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Caractérisation d'une source de polluant en aéraulique à partir d'inversion de mesures de concentration, Characterization of a pollutant source in aerodynamics from inversion of measurements concentration

De
148 pages
Sous la direction de Denis Maillet
Thèse soutenue le 24 novembre 2010: INPL
Cette étude est consacrée au problème inverse d’estimation de l’intensité et de la position d’une source de polluant. Nous inversons tout d’abord des mesures de concentration à l’intérieur d’une chambre à sable(extension des égouts souterrain) en utilisant la méthode d’identification modale pour estimer l’intensité d’émission du gaz H2S. Une approche originale est ensuite proposée pour estimer la position d’une source en utilisant la notion de transmittance entre deux capteurs. Des outils de régularisation sont utilisés afin d’estimer chaque transmittance, dont le produit de convolution avec la concentration d’un capteur choisi comme référence correspond à la réponse d’un capteur quelconque. Les transmittances estimées à partir des signaux de concentration simulés dans une configuration d’un écoulement tunnel avec source ponctuelle sont ensuite comparées à la sortie d’un modèle analytique 1D de l’équation de transport.L’utilisation d’un algorithme de minimisation non linéaire a permis d’estimer d’abord la vitesse et le coefficient de diffusion de l’écoulement et ensuite la position de la source, sous certaines hypothèses
-Problème inverse
-Outils de régularisation
-Identification de sources
-Simulation numérique CFD
-Advection-diffusion
-Transfert de masse
-Représentation d'état
This numerical study deals with the inverse problem of estimating the intensity and the positionof a pollutant source. The estimation of time-varying emission rates of pollutant sources of H2S in asewer chamber is first implemented through inversion of concentration measurements using the modal identification method. A specific method based on transmittance functions between sensors output isused to estimate the source position. Regularization tools are applied to estimate each transmittance,whose convolution product with the concentration of a reference sensor models the response of any sensor.Transmittances estimated from simulated concentration signals in a tunnel flow with a point source arethen compared to the output of 1D analytical model for the transport equation. A nonlinear minimizationalgorithm is used to estimate the velocity and the diffusion coefficient first and the source position next,under some assumption
-Inverse problem
-Régularisation tools
-Sources identification
-Numerical simulation CFD
-Advection-diffusion
-Masse transfert
-State representation
Source: http://www.theses.fr/2010INPL077N/document
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AVERTISSEMENT



Ce document est le fruit d’un long travail approuvé par le jury de
soutenance et mis à disposition de l’ensemble de la communauté
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LIENS




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http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm
´ ´Ecole doctorale Energie M´ecanique et Mat´eriaux
Institut National Polytechnique de Lorraine
Caract´erisation d’une source de polluant en a´eraulique `a
partir d’inversion de mesures de concentration
`THESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 24 novembre 2010
pour l’obtention du
Doctorat de l’Institut National Polytechnique de Lorraine
Sp´ecialit´e M´ecanique et Energ´etique
par
Talal Maalej
Composition du jury
Rapporteurs : Daniel Petit, Professeur ENSMA, Institut P’, Poitiers
J´eroˆme Idier, Directeur de Recherches CNRS, IRCCyN, Nantes
Examinateurs : Francis Allard, Professeur des Universit´es, Universit´e de La Rochelle, LEPTIAB
Manuel Girault, Charg´e de Recherches CNRS, Institut P’, Poitiers
Jean-Raymond Fontaine, Ing´enieur de Recherches INRS, Vandœuvre
Denis Maillet, Professeur INPL, LEMTA, Vandœuvre
Invit´e : Francis Bonthoux, Ing´enieur INRS, Vandœuvre
Unit´e Mixte de Recherche Nancy-Universit´e et CNRS - UMR 7563Mis en page avec la classe thloria.Remerciements
Je tiens à exprimer tout d’abord mes remerciements aux membres du jury, qui ont accepté
d’évaluer mon travail de thèse.
