La lecture à portée de main
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDescription
Informations
Publié par | Thesee |
Nombre de lectures | 25 |
Langue | Français |
Extrait
AVERTISSEMENT
Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le
jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la
communauté universitaire élargie.
Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci
implique une obligation de citation et de référencement lors
de l’utilisation de ce document.
D’autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction
illicite encourt une poursuite pénale.
➢ Contact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr
LIENS
Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4
Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10
http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm UFR S.T.M.I.A.
´Ecole DoctoraleIAE+M
Universit´e Henri Poincar´e, Nancy-I
D.F.D. Math´ematiques
Analyse math´ematique des mouvements des rigides dans
un fluide parfait.
Th`ese
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 27 Juin 2008
pour l’obtention du
Doctorat de l’Universit´e Henri Poincar´e - Nancy I
(Sp´ecialit´e Math´ematiques appliqu´ees)
par
Jean Gabriel Houot
Composition du jury
´
• Eric Bonnetier, Professeur, Universit´e Joseph Fourier Grenoble,
• Dorin Bucur, Laboratoire de Math´ematiques CNRS Universit´e de Savoie,
´
• Alexandre Munnier, Maitre de conf´erences, Institut Elie Cartan Universit´e Henri Poin-
car´e Nancy 1,
´
• Lionel Rosier, Professeur, Institut Elie Cartan Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1,
´
• Marius Tucsnak (Directeur de th`ese), Professeur, Institut Elie Cartan Universit´e Henri
Poincar´e Nancy 1,
Rapporteurs
• Jean-Michel Coron, Professeur, Universit´e Pierre et Marie Curie Paris VI
• Jean-Paul Zol´esio, Directeur de recherche C.N.R.S., INRIA Sophia Antipolis
´Institut Elie Cartan Nancyiiiii
Remerciements
Mes premiers remerciements vont `a mon directeur de th`ese Marius Tucsnak. Le connaissant
depuis le d´ebut de ma formation `a l’Universit´e Henri Poincar´e, ce fut pour moi une immense joie
de travailler sous sa direction. Je le remercie tout d’abord pour tout le temps qu’il m’a consacr´e
et pour avoir partager avec moi son immense exp´erience scientifique. Je dois aussi souligner son
enthousiasme, sa patience et son optimisme. Je lui suis extrˆemement reconnaissant de m’avoir
fait d´ecouvrir diff´erents domaines des math´ematiques et de m’avoir fait rencontrer autant de
personnes prestigieuses dans le monde des math´ematiques appliqu´ees. De simple remerciements
ne suffiraient pas a` montrer ma gratitude envers cet homme que je respect et admire. J’esp`ere
pouvoir encore travailler avec lui dans le futur.
Jean-Michel Coron et Jean-Paul Zol´esio m’ont fait l’immense honneur de rapporter cette
th`ese. Je remercie ces personnes d’exception pour le temps qu’ils ont consacr´e`amath`ese et
pour leurs soutiens et leurs encouragements qu’ils m’ont t´emoign´es.
´Je remercie infiniment Eric Bonnetier, Dorin Bucur, Alexandre Munnier et Lionnel Ro-
sier qui m’ont fait l’honneur de participer a` mon jury de th`ese. Je remercie particuli`erement
Alexandre Munnier avec qui j’ai publi´e mes premiers r´esultats et qui reste un ami sinc`ere pour
moi.
´Je remercie l’ensemble du personnel de l’Institut Elie Cartan pour leur soutien. Mes pens´ees
se tournent particuli`erement vers les membres de l’´equipe EDP avec qui j’ai partag´e mes
premi`eres exp´eriences dans le monde de la recherche.
