,demassetotaleunitaire,unedensite´deprobabilite´,donc,de´finiesurladroitere´elle.Notons-laf(x).CettefonctiondeRdansRestainsid’inte´grale1.Onlaconside`releplussouventde´finiesurtouslesre´els,etvalant0horsdelaplageadmissibledesvaleursdelaVA.Onsupposeraiciquel’inte´graledefsurtoutintervalleexiste,demeˆmequesesmomentsdetousordres.Onestpasse´desproportionsauxprobabilite´sparceprocessusd’ide´alisationdecequel’empiriquepeutdonner.Laprobabilite´quelavariableale´atoireaitsesvaleursdansl’intervalle[a;b]estdonne´eparla“masse”decetintervalle:bZP[aXb]=f(x)dx.aOnaaussie´videmment:Zf(x)dx=1etxP[X=x]=0.1.1.3Loisdeprobabilite´Onditqu’unevariableale´atoireXsuituneloiparticulie`relorsqu’onconnaıˆtsadensite´.IlyadenombreusesloisquiapparaissentdanslaNature(ousonide´ali-sation)etquisontbienconnues.Citonslesloisdiscre`tesbinomiales,ge´ome´trique,dePoisson;lesloiscontinuesexponentielles,deLaplace-Gaussougaussienneousimplementnormale(vusonimportance),gamma,etc.LeslivresdeJohnson&Kotz(1969,1970,1972)constituentuneminederenseignementspourlesloisdeprobabilite´etleursapplications.Lescalculsdeprobabilite´sefontsouvententermesdelafonctiondere´partitiondeprobabilite´(re´partitiondemasse),F(x)quin’estautrequelaprimitivedela
81.Laprobabilite´3.052.02.051.01.050.00-.5.51.52.53.54.55.56.57.58.5Fig.1.2.–Unexempled’histogramme,etdesonide´alisationenfonctiondemasse,oudensite´deprobabilite´,lorsquelenombredeboıˆtesdevientdeplusenplusgrandetcelles-cideplusenpluse´troites.densite´,etquidonne,pourn’importequelxRlamassecumule´ejusqu’a`x:xZF(x)=f(t)dt,cequiimpliquebiensuˆr:P[aXb]=F(b)F(a).(1.1)Plusieursdesloisquenousverronsparlasuiteontleurfonctiondere´partiontabule´e(ilestd’ailleursimpossibled’enobtenirlesvaleursexactes),etlescalculsdeprobabilite´desintervallessefontparl’e´quation1.1.1.2Principalescaracte´ristiquesdesVAQuellequesoitlaloid’uneVA,oncherchetoujoursa`enconnaıˆtrelesparame`trespourlapopulationconcerne´e.Cesparame`tressontdedeuxtypes:lesparame`tresdelocalisationetceuxdedispersion.Ilesta`noterquecesparame`tresnepeuventpasleplussouventeˆtreconnusdansleurre´alite´naturelle,paroppositiona`leurre´alite´the´oriqueoustructurelle,quepare´chantillonnage,c’esta`direpardesmesuressuruncertainnombred’e´le´mentsdelapopulation.Onreviendrasurcepointdanslechapitresuivant.1.2.1Lesparame`tresdelocalisationOnappellelamoyenned’uneVAsonpremiermoment,oulecentredemassedelare´partition:nZ1Xµ=xf(x)dxµ=xiP[X=xi].n1=i
1.2Principalescaracte´ristiquesdesVA9Lesgrandesvaleurspeuventeˆtrevraimentexcentriquesmaispastre`snombreuses,iln’estdoncpase´videntquelamoyennede´crivebienlatendancecentraledelapopulation.Lepremiermomenteneffetestfortementtire´parlesvaleursexcentriques.Ilsuffitdeprendreunexempleavecpeudepointsetde´placerl’unedesvaleursextreˆmespourconstatersoninfluencesurlamoyenne.Onpre´fe`resouventrecourira`unemesureplusrobustepourlocaliserunepopulation.Soitpunnombreentre0et1.Lavaleurxpdelavariableou`ellecumulelapro-portionpdelamassetotales’appellelepequantile(oulepercentilesips’exprimeenpourcentage)delare´partition.Lame´dianemestle50epercentiledunere´partition,i.e.lavaleurdelavariabletellequelamoitie´delapopulationsetrouvedepartetd’autre.Onae´videmment:F(xp)=pF(m)=.5Lame´dianeestunbienmeilleurindicateur,parexempledesrevenusdespopulations,quelamoyenne.Biene´videmmentc’esta`causedufaitquelame´dianeesttotalementinsensibleauxvaleursexcentriquesdesVA.Lespoints“aberrants”,leserreursdemesure,n’yjouentpresqu’aucunroˆle.Onpeutvoirl’e´tenduea`lafoiscommeunindicateurdelocalisationetcommeunindicateurdedispersion.L’e´tendueestladiffe´renceentrelavaleurmaximumetlavaleurminimumd’uneVA.E=xmaxxmin.1.2.2Lesparam`etresdedispersionLeplususite´desparame`tresdedispersionestl’e´carttype,σ,laracinecarre´edelavariancedelare´partition,e´videmmentσ2.L’e´carttypes’exprimedanslesmeˆmesunite´squelavarianceetestdonc,decefait,unemesureplusintuitive.nZXσ2=(xµ)2f(x)dxσ2=1(xiµ)2P[X=xi].n1=iEntermesdenotreme´taphoreme´caniste,ils’agitdudeuxie`memomentdelare´partitioncentre´surlamoyenne.Lesmomentscentre´sd’ordresupe´rieurjouentpar-foisunroˆle,notammentletroisie`mequivaut0pourdesre´partitionssyme´triques.