Merci à M. Francis Allard, Professeur des universités de l’université de La Rochelle, laboratoire
LEPTIAB, d’avoir accepté de présider le jury de cette thèse, et à MM. les Professeurs Daniel
Petit de l’Institut P’ de l’ENSMA de Poitiers et Jérôme Idier, Directeur de Recherches CNRS à
IRCCyN de Nantes d’avoir accepté d’être les rapporteurs de ce manuscrit. Leurs remarques et
suggestions lors de la lecture de mon mémoire m’ont permis d’apporter des améliorations à la
qualité de ce dernier.
Merci également à M. Manuel Girault, Chargé de Recherches CNRS, Institut P’ à Poitiers, pour
avoir accepté d’examiner mon mémoire et de faire partie de mon jury de thèse.
C’est au sein de l’unité mixte entre l’INRS et le LEMTA, le Laboratoire de Modélisation et de
Prévention de la Pollution (LMPP), que cette étude a été réalisée en trois ans. A ce titre, je
remercieMonsieurDenisMaillet,ProfesseurauseinduLaboratoire d’Énergétique etdeMécanique
Théorique et Appliquée (LEMTA, UMR 7563 du CNRS) à l’Institut National Polytechnique de
Lorraine de m’avoir accueilli au sein du laboratoire. Mes remerciements s’adressent aussi à
MonsieurJean-RaymondFontaine,responsabledulaboratoireIngénieriedesProcédés(IP)àl’Institut
National de Recherche et de Sécurité (INRS), institut chargé de la prévention des accidents du
travail et des maladies professionnelles.
Je tiens à remercier aussi M. Francis Bonthoux, Ingénieur INRS, dont l’aide sur le plan
technique m’a permis de mener à bout cette thèse. Son soutien s’est avéré déterminant pour mener
ce travail à terme.
Je tiens également à exprimer à Denis toute ma reconnaissance pour ces trois années de thèse
que j’ai passées à ses côtés. Au cours de ces années, sa grande disponibilité, sa rigueur
scientifique, son enthousiasme et ses précieux conseils m’ont permis de travailler dans les meilleures
conditions. La confiance qu’il m’a accordée ainsi que nos nombreuses discussions m’ont permis
de progresser et de mieux appréhender les différentes facettes du métier d’enseignant-chercheur.
Soyez donc assuré, Monsieur, de toute mon estime et de mon profond respect.
Je tiens enfin à remercier les amis, doctorants ou non, qui m’ont aidé au cours des trois ans de
cette thèse : Vincent doctorant à l’INRS pour son aide à la résolution des équations
mathématiques, Fatna en tant que doctorante toujours prête à aider.
Jetiensàremercierl’ensembledel’équipeduLEMTAetplusparticulièrement ValérieReichhart,
iresponsable administrative de la fédération Jacques Villermaux, Edith Lang, secrétaire générale
du LEMTA, pour leur gentillesse et leur efficacité lors des difficultés administratives ou
logistiques que j’ai rencontrées.
Merci également à Madame Armelle Orel, secrétaire du département IP au sein de l’INRS pour
sa gentillesse et son soutien moral.
Un remerciement particulier pour ma cousine Sirine Maalej qui n’a pas hésiter de faire le
déplacement jusqu’a Nancy et qui a contribué à la préparation du pot de soutenance.
J’adresse un grand merci à toute ma famille qui a toujours été présente lorsque j’en ai eu besoin,
en particulier à mon père et à ma mère qui ont fait deux fois le voyage de la Tunisie pour assister
à ma soutenance de thèse. A mon frère Bilel, à ma sœur Soumaya et son mari Mahmoud.