Mes derniers remerciements vont aux th´esards au laboratoire qui ont partag´e mon quotidien.ivTable des mati`eres
Introduction vii
1Mod´elisation et notation. 1
1.1 Notations ....................................... 1
1.2 Mod´elisation...................................... 3
1.2.1 Les ´equations des rigides ........................... 3
1.2.2 Les milieux d´eformables 7
1.2.3 Le syst`eme fluide structure.......................... 10
1.2.4 Le cas des fluides potentiels ......................... 13
2 Mouvement du disque dans un demi-plan 19
2.1 Quelques rappels sur les transformations conformes ................ 20
´2.2 Etude du Lagrangien du syst`eme 27
2.3 Influence de la paroi sur le mouvement ....................... 3
´2.4 Etude du choc..................................... 37
3 Espaces fonctionnels et probl`emes de Neumann 47
3.1 D´efinitions de espaces de Sobolev .......................... 47
3.2 Une classe de diff´eomorphismes ........................... 49
3.3 Produit et composition ................................ 53
3.4 Probl`eme de Neumann non homog`enes 5
3.4.1 Le cas des domaines born´es......................... 55
3.4.2 Le cas des non born´es....................... 56
4 Probl`eme de Neumann d´ependant d’un param`etre 59
4.1 Le cas des domaines born´es ............................. 59
4.2 Le cas des non born´es 67
5 Cas potentiel 71
5.1 Existence et unicit´e locale des solutions 71
5.2 Lien entre les diff´erentes descriptions ........................ 76
6 Cas g´en´eral 85
6.1 Le r´esultat principal ................................. 85
6.2 Pr´eliminaires ..................................... 86
6.3 D´ecomposition de la pression............................. 89
6.4 Une forme ´equivalente du syst`eme.......................... 94
6.5 L ,L sont localement Lipschitz 98S F
6.6 Preuve du r´esultat principal .............................106
Conclusions et perspectives 113
v`vi TABLE DES MATIERESIntroduction
Durant ces dix derni`eres ann´ees, de nombreux travaux ont ´et´e consacr´e`al’´etude des syst`emes
fluide-structure. En a´erodynamique, l’´ecoulement de l’air autour d’une aile d’avion a ´et´e large-
ment ´etudi´e. En biologie, ce type de probl`emes permet de d´ecrire le mouvement d’ˆetres vivants
dans l’oc´ean, par exemple la nage du dauphin ou le d´eplacement d’organismes aquatiques. En
m´ edecine, la circulation sanguine se d´ecrit par l’´ecoulement d’un fluide dans un tube dont la pa-
roi est ´elastique. Cette th`ese est consacr´ee `a l’analyse math´ematique des ´equations mod´elisant
le mouvement des solides rigides `a l’int´erieur d’un fluide parfait.
Pour donner une id´ee de la probl´ematique de cette th`ese, nous consid´erons le probl`eme
mod`ele d´ecrivant le mouvement vertical d’un disque dans un fluide potentiel contenu dans un
demi-plan.
5
4
Ω
h
3
2
h
1
0
−1 0123456
−1
La vitesse du fluide u est suppos´ee ˆetre le gradient d’une fonction ∇Φ. Compte tenu de la
condition d’incompressibilit´e du fluide et de la continuit´e de la vitesse normale a` l’interface, Φ
satisfait le probl`eme de Neumann suivant :
−ΔΦ(x)=0 pour x∈ Ω ,h
∂Φ
(x pour y =0,
∂n
∂Φ
⊥ 2 2˙ ˙(x)=[ h(t)+θ(t)(x− h(t)) ]· n(t,x) pour x +(y− h) =1,
∂n
o`u h =( h(t), 0) est la position du centre de gravit´e du disque, θ est l’angle de rotation et
⊥(x,y) =(−y,x). Dans ce cas, il faut remarquer que le vecteur normale n sur le cercle est
˙proportionnel `a x−h(t). Ainsi la fonction Φ ne d´epend que de h et h. Compte tenu du fait que
˙ ˙la d´ependance par rapport a` h est lin´eaire, la vitesse du fluide se r´eduit `a u = h∇Φ o`uΦ esth h
solution du probl`eme de Neumann
−ΔΦ (x)=0 pour x∈ Ω ,h h
∂Φh
(x pour y =0,
∂n
∂Φh
2 2(x)=h− y pour x +(y− h) =1.
∂n
viiviii INTRODUCTION
Dans ce cas l’unique degr´e de libert´e du syst`eme est la distance h du centre du disque `ala
paroi. Les ´equations du mouvement se r´eduisent `a la conservation de l’´energie cin´etique E du
0
syst`eme fluide-structure
1 1
2 2˙ ˙E + E = m h + K(h)h = E ,S F S 0
2 2
2˙o`u E =1/2m h est l’´energie cin´etique du solide etS S
1
2
2˙E = K(h)h , avec K(h)=ρ |∇Φ (x)| dx.F F h
2
Ω
h
Ainsi nous obtenons l’´equation diff´erentielle ordinaire du syst`eme
2E
0˙h =− .
m + K(h)S
Une grande partie de cette th`ese consiste `a´ etudier la fonction K.
Une analyse rigoureuse de l’´equation diff´erentielle ordinaire ci-dessus passe par l’´etude de la
fonction K. Cette ´etude n´ecessite des techniques de d´erivation par rapport au domaine. Dans le
cas g´en´eral cet exemple est li´e`al’´etude du choc entre un disque et la paroi d’un demi plan qui
contient un fluide potentiel. Plus pr´ecis´ement l’existence de contact `a vitesse non nulle entre le
disque et la paroi est conditionn´ee par la propri´et´e
lim sup K(h) < +∞.
h→1
Cette propri´et´e sera prouv´ee dans la suite. Notons que dans le cas des syst`emes fluide-structure
pour des fluides visqueux les travaux de San Mart´ın, Staro