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08-p198-208.fm Page 201 Mardi, 30. mars 2004 4:16 16
Apprendre à chercher
Les exercices de cette rubrique, de difficulté moyenne pour la plupart, ne sont pas des exercices résolus.
Le questionnement veut montrer comment on peut organiser une recherche et suivre un raisonnement ...

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Langue Français

Exrait

201
Utiliser le théorème de Thalès pour calculer
ABC est un triangle équilatéral de côté
a
, D le point de
disposé comme l’indique la figure, tel que
. Une droite
d
passant par D coupe le segment
en J et le segment
en I. On pose
et
.
Objectif :
Trouver une relation entre
x
,
y
et
a
.
a)
Précisez ces deux configurations.
b)
Écrivez les égalités de rapports qui en résultent.
c)
Déduisez-en que
.
a)
Démontrez que
.
b)
Déduisez-en que
.
c) Application
.
On choisit
. Peut-on placer I sur
pour que J
soit le milieu de
?
Utiliser le théorème de Pythagore
et la trigonométrie
ABC est un triangle tel que
,
et
.
Objectif :
Calculer la valeur exacte de BC.
a)
Quelles sont les mesures des angles du triangle
CHA ?
b)
Déduisez-en les valeurs exactes de CH, AH et HB.
c)
Démontrez que
.
Utiliser les droites remarquables
d’un triangle
ABC est un triangle isocèle en A. Le cercle
de
diamètre
coupe
en D et
en E. La per-
pendiculaire à
passant par C coupe
en F.
Objectif :
Démontrer que les points A, D et F sont ali-
gnés et que le triangle BFC est isocèle.
a)
Quelle est la nature du triangle AEB et du triangle
ADB ? Justifiez votre réponse.
b)
Pourquoi peut-on affirmer que A est l’orthocentre
du triangle BCF ?
c)
Pourquoi peut-on affirmer que
est la média-
trice de
?
a)
Que peut-on dire des droites
et
? des
droites
et
?
b)
Déduisez-en que les points A, D et F sont alignés.
c)
Pourquoi
?
Apprendre à chercher
Les exercices de cette rubrique, de difficulté moyenne pour la plupart, ne sont pas des exercices résolus.
Le questionnement veut montrer comment on peut organiser une recherche et suivre un raisonnement.
1.
Sur la figure n’apparaissent ni configuration de
Thalès ni triangle rectangle. D’où l’idée de tracer la
parallèle à
passant par C, qui coupe
d
en K. On fait
alors apparaître deux configurations de Thalès.
2.
Pour faire intervenir
y
, on pense à utiliser l’autre
configuration de Thalès.
26
BC
(
)
CD
2
a
=
AB
[
]
AC
[
]
BJ
x
=
CI
y
=
A
B
x
a
d
y
C
D
K
I
J
AB
(
)
CK
2
3
--
x
=
a
x
2
x
3
-----
-----------
a
y
y
-----------
=
2
ax
3
ay
xy
+
0
=
a
5
=
AC
[
]
AB
[
]
27
AB
6
cm
=
AC
4
cm
=
BAC
120
°
=
C
A
B
120°
6
4
Dans un triangle rectangle, la connaissance de certains
éléments (angles ou côtés) permet le calcul des élé-
ments manquants. L’idée est donc d’introduire un trian-
gle rectangle... mais pas n’importe lequel. Il faut pouvoir
utiliser l’hypothèse
. On projette, pour
cela, le point C orthogonalement en H sur
.
1.
1
re
étape : Tirer des conséquences immédiates
de la figure et des données.
Par hypothèse
est un diamètre de
. On obtient
une figure-clé liée au triangle rectangle.
2.
2
e
étape : Trouver une piste.
Tirons des conséquences des résultats obtenus sur
et
.
BAC
120
°
=
AB
(
)
BC
2 19
=
28
AB
[
]
BC
(
)
AC
(
)
AB
(
)
BE
(
)
C
B
D
E
A
F
AB
[
]
AD
(
)
BC
[
]
AF
(
)
AD
(
)
AF
(
)
BC
(
)
AD
(
)
BC
(
)
FB
FC
=