Finalement je remercie ma femme Sana, pour sa patience, son soutien, son amour, et son aide
finale
iiMon père Abdessalem
Ma mère Chadia
Ma femme Sana
Mon frère Bilel
Ma Sœur Soumaya
Mon beau frère Mahmoud
iiiivTable des matières
Table des figures ix
Liste des tableaux xiii
Glossaire xv
Introduction 1
1 Sources de pollution, modèles et problèmes inverses de transport 3
1.1 Pollution et environnement de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Définition d’un polluant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Pollution de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Pollution de l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2.1 Polluant gazeux dans l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2.2 Polluant particulaire dans l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Méthodes de mesure de la pollution en aéraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Sources de pollution et transport d’un scalaire passif . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Structure d’un modèle et problème direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Modèled’étatmulti-entréemulti-sortiepourl’équationdetransportdemasse 13
1.4.3.1 Bruit de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3.2
Lesdifférentstypesdeproblèmesinversesendiffusiondelaconcentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Méthodes de réduction des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Les méthodes avec changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 La Méthode d’Identification Modale (MIM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2.1 Représentation d’état du modèle détaillé . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2.2 Structure du Modèle Réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2.3 Modèle réduit élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
vTable des matières
1.5.3 Le procédé global de réduction utilisant la MIM . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Résolution du problème inverse d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Problème de l’estimation de la position d’une source de polluant . . . . . . . . . 27
1.7.1 Modélisation de l’équation d’advection-diffusion turbulente . . . . . . . . 27
1.7.1.1 Dispersion atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.1.2 Dispersion dans un local à ventilation contrôlée . . . . . . . . . . 29
1.7.2 Problème inverse de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Estimationdel’intensitéd’unesourcedepollutionàl’intérieurd’unechambre
à sable 31
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Assainissement et égouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Problèmes liés à la présence d’H S dans les réseaux d’assainissement . . . . . . . 332
2.3.1 Les gaz présents dans les égouts et H S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
2.3.2 Processus de formation d’H S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
2.3.3 Toxicité de l’hydrogène sulfuré et moyens de protection . . . . . . . . . . . 36
2.3.4 Effet d’H S sur le fonctionnement d’une station d’épuration . . . . . . . . 372
2.3.5 Dispositifs de détection de l’hydrogène sulfuré dans l’air des égouts . . . . 37
2.3.6 Dégagement de l’H S et source de pollution aéraulique . . . . . . . . . . . 382
2.4 Position du problème et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Descriptiond’unechambre àsableetdesentrées-sorties desfluides lorsdelavidange 39
2.5.1 Moyens de ventilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Mode opératoire de la vidange d’une chambre à sable . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Mesures de vitesses/débits et simulation de l’aéraulique . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1 Débitmètre par anémomètre à fil chaud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.2 Débitmètre par Balomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.3 Simulation aéraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.4 Simulation numérique de l’écoulement dans la chambre . . . . . . . . . . . 48
2.7 Mesures des concentrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Simulation du transport du polluant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8.1 Résultats de simulation avec traceur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.2 Identification du modèle réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9 Inversion du modèle réduit (MIM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.1 Inversion des concentrations simulées par Fluent . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.2 Estimation de la source à l’intérieur de la chambre à sable . . . . . . . . . 60
2.10 Synthèse de l’étude sur la cartographie de pollution de la chambre à sable . . . . 61
vi3 Estimation de transmittances à partir de mesures 63
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Utilisation de transmittances pour l’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 Existence d’une transmittance entre capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 Paramétrisation des transmittances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.3 Transmittances paramétrées et matrice de Tœplitz . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4 Estimation des transmittances par moindres carrés ordinaires . . . . . . . 69
3.3 Application à un écoulement en tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Configuration retenue et solution du problème direct . . . . . . . . . . . . 70
3.3.2 Inversion par moindres carrés ordinaires OLS . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Estimation linéaire régularisée des transmittances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.1 Régularisation d’un problème inverse linéaire d’entrée . . . . . . . . . . . 76
3.4.2 Principe de la décomposition en valeurs singulières (SVD) . . . . . . . . . 77
3.4.3 Estimateur des moindres carrés ordinaires exprimé par SVD . . . . . . . . 78
3.4.4 Troncature de la SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.5 Transmittances estimées avec régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.5.1 Transmittances estimées par TSVD . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.5.2 Régularisation de Tikhonov et facteurs de filtrage . . . . . . . . 84
3.4.5.3 Choix de l’hyperparamètre de régularisation . . . . . . . . . . . . 85
3.4.5.4 Critère de Picard pour la TSVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Transmittances estimées par moindres carrés totaux . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.1 Principe des moindres carrés totaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.2 Moindres carrés totaux avec régularisation par TSVD . . . . . . . . . . . 94
3.6 Conclusions sur les méthodes d’estimation de transmittances . . . . . . . . . . . . 95
4 Transmittances analytiques en dispersion en tunnel et caractérisation de la
source 97
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Problème direct (Équation de transport) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.1 Cas unidirectionnel d’un écoulement en tunnel plan . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2 Résolution du problème direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.3 Calcul des transmittances du problème direct . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Cœfficients de sensibilité de la transmittance à la vitesse et à la diffusivité . . . . 103
4.4 Estimation des paramètres à partir des transmittances issues des courbes de
concentrations non bruitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.1 Estimation du cœfficient de diffusion et de la vitesse à partir des
transmittances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
viiTable des matières
4.4.2 Estimation de la position de la source et de son intensité à partir d’une
concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 Estimation des paramètres à partir des transmittances issues des courbes de
concentrations bruitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Conclusion générale et perspectives 111
1 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Annexe 115
1 Fonction de Beck (Pas de Temps Futurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2 Équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1 Remarques préliminaire sur les notations utilisées . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2 Origine mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.4 Écoulements laminaire et turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.5 Les équations de Navier-Stokes : Cas d’un fluide incompressible . . . . . . 119
Bibliographie 121
viiiTable des figures
1.1 Superposition des réponses à des excitations impulsionnelles . . . . . . . . . . . . 11
[ ]1.2 Problème direct/problème inverse Maillet et al., 2011 . . . . . . . . . . . . . . . 13
[ ]1.3 Équations d’état et de sortie d’un système linéaire Maillet et al., 2011 . . . . . . 15
[ ]1.4 Modélisation du système équipé d’un unique capteur Maillet et al., 2011 . . . . 17
1.5 Schémadeprincipedel’algorithmederéductionpourunmodèleréduitélémentaire
[ ](MIM) Maillet et al., 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Vue en coupe verticale des égouts en fonctionnement vidange . . . . . . . . . . . 33
2.2 Opération de vidange d’une chambre à sable : (a) vue de l’intérieur et (b) vue de
droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Vue de dessus de la chambre à sable simplifiée en fonctionnement vidange . . . . 41
2.4 (a) Camion pompe et (b) Balomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Chambre à sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Maillage de la chambre à sable (Gambit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Carte des vecteurs vitesse à l’intérieur de la chambre à sable . . . . . . . . . . . . 50
2.8 Localisation des capteurs à l’intérieur de la chambre à sable pendant la première
journée de l’intervention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Mesures de concentration d’H S pendant la première journée . . . . . . . . . . . 532
2.10 Mesures de concentration d’H S pendant la deuxième journée . . . . . . . . . . . 542
2.11 Carte des fractions massiques en régime stationnaire, du polluant à l’intérieur de
la chambre à sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.12 Courbes de concentration du polluant à l’intérieur de la chambre à sable par
simulation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.13 Source estimée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ˆ2.14 C (t) et C (t) : courbes de concentration du polluant H S. U(t) : intensité de la4 9 2
source du polluant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ixTable des figures
ˆ2.15 C (t) et C (t) : courbes de concentration du polluant H S. U(t) : intensité de la4 9 2
source du polluant (temps de 2500 s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1 Relation d’impédance entre la source et les capteurs. Relation de transmittance
entre le capteur référence et les autres capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Paramétrisation d’une transmittance à l’aide de fonctions constantes par morceaux 67
3.3 Schéma du tunnel plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Schéma d’un écoulement avec les conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Champ des concentrations aux temps longs dans l’écoulement en tunnel 2D . . . 72
3.6 Courbes de concentration non bruitées : (a) pour les observations en x> 0 et (b)
pour les observations en x< 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7 Transmittances estimées par OLS et THT (sans bruit) . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 (a) Courbes de concentration non bruitées pour les observations placées en x> 0
et (b) Courbes de transmittances non bruitées estimées par THT et TSVD (sans
bruit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.9 Résidu quadratique moyen en fonction de l’ordre de troncature k : (a) Estimation
de la transmittance W et (b) Estimation de la transmittance W . . . . . . . 8221 51
3.10 (a)Courbes deconcentration bruitées pourles observations enx> 0
et(b)Transmittances bruitées estimées par THT et TSVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.11 Comparaisonentredeuxtransmittancesestimées,lapremièreàpartirdelamatrice
M(C ) et la deuxième à partir de M(y ) : (a) pour la transmittance W (t) et1 1 21
(b) pour la transmittance W (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8351
3.12 Spectre des premières valeurs singulières λ qui décroissent quand k augmente :k
(a) pour la matrice de Tœplitz M(C ) et (b) pour la matrice de Tœplitz M(y ) 851 1
3.13 Écart relatif entre valeurs singulières de M(y ) et M(C ) . . . . . . . . . . . . . 861 1
3.14 Vecteurs propres V deM(C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86k 1
3.15 Courbe en L de la matrice de Tœplitz S = M(C ) : (a) pour C , TSVD coin à1 2
r = 48 et (b) poury , TSVD coin à r = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
−83.16 Courbe en L, Tikhonov : (a) pourS =M(C ) etC , coin à μ = 5,65 10 et (b)1 2
pourS =M(y ) et y , coin à μ = 0,026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881 2
3.17
ComparaisonentretransmittancesestiméesparTSVDetparTikhonov:(a)transˆ ˆmittances W (t) pourM(C ) ety et (b) transmittances W (t) pourM(C ) et21 1 2 41 1
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
x3.18
ComparaisonentretransmittancesestiméesparTSVDetparTikhonov:(a)transˆ ˆmittances W (t) pour M(y ) et y et (b) transmittances W (t) pour M(y ) et21 1 2 41 1
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
3.19 Méthode de Picard : Valeurs singulières de M(C ), (n = 300) et projections (en1 2
valeur absolue) : (a) des données exactesC sur les vecteursu et (b) des données2 k
bruitées y sur les vecteurs u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902 k
3.20 (a) Résidu calculé par TLS et (b) Courbes de transmittances bruitées estimées
par TLS pour r = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.21 Comparaison entre les transmittances estiméesW (t)pourdes signaux nonbrui-21
tés et bruités en utilisant la régularisation TSVD et TLS . . . . . . . . . . . . . . 95
3.22 Courbes de concentration bruitées recalculées par TLS (bruit d’écart type σ =
−210 C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961max
4.1 Transport 1D avec une source ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Courbes de Concentration obtenues par la solution du modèle analytique : (a)
−L −Lpour x∈ [0, L] et (b) pour x∈ [ , ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 15
4.3 Courbes de transmittance W (t) pour j = 2 à 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102j1
4.4 (a) Transmittances W (t) pour 2 vitesses u différentes (1% de variation) et (b)21 0
Sensibilité relative de la transmittance W (t) à la vitesse u (1% de variation) . 10321 0
4.5 (a) Transmittances W (t) pour 2 diffusivités D différentes (1% de variation) et21
(b) Sensibilité de la transmittance W (t) à la diffusivité D (1% de variation) . . 10321
4.6 Courbes de sensibilités réduites de la transmittance W (t) à la vitesse u et au21 0
cœfficient de diffusion D (0,01% de variation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
(0)id (0)4.7 Transmittance identifiée non bruitée W (t), initiale W (t; D ,u ) et recalcu-j1j1 0
ˆlée W (t; D,uˆ ) (a) pour W (t) et (b) pour W (t) . . . . . . . . . . . . . . . . 105j1 0 21 41
(0) (0)
4.8 Courbe de concentration non bruitée C (t) (Fluent), initiale C (t;x ,Q ) et1 1 0 0
ˆrecalculée C (t;xˆ ,Q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 0 0
(0)id (0)4.9 Transmittance bruitée identifiée W (t), initiale W (t; D ,u ) et recalculéej1j1 0
ˆW (t; D,uˆ ) (a) pour W (t) et (b) pour W (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108j1 0 21 41
4.10 Comparaison entre la transmittance identifiée et la transmittance recalculée (a)
pour W (t) et (b) pour W (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10921 41
(0) (0)4.11 Courbe de concentration bruitée C (t) (Fluent), initiale C (t;x ,Q ) et recal-1 1 0 0
ˆculée C (t;xˆ ,Q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 0 0
xi